期末专题复习：实数（十四大类型）（解析版）

实数（14大类型提分练）目录类型一、算术平方根 1类型二、算术平方根的性质 2类型三、算术平方根的应用 3类型四、平方根 5类型五、平方根的性质 6类型六、已知平方根求这个数 7类型七、立方根 9类型八、无理数与实数 10类型九、实数的估算 11类型十、实数的大小比较 12类型十一、实数的运算与解方程 14类型十二、算术平方根、平方根、立方根的综合 15类型十三、实数的整数部分与小数部分 16类型十四、实数的规律探究与新定义问题 18类型一、算术平方根1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）2的算术平方根是（

）A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可．【详解】解：2的算术平方根是2；故选A．2．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间【答案】C【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为29，可用“夹逼法”估计29的近似值，从而解决问题．【详解】解：∵正方形的面积为29，∴它的边长为29，而25＜29＜36，5＜29＜6．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）化简：-22=【答案】2【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根定义，进行计算即可．【详解】解：-22故答案为：2．类型二、算术平方根的性质4．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若a2+2a+1+a+b=0，则A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】此题主要考查了非负数的性质和完全平方公式，正确得出a,b的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出a,b的值，进而得出答案．【详解】解：∵a2∴a+12∴a+1=0,a+b=0，解得：a=-1,b=1，∴ab=-1．故选：A．5．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知△ABC的三边a，b，c满足a-32+b-4+c-5A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断【答案】A【分析】先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得a,b,c的值，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】解：∵a-3∴a-3=0,b-4=0,c-5=0，解得a=3,b=4,c=5，∴a∴△ABC是直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若x、y满足|x-4|+y-3=0【答案】-1【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可得x-4=0，y-3=0，即可求出x、y的值，再把【详解】解：∵|x-4|+y-3∴x-4=0，y-3=0，∴x=4，y=3，∴2x-3y=8-9=-1，故答案为：-1．类型三、算术平方根的应用7．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对2的大小进行了探究：即先判断出2是大于1，且小于2的数，再进一步得到：1.4<2<1.5（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是【答案】2.4<x<2.5【分析】本题考查无理数的估算，先根据题意得出x=6【详解】解：∵一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，∴x=6∵5.76<6<6.25，∴2.4<6∴2.4<x<2.5．故答案为：2.4<x<2.5．8．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为．【答案】5【分析】依题意补全图形，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可．【详解】解：如下图，由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，∵5个小正方形的总面积为5，∴大正方形的面积为5，∴大正方形的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是根据题意补全图形．9．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为厘米（π取3）．【答案】5【分析】由圆柱的体积公式求出底面半径即可．【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为xcm，根据题意得：πx2•0.8=60，解得：x=5或x=-5（舍），答：溢水杯内部的底面半径约为5cm．故答案为：5．【点睛】本题考查了平方根，弄清题意是解本题的关键．类型四、平方根10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）4的平方根是（

）A．2 B．-2 C．-16 D．±2【答案】D【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义进行解答即可．【详解】∵±22∴4的平方根为±2．故选：D．11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）实数1的平方根等于．【答案】±1【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．依据平方根的定义求解即可．定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【详解】解：∵(±1)2∴实数1的平方根等于±1．故答案为：±112．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为9，则最后输出的y值是．【答案】±【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键．【详解】解：9=3∵3不是无理数，∴最后输出的y值为±3故答案为：±3类型五、平方根的性质13．（23-24八年级上·江苏南京·期末）若x2=a(a>0)，则下列说法正确的是（A．a是x的平方根 B．x是a的平方根C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根【答案】B【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可．【详解】解：∵x∴x是a的平方根．故选：B．14．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若-m是a的平方根，则（）A．m=a2 B．m2=a C．【答案】B【分析】根据平方根的定义，即可解答．【详解】解：-m是a的平方根，则-m2=a，即故选：B．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．15．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（）A．5的平方根是b B．5的平方根是aC．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a【答案】D【分析】根据题意，求出a=5，b=-5【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b，∴a=5，b=-5∴5的平方根是±5，故A，B5的算术平方根是5，故C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．类型六、已知平方根求这个数16．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知m-3和m+3是a的平方根，则a的值是．【答案】9【分析】本题考查的是平方根的含义，根据平方根的性质得到m-3+m+3=0，则m的值可求，进而求出a的值即可．【详解】解：∵m-3和m+3是a的平方根，∴m-3+m+3=0，解得：m=0，∴a=±3故答案为：9．17．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和a-2；b-15的立方根为－3．(1)求a、b的值：(2)求4a+b的平方根．【答案】(1)a=4,b=-12(2)±2【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得a的值；根据立方根的定义求得b的值，（2）将（1）的结果代入代数式，进而再求得代数式的平方根即可．【详解】（1）∵某正数的两个不同的平方根是3a-14和a-2；∴3a-14+a-2=0∴4a=16解得a=4∵b-15的立方根为－3∴b-15=-27解得b=-12∴a=4,b=-12（2）∵a=4,b=-12∴4a+b=16-12=4∴4的平方根是±2【点睛】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，代数式求值，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．18．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一个正数M的两个平方根是m+3和2m-15．(1)求代数式m+5的值；(2)求M的值．【答案】(1)3(2)49【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义，利用一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，是解答本题的关键．（1）根据题意得到m+3+2m-15=0，进而得到m=4，由此得到答案．（2）根据题意，得到正数M的一个平方根m+3=4+3=7，由此得到M=7【详解】（1）解：根据题意得：m+3+2m-15=0，解得：m=4，∴4+5=3∴代数式m+5的值为3．（2）由（1）得：m=4，∴m+3=4+3=7，∴M=7类型七、立方根19．（23-24八年级上·四川达州·期末）-27的立方根与9的平方根的和是（）A．0 B．6 C．-6 D．0或-6【答案】D【分析】本题主要考查的是立方根和平方根，依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．【详解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，-3+3=0，-3+(-3)=-6．故选：D．20．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）下列说法正确的是（

