陕西省西安市第七十中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

陕西省西安市第七十中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．方程在区间内的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．102．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B．C． D．3．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．关于函数有下述四个结论：（）①是偶函数；②在区间上是单调递增函数；③在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④5．已知下列命题：①“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④6．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）A． B．0 C．1 D．37．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．198．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-110．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．711．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（）A．8 B．7 C．6 D．512．已知集合，则()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.14．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是15．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.18．（12分）在中，内角的边长分别为，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值．19．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.20．（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数.（1）若在处导数相等，证明：；（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.22．（10分）在中，，，.求边上的高.①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.【详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.2、B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．3、B【解析】

先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.4、C【解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于，所以为偶函数，故①正确.由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.当时，，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以③错误.依题意，，当时，，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5、B【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．6、C【解析】

先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得，化简得，即令，所以，故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。7、B【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出，则不符合题意，排除；若输出，则，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.8、C【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．9、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.10、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．11、B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.12、B【解析】

先由得或，再计算即可.【详解】由得或，，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”，则事件包含了个基本事件，所以.考点：1.计数原理；1．古典概型.14、【解析】

通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案.【详解】根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入，可得，即，由于在线段上，故，即，解得.15、3000【解析】

根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.16、【解析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得，，，.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【解析】

（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，计算分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）的可能取值为10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列为如下9000100001100012000（2）设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，的可能取值为2，3，4，5，，，则的分布列为2345的可能取值为3，4，5，6，，，则的分布列为3456由于，，因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；

（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．【详解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则，结合由得到的斜率关系，即可求得斜率的范围.【详解】（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为，所以点到点的距离等于点到直线的距离，所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为.所以曲线的方程.（2）设，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据，，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.【详解】（1）数列为等比数列，且，，成等差数列.设数列的公比为，，，解得（2），，，，.【点睛】本题考查等差、等比数列的