2025年高考一轮复习 仿真重难点训练01 一元二次函数、方程和不等式（解析版）

高考仿真重难点训练01一元二次函数、方程和不等式一、选择题1．已知为实数，则下列命题成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.【解析】对于A，若，当时，不满足，即A错误；对于B，若，则，所以B错误；对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；对于D，若，不妨取，则，可得D错误；故选：C2．如果，那么下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.【解析】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：B3．一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解析】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.4．若，，则的元素个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分别确定集合，再求交集.【解析】根据题意，可得集合或，，则，所以的元素个数为2个.故选：C5．若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D．6．已知，若，则m的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.【解析】因为，所以，等价于，解得.故选：A7．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定【答案】B【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.【解析】由题意得，，因为，故，，即，故选：B8．已知正实数a，b，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.【解析】取，满足，但，故“”推不出“”，因为，当且仅当“”时取等，当时，，所以，即，因为，所以，所以能推出.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.二、多选题9．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【解析】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．10．已知正实数满足，则（

）A．的最小值为6B．的最小值为3C．的最小值为D．的最小值为8【答案】AC【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D.【解析】正实数满足，对于A，，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确；对于B，，则，解得，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误；对于C，由选项B知，，，所以当时，取得最小值，C正确；对于D，由，得，而，则，，当且仅当时取等号，由，解得，所以当时，取得最小值，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.11．已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，进而得到只需即可，再依次判断四个选项即可.【解析】要满足，只需满足，其中正实数，，，且，，，为正数，，当且仅当，即时，等号成立，观察各选项，故只需，故只需即可，A选项，，，时，，A错误；B选项，，，时，，B正确；C选项，，，时，，C正确；D选项，，，时，，D错误.故选：BC.三、填空题12．已知集合，若且，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合，结合集合交集､并集的定义，即可求解.【解析】由得：，所以，因为且，所以.故答案为：.13．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为．【答案】【解析】由题意得，由得，因此14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为，比较两种方案，沙坑面积最大值为.【答案】（其中，），或，/【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.【解析】连接，由，，，，得，在中，，由，得，显然在上单调递减，所以满足的关系式为（，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号，所以；方案2：设游泳池的面积为，取的中点，连接，，设，，在中，，则，解得，当且仅当时取等号，，而，所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.故答案为：（，），或，；【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.四、解答题15．已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先解一元二次不等式，求出集合，再将代入求出集合，求即可；（2）由“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范围【解析】（1）解一元二次不等式得：当时，集合，所以，（2）由已知“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，，，而，且集合是集合的子集，所以，解得；综上.16．已知关于不等式的解集为或．(1)求值；(2)当，且满足时，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.【解析】（1）解：因为不等式的解集为或，可得和是方程的两个实数根，且，则，解得.（2）解：由（1）知，可得，因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.17．已知二次函数（，为实数）(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.【解析】（1）依题意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，，由，得，即，依题意，对恒成立，令，则对，恒成立，于是，解得，所以实数的取值范围是．18．某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤10）万元满足.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.(1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数；(2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大?【答案】(1)；(2)投入万元时，利润最大.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为，，即；（2）由，当且仅当，即时取等号.故该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大.19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一）(2)“下位点”，证明见解析(3)，理由见解析【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.（3）依题意可得，从而得到，即可得解.【解析】（1）因为，根据题设中的定义可得点的一个“上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和，即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）；（2）点是点的“下位点”.证明：点是点的“上位点”，

，又均大于，

，

，，即，所以点是点的“下位点