专题26 概率（4大考点）（原卷版）

第七部分统计与概率

专题26概率

核心考点一事件的分类及概率的意义

核心考点二频率与概率

核心考点

核心考点三概率的计算

核心考点四统计与概率结合

新题速递

核心考点一事件的分类及概率的意义

例1（2021·湖南长沙·统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十

张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面

朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机

地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依

次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．

例2（2021·江苏镇江·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球

除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球

个数为__．

例3（2022·江西·统考中考真题）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积

极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．

(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；

A．不可能B．必然C．随机

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概

率．

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1.确定事件与随机事件：

（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能

事件，必然事件和不可能事件都是确定的．

（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．

2.可能性的大小：

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

3.概率的意义：

m

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率P(A)，会稳定在某个常数p附近，那么这

n

个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．

（3）概率取值范围：0≤p≤1．

（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

【变式1】（2021·福建厦门·校考一模）下列说法不正确的是（）

A．选举中，人们通常最关心的数据是众数

22

B．若甲组数据的方差s甲0.05，乙组数据的方差s乙0.1，则甲组数据比乙组数据稳定

C．要了解一批烟花的燃放时间，应采用抽样调查的方法

D．某游戏的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有6次会中奖

【变式2】（2022·湖北咸宁·统考模拟预测）在一个不透明的袋子中，装有6个大小和形状一样的小球，其

中2个红球，2个白球，2个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，

在这n个球中，红球、白球、黑球至少各有一个，则当n_________时，这个事件必然发生．

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【变式3】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）在一个蓝色不透明的盒子中放三张分别写有数字1，2，3的卡

片，在一个绿色不透明的盒子中放两张分别写有数字4，5，6的卡片，所有卡片除数字外完全相同．现按

下列要求抽取卡片．

(1)在________色盒子中抽到卡片是偶数的可能性更大，在蓝色盒子中抽到卡片为合数是________事件；

(2)先从蓝盒中随机抽取一张卡片，再从绿盒中随机抽取一张卡片，求两张卡片上数字之和是奇数的概率．

核心考点二频率与概率

例1（2020·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

射击次数20801002004001000

“射中九环以上”的次数186882168327823

“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）

A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84

例2（2020·甘肃金昌·统考中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，

小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下

颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____

个．

例3（2021·甘肃武威·统考中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小

球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通

过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球

颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．

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1.利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频

率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通

过统计频率来估计概率．

【变式1】（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图

案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎

图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由

此他估计此图案的面积大约为（）

试验次数m60120180240300360420480

小球落在图案内的次数n22386583102126151168

n

0.370.320.360.350.340.350.360.35

小球落在图案内的频率m

A．11.1m2B．10.5m2C．9.6m2D．9m2

【变式2】（2023·浙江宁波·统考一模）国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同

的散装塑料球共1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；

搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐

渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．

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【变式3】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具

体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将

球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重

复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数m263850127197251

m

0.2600.2530.2500.2540.2460.251

摸到白球的频率n

(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为

___________（精确到0.01）；

(2)试估算盒子里有多少个白球？

(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的

概率．

核心考点三概率的计算

例1（2021·山东烟台·统考中考真题）连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制

成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（）

1113

A．B．C．D．

4323

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例2（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程x23xm0有两个不相等的实数根，且m3，则从

满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．

例3（2022·西藏·统考中考真题）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生

每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对

学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：

平均每周劳动时间的频数统计表

劳动时间小时频数

t＜39

3≤t＜4a

4≤t＜566

t≥515

请根据图表信息，回答下列问题．

(1)参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______；

(2)在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°；

(3)该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心

得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

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概率的计算公式是：P(A)=m/n，“(A)”表示事件，“m”表示事件（A）发生的总数，“n”是总事件发生

的总数。概率的计算需要具体情况具体分析，没有一个统一的万能公式。

【变式1】（2021·广西百色·统考一模）有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，

游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下

列说法正确的是（）

A．两个转盘转出蓝色的概率一样大

B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了

C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同

1

D．游戏者配成紫色的概率为

6

【变式2】（2023·四川成都·统考一模）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0~9这十个数字

中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一

次就能打开该锁的概率是__________．

【变式3】（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）【阅读理解】某市电力公司对居民用电设定如下两种收费方

式：

方式一：“分档”计算电费（见表一），按电量先计算第一档，超过的部分再计算第二档，依次类推，最后求

和即为总电费；

方式二：“分档+分时”计算电费（见表一、表二），即总电费等于“分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减

