潍坊学院近世代数期末考试复习题

近世代数期末考试一、单选题1.若群G的每个非单位元都有逆元，则称G为(3.00分)A.阿贝尔群B.可解群C.可换群D.可逆群答案：C2.环R中，若元素a满足a+a=0，则称a为(3.00分)A.零元B.单位元C.负元D.幂等元答案：A3.若环R有单位元e，且对任意a∈R，都有aR=Ra=R，则称a为(3.00分)A.零因子B.单位元C.可逆元D.幂等元答案：C4.群G中，若元素a满足a2=e，则a称为(3.00分)A.自逆元B.单位元C.幂等元D.零元答案：A5.设f:G→H是群同态，则f(eG​)=(3.00分)A.eH​B.f(G)C.f−1(H)D.H答案：A6.在整数模n剩余类加群中，零元是(3.00分)A.[0]B.[1]C.[n]D.[n−1]答案：A7.设G是一个群，a,b∈G，则(ab)−1=(3.00分)A.b−1a−1B.a−1bC.abD.ba答案：A8.在一个群中，若元素a满足a^3=e（e为单位元），则a称为（）(3.00分)A.三次单位元B.立方元C.三次幂等元D.立方幂等元且自逆元答案：D9.设R是一个环，若对R中任意元素a,b，都有a*(b+c)=a*b+a*c成立（c为R中任意元素），则称R满足（）(3.00分)A.交换律B.分配律C.结合律D.乘法单位元律答案：B（这是环中乘法对加法的分配律的定义）10.若群G的子群H满足对于G中任意元素g，都有gH=Hg（即H是G的左陪集等于右陪集），则称H是G的（）(3.00分)A.子群B.正规子群C.真子群D.极大子群答案：B（这是正规子群的定义，即H的左陪集等于右陪集）二、判断题1.整除性在整数集中构成偏序关系。(3.00分)答案：正确2.任意域的特征都是素数或0。(3.00分)答案：正确3.若环R有单位元，则对任意a∈R，都有a⋅0=0⋅a=0。(3.00分)答案：正确4.阿贝尔群的子群一定是正规的。(3.00分)答案：正确5.若群G的阶为素数p，则G是循环群。(3.00分)答案：正确6.若群G中的元素a满足an=e，则n一定是a的阶。(3.00分)答案：错误7.环中的零元一定没有逆元。(3.00分)答案：正确8.可换环中的理想一定是主理想。(3.00分)答案：错误9.在一个环中，如果两个元素相乘等于零元，那么这两个元素中至少有一个是零元。(3.00分)答案：错误10.若群G的子群H的指数为2，则H一定是G的正规子群。(3.00分)答案：正确三、名词解释1.环(5.00分)解析：一个集合R，其元素之间定义了两种二元运算：加法和乘法，满足加法封闭性、加法结合律、加法交换律、存在加法零元和加法逆元、乘法封闭性、乘法结合律、乘法对加法的分配律等条件。2.域(5.00分)解析：一个具有加法和乘法运算的集合，其中加法构成阿贝尔群，乘法（除了零元外）也构成阿贝尔群，且乘法对加法满足分配律。3.同态映射(5.00分)解析：同态映射（或称为同态）是两个代数结构之间的一种保持运算关系的映射。具体来说，如果A和B是两个代数结构（如群、环、域等），并且存在一个从A到B的映射f，使得对于A中的任意元素a和b，都有f(a*b)=f(a)∘f(b)（其中*和∘分别是A和B中的运算），则称f是从A到B的一个同态映射。如果f还是双射（即满射且单射），则称f为同构映射，此时称A和B是同构的。同态映射是研究不同代数结构之间相似性和差异性的重要工具。四、计算题1.设G是一个有限群，且$G首先，根据Sylow定理，我们知道15的素因子分解是3⋅5，所以G中存在阶为3的Sylow3-子群和阶为5的Sylow5-子群。(10.00分)解析：1、考虑Sylow5-子群。由于5是素数且5不整除3（即5不整除∣G∣除以5-子群阶数的余数），根据Sylow定理，G中只有一个Sylow5-子群，记为H。因此，H是G的正规子群。2、接下来考虑Sylow3-子群。设K是G中的一个Sylow3-子群。由于∣G∣=15，且H是G的一个5阶正规子群，我们可以考虑G在H上的共轭作用。但是，在这个特定的情况下，我们实际上不需要使用共轭作用来证明K的正规性（尽管这种方法在某些情况下是有效的）。相反，我们可以直接利用G的阶数和H、K的阶数来论证。假设K不是G的正规子群。那么，G中会有多个（具体来说是4个，因为n3​=1+3k且n3​整除∣G∣，所以n3​=4）Sylow3-子群。每个这样的子群都有2个非单位元，且这些非单位元不能是H中的元素（因为H的阶是5，与3互质）。因此，G中至少有4×2=8个元素不在H中。但是，G中只有10个非单位元（因为∣G∣=15），所以至少有2个非单位元必须在H中，这与H是5阶循环群（其非单位元都是4阶元的平方，因此不可能是3阶元）的事实矛盾。因此，我们的假设是错误的，即K必须是G的正规子群。然而，这里有一个更简单的方法来证明K的正规性，而不需要使用反证法或共轭作用。由于∣G∣=15=3×5，且3和5互质，根据Schur-Zassenhaus定理（或更简单地，通过考虑G的阶数和子群的阶数），我们可以得出G有一个阶为3的子群K和一个阶为5的子群H，使得G=KH且K∩H={e}。由于H是正规子群（这是Sylow定理的直接结果），且∣K∣=3是素数，所以K也是正规子群（这是循环群作为子群的性质）。因此，G是K和H的直积，即G=K×H。由于K和H都是循环群（因为它们