专题38 二次函数与几何图形综合题（7大类型）（原卷版）

模块三重难点题型专项训练

专题38二次函数与几何图形综合题（7大压轴类型）

考查类型一与线段有关的问题

考查类型二与图形面积有关的问题

考查类型三角度问题

考查类型考查类型四与特殊三角形判定有关的问题

考查类型五与特殊四边形判定有关的问题

考查类型六与三角形全等、相似有关的问题

考查类型七与圆有关的运算

新题速递

考查类型一与线段有关的问题

例1（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为

3

0,2，点B的坐标为4,2．若抛物线y(xh)2k（h、k为常数）与线段AB

2

1

交于C、D两点，且CDAB，则k的值为_________．

2

1

例2（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0,)，点F(2，1)

2

为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线

上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使DFQ

的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．△

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二次函数中求线段问题：

1.直接求解线段长度表达式型

2.线段转化型

3.将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题等

4.瓜豆原理最值问题，圆中的线段最值

【变式1】（2022·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点

A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：

①当x＞0时，y＞0；

②若a＝﹣1，则b＝4；

③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为210；

④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，

其中真命题的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式2】（2022·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y-x2+x6交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，交y

轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△APD，则线段AB

的最小值是______．

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2

【变式3】（2022·云南文山·统考三模）已知抛物线yax13ax3与x轴交于A、B两点（点A在点B

左侧），顶点坐标为点D1,m．

(1)求m的值；

(2)设点P在抛物线的对称轴上，连接BP，求DP5BP的最小值．

考查类型二与图形面积有关的问题

例1（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数y2x28x6的图象交x轴于A,B两点．若其图象

上有且只有三点满足SSSm，则m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

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例2（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B

4

的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

3

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；

(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对

称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，

说明理由．

解决二次函数动点面积问题，常用的方法有三种

方法一：铅垂高法。

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，铅垂高穿过的线段两端点的横坐标之差叫

△ABC的水平宽(a)，中间的这条平行于y轴或垂直于x轴的直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高

(h).此时三角形面积的计算方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半（s=1/2ah）

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方法二，平行法。平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移高到与坐标轴

交点处，最后用相似求值。

方法三，矩形覆盖法。这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减小去解决，一

般不太建议使用这种方法，庞大的计算量很容易出错。

【变式1】（2022·河北·校联考一模）如图，在ABC中，ACB90，BC边在x轴上，A(1,4),B(7,0)．点

P是AB边上一点，过点P分别作PEAC于点E，PDBC于点D，当四边形CDPE的面积最大时，点P

的坐标为（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

【变式2】（2022·江苏盐城·一模）如图，抛物线yx24x1与y轴交于点P，其顶点是A，点P的坐标

是3,2，将该抛物线沿PP方向平移，使点P平移到点P，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部

分所扫过的面积是______．

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【变式3】（2022·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，抛物线y＝x2bxc经过点A1，0，点B2,3，

与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0x4时，y的取值范围是________；

(3)抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不存在，请说

明理由．

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考查类型三角度问题

22

例1（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线ymxm3x(6m9)与x轴交于点A、B，

与y轴交于点C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBCS△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若ACQ45，求点Q的坐标．

例2（2020·黑龙江·统考中考真题）如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点A1,0，B3,0，

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使PABABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

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角度问题涵盖的题型

1.角度相等问题

2.角度的和差倍分关系

3.特殊角问题

4.非特殊角问题

方法点评：由特殊角联想到直接构造等腰直角三角形，通过全等三角形，得到点的坐标，从而得到直线解

析式，联立得到交点坐标.这个方法对于特殊角30度、60度90度都是适用的，是一种通用方法.

128

【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，抛物线yxx3与x轴交于点A和点B两点，

33

与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当ACD2ABC180时，点D的坐标为（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

1

【变式2】（2020·江苏无锡·无锡市南长实验中学校考二模）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，

2

1

交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线

2

的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为__________．

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【变式3】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，以ABC的边AB和AB边上高所在直线建

立平面直角坐标系，已知AB4，C0，3，tanCABtanCBA4，抛物线yax2bxc经过A，B，

C三点．

(1)求抛物线解析式．

(2)点G是x轴上一动点，过点G作GHx轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为

顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．

(3)点P是抛物线上的一点，当PCBACO时，求点P的坐标．

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考查类型四与特殊三角形判定有关的问题

例1（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，

与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角

三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

11

例2（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线yax2x6与x轴交于At,0，B8,0两点，与y轴交

4

于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和t，k的值；

(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

1

(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值．

2

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【模型解读】

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存

在性问题”．

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方

法，解决问题．

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、

“双动点”两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判

定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考

虑思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

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【变式1】（2022·河北邢台·统考一模）如图，已知抛物线经过点B1,0，A4,0，与y轴交于点C0,2，

39

P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x；②抛物线的最大值为；

28

45

③ACB90；④OP的最小值为．则正确的结论为（）

5

A．①②④B．①②C．①②③D．①③④

2

【变式2】（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数yax2ax4aa0图象与y轴交于点A，点C在

