贵州省毕节市黔西县树立中学2025届高考数学一模试卷含解析

贵州省毕节市黔西县树立中学2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（）A．36 B．21 C．12 D．62．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A． B． C． D．43．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．4．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.85．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（）A． B． C． D．8．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．10．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．211．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．12．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（）A． B．6 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量，满足约束条件则的最大值为________.14．平面向量与的夹角为，，，则__________．15．若函数为奇函数，则_______.16．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.19．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10分）已知函数．（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.2、D【解析】

如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3、A【解析】

依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.4、B【解析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.5、B【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得，，所以，即，由平面向量数量积定义可得，所以，而，即与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.6、B【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.7、A【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。由有，，解得，所以，，故选A。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。8、A【解析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.9、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．10、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.11、A【解析】

过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12、D【解析】

根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为：,故选：D【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.故答案为：.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.14、【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.15、-2【解析】

由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.16、【解析】

求出在上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.【详解】解：令，解得因为，所以关于对称.则.由，则由可知，，又因为，所以，则，即故答案为:;.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四边形为菱形，再通过，证得，所以四边形为正方形，得到.（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面的法向量为，由求得，再由，利用线面角的向量法公式求解.【详解】（1）因为，故，所以四边形为菱形，而平面，故.因为，故，故，即四边形为正方形，故.（2）依题意，.在正方形中，，故以为原点，所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系；如图所示：不纺设，则，又因为，所以.所以.设平面的法向量为，则，即，令，则.于是.又因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.18、；①详见解析；②应该批发一大箱.【解析】

酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况，分别求出相应概率，由此求出的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，，从而早餐应该批发一大箱.【详解】解：根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元.随机变量的分布列为所以（元）若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.当销量为瓶时，利润为元；当销量为瓶时，利润为元.随机变量的分布列为所以（元）.②根据①中的计算结果，，所以早餐店应该批发一大箱.【点睛】本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设，连接，如下图所示：∵侧面为菱形，∴，且为及的中点，又，则为直角三角形，，又，，即，而为平面内的两条相交直线，平面.(2)平面，平面，，即，从而两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系，为等边三角形，，，，设平面的法向量为，则，即，∴可取，设平面的法向量为，则.同理可取，由图示可知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，由，得，令，得，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.21、（1）证明见解析（2）【解