少的电费的总和”．

表一：分档电价

居民用电分格用电量x（度）电价（元/度）

第一档0x2300.5

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第二档230x4200.55

第三档x4200.8

表二：分时电价

峰时段电价差领（元/段）

0.03

峰时段（08：00-22：00）

（每度电在各档电价基础上加价0.03元）

谷时段（22：00-次日08：00）0.2（每度电在各占电价基础上降低0.2元）

如：某用户该月用电总量500度，其中峰时段用电量300度，谷时段用电量200度，若该用户选择方式二

缴费，则总电费为：2300.54202300.555004200.83000.032000.2252.5（元）．

【问题解决】已知小明家4月份的月用电量相当于全年的平均月用电量，现从他家4月份的日用电量数据

中随机抽取7天作为样本，制作成如图表：

(1)若从上述样本中随机抽取一天，求所抽取的日用电量为15度以上的概率；

(2)若每月按30天计，请通过样本数据计算月用电费，帮小明决定选择哪一种方式缴费合算？

日用电量峰点占比统计表

编号A1A2A3A4A5A6A7

每日峰时段用电量占比80%20%50%10%20%50%60%

当日峰时段用电盘

注：每日峰时段用电量占比=100%

当日用电量

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核心考点四统计与概率结合

m个0n个1

例1（2022·江苏镇江·统考中考真题）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，

0,0,,01,1,,1

其中m、n是正整数．下列结论：①当mn时，两组数据的平均数相等；②当mn时，第1组数据的平

均数小于第2组数据的平均数；③当mn时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当mn时，

第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

例2（2022·湖南郴州·统考中考真题）甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，

2

每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为x甲x乙160cm，身高的方差分别为s甲10.5，

2

s乙1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是________．（填“甲队”或“乙队”）

例3（2022·江苏淮安·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面

上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸

出1个球，记下数字．

(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；

(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．

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【变式1】（2022·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：

第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；

第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；

第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；

第四步：估算出π的值．

为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：

①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小

M

区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；

D

②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．

根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则

可以估计π的值为（）

4n2m2n

A．B．

mm

4n4m4n

C．D．

mm

【变式2】（2022·湖北恩施·统考一模）如图，点A在⊙O上，BAC60，以A为圆心，AB为半径的扇形ABC

内接于⊙O．某人向⊙O区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形ABC内的概率为______．

【变式3】（2023·江苏泰州·统考二模）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿

水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现

成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙

山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．

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(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；

(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；

(3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；

(4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率．

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【新题速递】

1．（2023·安徽·校联考一模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，现通过抽签决定出场顺序，则他们三人的比赛

顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（）

1111

A．B．C．D．

6384

2．（2023·山西吕梁·模拟预测）把标有号码1、2、3、4、5的5个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中

任意取一个，记下号码后，放回摇匀，再从中任意取一个，则两号码之和大于2的概率是（）

1172324

A．B．C．D．

25252525

3．（2023·山西忻州·统考一模）2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在

省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和

外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张

后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（）

1111

A．B．C．D．

241216

4．（2023·河南周口·校联考一模）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（除数字

不同外，其他完全相同），A转盘上的数字分别为3，1，2，B转盘上的数字分别为4，5，6，同时转动两

个转盘（规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次），则转出的数字之积为正数的概率是（）

1452

A．B．C．D．

3993

5．（2022·广东中山·校联考一模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色

外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口

袋中白色球的个数可能是（）

A．24B．18C．16D．6

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6．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）孔明给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口

味和外包装的颜色外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出

一颗糖果．则弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是（）．

1114

A．B．C．D．

23515

7．（2022·河北·一模）如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的

不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸

出的球的颜色均为蓝色的概率是（）

1211

A．B．C．D．

9932

8．（2022·浙江衢州·模拟预测）下列说法不正确的是（）

2

A．从两名男生和两名女生中随机选两人当志愿者，则两人恰好是一男一女的概率是．

3

B．不透明袋子中装有除颜色外都一样的3个黑球和2个白球，从中任意摸出3个球，则摸出的3个球中至

少有1个黑球是必然事件．

C．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4，极差是4．

D．如图是一张矩形纸板，连接各边中点得到菱形，再连接菱形各边中点得到一个小矩形．若从图中随机取

1

点，则这个点取在阴影部分的概率是．

4

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9．（2023·河南周口·一模）已知关于x的一元二次方程k2x22x10．从﹣4，﹣2，0，2，4中任选

一个数字作为k代入原方程，则选取的数字能令方程有实数根的概率为_____．

10．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放

在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是_________．

11．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、

正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正

面的图形都是中心对称图形的概率为______．

12．（2020·贵州遵义·统考二模）如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB4，BC3，O是Rt△ABC的

内切圆，若随机向Rt△ABC内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为___________（结果保留）．

13．（2021·贵州遵义·统考一模）在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，-3，0，2，它们

除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐

标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是____________．

14．（2022·重庆·重庆八中校考三模）不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有

－1，2，3，4四个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个

b

小球，记标号为b，两次抽取完毕后，则直线ykx与反比例函数y的图象经过的象限相同的概率为

x

______．

15．（2023·陕西西安·统考一模）甲、乙两位同学玩抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的

4张卡片上分别标上数字2、4、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽

取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．

(1)甲同学从这4张卡片中随机抽取一张，则抽到标有数字4的卡片的概率是；

(2)甲、乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；否则乙胜．请用列

表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

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16．（2023·安徽·校联考一模）某班为调查班级学生对A、B、C、D四项体育运动的喜爱情况，对全班同学

进行了调查，每位同学只能选择一个最喜欢的运动，并把调查结果绘制成了统计表和扇形统计图．

男、女生最喜爱的体育运动人数统计表

目标ABCD

男生（人数）12m35

女生（人数）10112n

运动项目频数频率

A22d

Bae

C50.1

Dbf

总计gh

根据以上信息解决下列问题：

(1)a________，n________；

(2)扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为__________；

(3)从喜欢C的运动项目的5名学生中随机选取2名学生参加演讲，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、

一名女生的概