2024-2025学年高中数学第三章概率本章知识体系学案含解析北师大版必修3

PAGE第三章概率本章学问体系专题一互斥事务与对立事务【例1】甲、乙两人参与普法学问竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，推断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把全部可能的状况列举出来，或考虑互斥及对立事务的概率公式．【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个推断题记为p1，p2.总的事务数为20.“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的状况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的状况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的状况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到推断题”的状况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙两人都抽到推断题”的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).【规律方法】“互斥事务”和“对立事务”都是就两个事务而言的，互斥事务是不行能同时发生的两个事务，而对立事务是其中必有一个要发生的互斥事务，因此，对立事务必需是互斥事务，但互斥事务不肯定是对立事务．当一个事务包含几种状况时，可把事务转化为几个互斥事务的并事务，再利用概率的加法公式计算．求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事务包含哪些事务，再利用互斥事务的概率加法公式或对立事务的概率公式解决．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事务“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事务Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事务A，依据互斥事务概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事务“打进的电话响4声而不被接”是事务A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事务，记为eq\o(A,\s\up6(－)).依据对立事务的概率公式，得P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.专题二古典概型【例2】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个基本领件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】可用枚举法找出全部的等可能基本领件．【解答】(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本领件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个基本领件．(2)如下图所示上述10个基本领件发生的可能性相同，且只有3个基本领件是摸到2只白球(记为事务A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝eq\f(3,10).【规律方法】解决古典概型问题的关键是首先明确基本领件是什么，然后分清基本领件总数n与事务A所含的基本领件数m，因此要留意以下几个方面：①明确基本领件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本领件总数是多少；④事务A包含多少个基本领件．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个，若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是eq\f(1,6).(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．解：(1)设红色球有x个，依题意得eq\f(x,24)＝eq\f(1,6)，解得x＝4，∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事务A全部的基本领件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事务A包含的基本领件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A)＝eq\f(5,12).专题三几何概型【例3】设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4eq\r(3)cm【思路探究】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由几何概率公式得：P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)2\r(3)2,\f(\r(3),4)4\r(3)2)＝eq\f(1,4).【规律方法】几何概型有两大特征：基本领件的无限性和每个事务发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事务A)的概率是多少？解：设事务A“父亲离开家前能得到报纸”．在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y，而(x，y)的全部可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的全部可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，μA＝12－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8)，μΩ＝1，所以P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(7,8).专题四概率与统计的综合问题【例4】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，b)，(eq\x\to(a)，b)，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，b)其中a，eq\x\to(a)分别表示甲组研发胜利和失败；b，eq\x\to(b)分别表示乙组研发胜利和失败．(1)若某组胜利研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成果的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业支配甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发胜利的概率．【思路探究】(1)依据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成果，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一组研发胜利的概率．【解答】(1)甲组研发新产品的成果为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3)；方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(2,3))2×10＋(0－eq\f(2,3))2×5]＝eq\f(2,9).乙组研发新产品的成果为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为eq\x\to(x)乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)；方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(3,5))2×9＋(0－eq\f(3,5))2×6]＝eq\f(6,25).因为eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发胜利}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发胜利的结果是(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，共7个．故事务E发生的频率为eq\f(7,15)，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝eq\f(7,15).【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计学问是基础学问，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55)岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6其次组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采纳分层抽样法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)其次组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为eq\f(0.3,5)＝0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为eq\f(120,0.6)＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由上面可知，其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采纳分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为eq\f(8,15).专题五数形结合思想【例5】设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按匀称分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率．【思路探究】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．【解答】基本领件总体的区域D的度量为正方形面积，即D的度量为S正方形＝62＝36，由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，∴p2＋q2≥1.∴当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形－S圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P＝eq\f(36－π,36).【