二次函数的图象上，且AC∥x轴，以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC，当等腰直角三角形ABC的边

与x轴有两个公共点时a的取值范围是______．

1

【变式3】（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图，已知抛物线yx2bx4与x轴相交于A、B

3

两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A2,0．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段BC所在直线的解析式；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不

存在，请说明理由．

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考查类型五与特殊四边形判定有关的问题

例1（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2

上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C，D¢，当四边形ABCD的周长最小时，抛物线

的解析式为__________．

5

例2（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线yax2xc经过B(3,0)，D2,两点，与x轴的另一

2

个交点为A，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使MBC面积最大时M点的坐标，并求

最大面积；（请在图1中探索）

(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足

条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

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掌握平行四边形、矩形和菱形的判定方法，结合二次函数的性质即可解决此类问题，但要注意分类讨

论，核心在于把握确定的边是特殊四边形的边长还是对角线即可；

【变式1】（2022·四川眉山·校考一模）如图，矩形OABC，点A的坐标为2,0，AB＝1．若抛物线y2x2c

与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

3

【变式2】（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2x与x轴正半轴交

2

于点A3,0．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形

BDEF．则点E的坐标是______．

【变式3】（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线yax22ax3a(a0)交x轴于点A，B(A在B的左侧），

交y轴于点C．

(1)求点A的坐标；

(2)若经过点A的直线ykxk交抛物线于点D．

①当k0且a1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求SΔEBDSΔCEF的最大值；

②当k0且ka时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶

点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．

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考查类型六与三角形全等、相似有关的问题

例1（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于

点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说

明理由；

(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上

是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，

请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

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例2（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：y=-2x2+bx+c与x轴交于点A，B(2,0)（A

1

在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点．

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；

(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与VBMH相似，

求点P的坐标．

掌握三角形的全等判定方法和相似的判定方法，注意要分类讨论；

2

【变式1】（2018·陕西宝鸡·统考二模）抛物线yax3axba0，设该抛物线与x轴的交点为A5,0

和B，与y轴的交点为C，若ACO∽CBO，则tanCAB的值为（）

331014

A．B．C．D．

3257

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123

【变式2】（2020·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线yxx2与x轴交于A，B两点，

22

与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方，过点D作DFAC于点F，连结CD，若△CFD

与AOC相似，则点D的坐标是________．

【变式3】（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴的正半

1

轴上，点B的坐标为4，4．二次函数yx2bxc的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P

6

在线段EF上运动，过点O作OHAP于点H．直线OH交直线BC于点D，连接AD．

(1)求b，c的值及点E和点F的坐标；

(2)在点P运动的过程中，当AOP与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到OC的中点时，能否将AOP绕平面内某点旋转90后使得AOP的两个顶点落在x轴上方

的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

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考查类型七与圆有关的运算

例1（2022·四川雅安·统考中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且

与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明

理由；

(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．

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1

例2（2020·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，

2

0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

＝15

（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC，求点P的坐标；

2

（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程

中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

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例3（2022·江苏盐城·统考中考真题）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上．

(1)【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为

y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同

心圆上时，其坐标为___________．

(2)【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立．

(3)【深度思考】

小明继续思考：设点P0,m，m为正整数，以OP为直径画M，是否存在所描的点在M上．若存在，

求m的值；若不存在，说明理由．

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掌握圆的性质，结合二次函数的图象解决此类问题；

【变式1】（2021·山东济南·统考二模）二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，

若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（）

A．3＜AD≤9B．3≤AD≤9C．4＜AD≤10D．3≤AD≤8

【变式2】（2022·浙江衢州·统考一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已

知线段AB，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足APB30，则称点P为线段AB的“U点”，如图，

15

二次函数yx23x与x轴交于点A和点B．（1）线段AB的长度为__________；（2）若线段AB的“U”

22

点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_________．

【变式3】（2022·江苏常州·校考二模）已知二次函数图象的顶点坐标为A2,0，且与y轴交于点0,1，B

点坐标为2,2，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左

侧）．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN

的长；

(3)当ABM与ABN相似时，求出M点的坐标．

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【新题速递】

1．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线L：yx24xm

关于y轴对称的抛物线记为L，且它们的顶点与原点的连线组成等边三角形，已知L的顶点在第四象限，

则m的值为（）

A．23B．423C．4D．423

1

2．（2020秋·九年级统考期末）抛物线是由yx2平移得到，它经过原点O，且交x轴正半轴于点D，A

4

为OD上一点，C为抛物线上一点，以OA，OC为边构造OABC，点B6,n恰好落在抛物线上，连接CD

交AB于点E，若CEDE，则n等于（）

A．22B．3C．6D．9

3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线yx2pxq的对称轴为x3，过其顶点M的

一条直线ykxb与该抛物线的另一个交点为N1,1．点P的坐标为0,1，则△PMN的面积为（）

A．2B．4C．5D．6

4．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB90，BC边在x轴上，A(1,4),B(7,0)．点P

是AB边上一点，过点P分别作PEAC于点E，PDBC于点D，当四边形CDPE的面积最大时，点P

的坐标为（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

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