）A．-27的立方根是3 B．-5C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2【答案】D【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根，以及求一个数的立方根，对于实数a、b，若满足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，则a叫做b的算术平方根，若满足a3=b，那么【详解】解：A、-27的立方根是-3，原说法错误，不符合题意；B、-52C、1的平方根是±1，原说法错误，不符合题意；D、4的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意；故选：D．21．（2024八年级上·江苏·专题练习）方程2x3-16=0【答案】x=2【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，关键是能由x3=8求出x．由x3【详解】解：22xx=2故答案为：x=2．类型八、无理数与实数22．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列四个实数9、π、227、3，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数有（

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念解答即可．【详解】解：9=3，由无理数的定义可知无理数有：π，3，0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1），共有3故选：B．23．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）下列实数：23、37、0、-π3、0.16·、0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数辨析方法．无理数：无限不循环的小数是无理数，据此定义对实数进行逐一判断即可求解．【详解】解：根据无理数的定义可得：23370不是无理数，不符合题意；-π0.160.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2）是无理数，符合题意；综上，无理数有3个．故选：C．24．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）实数3-8、27、π3、3.1415、0.202020202…（相邻两个2之间0的个数相同），

则无理数的个数有（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查无理数的识别，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π等．据此逐项判断即可．【详解】解：3-827=3π33.1415是有限小数，不属于无理数；0.202020202…（相邻两个2之间0的个数相同）是无限循环小数，不属于无理数；综上可知，无理数的个数有2个，故选A．类型九、实数的估算25．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列整数中，与6-10最接近的是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到3.1<10<3.2，进而得到【详解】解：∵9.61<10<10.24，∴3.1<10∴-3.2<-10∴2.8<6-10故选：C．26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）与6最接近的整数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的估算，按要求找到2到2.5之间的无理数6，须使被开方数大于4小于6.25即可求解．【详解】∵4<6<6.25∴2<∴6最接近的整数是2故选：B．27．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）正整数a、b分别满足354<a<396，A．16 B．9 C．8 D．4【答案】A【分析】本题考查无理数的估算，利用无理数的估算求得a，b的值后代入ba【详解】解：∵54<64<96，3<4<7，∴3∴a=4，b=2，∴ba故选：A．类型十、实数的大小比较28．（23-24八年级上·江苏南京·期末）比较大小：25-1．（填“＞”“＜”或“＝”【答案】>【分析】本题考查了无理数的大小比较，涉及了完全平方公式，比较2+1【详解】解：∵2+14<8<9，且8更靠近9∴2.5<∴5.5<3+即：5.5<∵5∴2∵2∴2∴2故答案为：>29．（23-24八年级上·江苏南京·期末）比-2大且比3小的整数是【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查了无理数的估算．先估算-2，3的大小，然后即可写出比-2大且比【详解】解：∵-2<-2<-1，∴比-2大且比3小的整数是0故答案为：0（答案不唯一）．30．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题．阅读材料1：∵4<5<9，∴4<5<∴5的整数部分为2，小数部分为5-2阅读材料2：对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法．例如：比较22与12的大小时，可以计算22∵2-1>0，∴2-12>0(1)请表示出19的整数部分和小数部分；(2)试判断19-45与【答案】(1)19的整数部分为4，小数部分为19-4(2)19-4【分析】（1）先估算19的大小，根据题意利用作差法，即可求解；（2）根据作差法比较，即可求解．【详解】（1）解：∵16<19<25，∴4<19则19的整数部分为4，小数部分为19-4（2）解：19-4∵19-45∴19-4【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键．类型十一、实数的运算与解方程31．（23-24八年级·江苏·期末）（1）计算：π-30（2）解方程：3x-13【答案】（1）0，（2）x=1【分析】（1）先将0次幂，算术平方根和负整数次幂化简，再进行计算即可；（2）先移项，再根据立方根的定义，即可求解．【详解】（1）解：原式=1+2-3=0；（2）解：3x-133x-1=2，3x=3，x=1．