2025届高考数学一轮知能训练第七章解析几何第6讲双曲线含解析

PAGE5-第6讲双曲线1．(2024年新课标Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)x2．(2024年新课标Ⅱ)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(2\r(3),3)3．如图X7­6­1，F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()图X7­6­1A．4B.eq\r(7)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)4．(2024年新课标Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)5．(2024年新课标Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))6．(2024年新课标Ⅲ)双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)7．(2024年天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\f(\r(2),2)x9．(2024年福建厦门模拟)已知双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为(－2,3)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为________．10．(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则有()A．渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xB．e＝eq\f(3\r(2),2)C．e＝eq\f(2\r(3),3)D．渐近线方程为y＝±eq\r(3)x11．已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若|OF|＝|FB|，则双曲线C的离心率是()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(2)D．212．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满意(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，且3|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝4|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率为________．

第6讲双曲线1．A2．A解析：由几何关系可得，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线为bx±ay＝0，圆心(2,0)到渐近线的距离为d＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)＝eq\f(|2b±0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(2b,c)，即eq\f(2b2,c2)＝eq\f(4c2－a2,c2)＝3.整理，得c2＝4a2，e2＝eq\f(c2,a2)＝4，∴e＝2.故选A.3．B解析：设AF1＝x，则AF2＝2a＋x＝AB＝BF2，BF1＝2a＋2x.又BF1－BF2＝(2a＋2x)－(2a＋x)＝x＝2a，∴BF1＝6a，BF2＝4a，F1F2＝2c，∠F1BF2＝60°.由余弦定理，得(2c)2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×eq\f(1,2)＝28a2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝7，即e＝eq\r(7).故选B.4．D解析：由c2＝a2＋b2＝4，得c＝2，∴F(2,0)．将x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得y＝±3.∴|PF|＝3.又点A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为eq\f(1,2)×3×(2－1)＝eq\f(3,2).故选D.5．A解析：由题设知，F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＝3yeq\o\al(2,0)－1<0.解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).故选A.6．A解析：由a＝2，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，∵|PO|＝|PF|，∴xP＝eq\f(\r(6),2)，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y＝eq\f(\r(2),2)x上，∴SΔPFO＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4)，故选A.7．D解析：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1.∵抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|＝4，由双曲线渐近线的性质可求得A(－1,2)，B(－1，－2)，将点A代入到双曲线渐近线方程得eq\f(b,a)＝2，∴b2＝4a2.又∵在双曲线中，c2＝a2＋b2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，即双曲线的离心率e为eq\r(5).8．A解析：如图D188，连接OA，OB，图D188设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a,0)，F(－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×120°＝60°.∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝60°.∵FA与圆O切于点A，∴OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，∴|OF|＝2|OA|，即c＝2a，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2a2－a2)＝eq\r(3)a.故双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.9．5＋2eq\r(3)解析：由eq\f(x2,3)－y2＝1，得a2＝3，b2＝1.∴c2＝a2＋b2＝4，则c＝2，则F2(2,0)，∵|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)，∴|PF1|＝2eq\r(3)＋|PF2|，则|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2eq\r(3)，当Q，P，F2三点共线时，|PQ|＋|PF2|最小，等于|QF2|，∵Q(－2,3)，F2(2,0)，∴|QF2|＝eq\r(－2－22＋3－02)＝5，∴|PQ|＋|PF1|的最小值为5＋2eq\r(3).10．AC11．B解析：方法一(代数法)，双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，其右焦点F(c,0)，过F作渐近线y＝eq\f(b,a)x的垂线，垂足为A，则直线FA的斜率kFA＝－eq\f(a,b)，故直线FA的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，即ax＋by－ac＝0，①又y＝－eq\f(b,a)x可化为bx＋ay＝0.②由①②可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,a2－b2)，－\f(abc,a2－b2))).又∵|OF|＝|FB|，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,a2－b2)－c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(abc,a2－b2)))2＝c2.平方整理得eq\f(b4c2,a2－b22)＋eq\f(a2b2c2,a2－b22)＝c2，即b4＋a2b2＝a4－2a2b2＋b4，∴a2＝3b2.又b2＝c2－a2，∴3c2＝4a2，故e＝eq\f(2\r(3),3).故选B.方法二(几何法)，如图D189，双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．图D189直线OA所在方程为y＝eq\f(b,a)x，即ay－bx＝0，则点F到OA的距离|FA|＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，由双曲线渐近线的性质知∠AOF＝∠FOB，且tan∠AOF＝eq\f(b,a)，在Rt△AOB中，tan∠AOB＝tan2∠AOF.∵|OA|＝a，|OF|＝c，|OF|＝|FB|，故|AB|＝b＋c.在Rt△AOB中，tan∠AOB＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(2tan∠AOF,1－tan2∠AOF)＝eq\f(\f(2b,a),1－\f(b2,a2)).∴2a2b＝(b＋c)(a2－b2)，即2(c2－b2)b＝(b＋c)(a2－b2)．整理得2b＝c，即4c2－4a2＝c2，则3c2＝4a2，故e＝eq\f(2\r(3),3).故选B.12．5解析：∵点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，由(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up