【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，0次幂，负整数次幂以及根据立方根的定义解方程，解题的关键是掌握任何非0数的0次幂为1，a2=a32．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：327（2）解方程：x-12【答案】（1）7；（2）x1【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义，利用平方根的含义解方程；（1）先计算立方根，零次幂，绝对值，算术平方根，再合并即可；（2）直接利用平方根的含义解方程即可；【详解】解：（1）3=3-1+3+2=7；（2）x-12∴x-1=±2，∴x1=3，33．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）计算：(1)3(2)-【答案】(1)-3(2)-7+【分析】本题主要考查了实数的运算、平方根、立方根等知识，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题关键．（1）先计算立方根及算术平方根，然后计算加减法即可；（2）先计算算术平方根及绝对值、零次幂和负整数指数幂，然后计算加减法即可【详解】（1）解：3=-2+2-3=-3；（2）-=-4+=-7+3类型十二、算术平方根、平方根、立方根的综合34．（23-24八年级上·江苏·期末）已知12a-1的平方根是±2，b+1的立方根为2，则代数式a-b的值为【答案】3【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质．根据平方根和立方根的性质可求出a=10，b=7，再代入，即可求解．【详解】解：∵12a-1的平方根是±2，b+1∴12a-1=4解得：a=10，b=7，则a-b=故答案为：3．35．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知x的平方根是±2，2x+y-7的立方根是-1，求x2【答案】20【分析】本题考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得x=±2【详解】解：由题意得：x=±2∴x=4,y=-2，∴x236．（20-21八年级上·江苏盐城·期末）若x＋y是9的算术平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．【答案】-24【分析】利用算术平方根与立方根的含义求解x＋y和x－y可得答案．【详解】解：∵x+y是9的算术平方根，∴x＋y=3，∵x-y的立方根是－2，∴x－y=-8，∴x2-y2=（x＋y）（x－y）=-24，故答案为：-24．【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义以及因式分解，掌握算术平方根与立方根的含义以及平方差公式是解题的关键．类型十三、实数的整数部分与小数部分37．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，则a-b的值为．【答案】6-【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小，是解答本题的关键．根据题意，得到3<10<4，进而得到a=3，b=10【详解】解：根据题意得：9<10<16，∴3<10∴10的整数部分a=3，小数部分b=10∴a-b=3-10故答案为：6-1038．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）我们知道2是无理数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：4<5<9，即2<5<3(1)34整数部分是________，小数部分是________；(2)如果11的整数部分为a，7-7的整数部分为b，求12a+7b【答案】(1)5，34(2)4【分析】本题主要考查无理数的估算方法，求一个数的立方根的方法，代入求值的方法的综合，掌握以上知识，计算方法是解题的关键．（1）根据材料提示即可求解；（2）根据材料提示分别求出a，b的值，代入计算12a+7b的值，再根据求一个数的立方根的运算方法即可求解．【详解】（1）解：∵5<34∴34的整数部分是5，小数部分是34故答案为：5，34-5（2）解：∵11的整数部分为a，且3<∴a=3，∵2<7∴4<7-7又7-7的整数部分为b∴b=4，∴12a+7b=12×3+7×4=64，∴12a+7b的立方根是4．39．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）【阅读材料】∵4<5<9，即2<5<3，∴1<5-1<2，∴5【解决问题】(1)填空：82的小数部分是；(2)已知a、b分别是82-4的整数部分、小数部分，求代数式3【答案】(1)82-9(2)84．【分析】（1）由于81<82<100，可求82的整数部分，进一步得出82的小数部分；（2）先求出82-4本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．【详解】（1）∵81<82<100，∴82的整数部分是9，∴82的小数部分是82-9故答案为82-9（2）∵a、b分别是82-4∴a=9-4=5，b=82∴3=3=3=2+82，=84．类型十四、实数的规律探究与新定义问题40．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）已知：1=13；3+5=23；7+9+11=33；13+15+17+19=【答案】8000【分析】由1=13；3+5=23；7+9+11=33；13+15+17+19=43【详解】解：∵1=13；3+5=23；7+9+11=∴(n-1)n+1+(n-1)n+3+···+(n-1)n+2n-1=n3,∵381+383+385+⋅⋅⋅+419的第一个数为381,∴当n=20时，(n-1)n+1=19×20+1=381,∴381+383+385+⋅⋅⋅+419是第20个运算式，∴381+383+385+⋅⋅⋅+419=故答案为：8000【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究及规律的应用，掌握“从具体到一般的探究方法及规律运用”是解本题的关键.41．（21-22八年级·江苏·假期作业）将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是．【答案】1+【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数