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文档简介
浙江省普通高校2025届高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③2.若单位向量,夹角为,,且,则实数()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-13.函数的图象大致是()A. B.C. D.4.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为()A.5 B.6 C.7 D.95.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.6.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.7.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.8.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.59.已知边长为4的菱形,,为的中点,为平面内一点,若,则()A.16 B.14 C.12 D.810.的内角的对边分别为,若,则内角()A. B. C. D.11.已知命题,那么为()A. B.C. D.12.函数在的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.14.设函数,若对于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,则实数a的取值范围是.15.已知多项式的各项系数之和为32,则展开式中含项的系数为______.16.若实数,满足不等式组,则的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)时,求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范围.18.(12分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.19.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.20.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.21.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.22.(10分)已知函数.(1)若曲线在处的切线为,试求实数,的值;(2)当时,若有两个极值点,,且,,若不等式恒成立,试求实数m的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.2、D【解析】
利用向量模的运算列方程,结合向量数量积的运算,求得实数的值.【详解】由于,所以,即,,即,解得或.故选:D【点睛】本小题主要考查向量模的运算,考查向量数量积的运算,属于基础题.3、A【解析】
根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.4、A【解析】
由题可知:,且可得,构造函数求导,通过导函数求出的单调性,结合图像得出,即得出,从而得出的最大值.【详解】因为,则,即整理得,令,设,则,令,则,令,则,故在上单调递增,在上单调递减,则,因为,,由题可知:时,则,所以,所以,当无限接近时,满足条件,所以,所以要使得故当时,可有,故,即,所以:最大值为5.故选:A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,同时考查转化思想和解题能力.5、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.6、C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.7、B【解析】
根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.8、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【详解】解:由,所以,,,故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.9、B【解析】
取中点,可确定;根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得,利用可求得结果.【详解】取中点,连接,,,即.,,,则.故选:.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题,涉及到平面向量的线性运算,关键是能够将所求向量进行拆解,进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.10、C【解析】
由正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换可得.【详解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查正弦定理,考查两角和的正弦公式和诱导公式,掌握正弦定理的边角互化是解题关键.11、B【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题,,那么是.故选:.【点睛】本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.12、B【解析】
先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.14、【解析】试题分析:由题意得函数在[2,上单调递增,当时在[2,上单调递增;当时在上单调递增;在上单调递减,因此实数a的取值范围是考点:函数单调性15、【解析】
令可得各项系数和为,得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项,可得解.【详解】令,则得,解得,所以展开式中含项为:,故答案为:【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和,二项展开式特定项,赋值法,属于中档题.16、5【解析】
根据题意,画出图像,数形结合,将目标转化为求动直线纵截距的最值,即可求解【详解】画出不等式组,表示的平面区域如图阴影区域所示,令,则.分析知,当,时,取得最小值,且.【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)代入可得对分类讨论即可得不等式的解集;(2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【详解】(1)当时,不等式可化为,①当时,不等式为,解得;②当时,不等式为,无解;③当时,不等式为,解得,综上,原不等式的解集为.(2)因为的解集包含于,则不等式可化为,即.解得,由题意知,解得,所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,进而得,在中,由正弦定理得,所以的面积即可得解.试题解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面积.19、(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试题解析:(1)对求导得.设直线与曲线切于点,则,解得,所以的值为1.(2)记函数,下面考察函数的符号,对函数求导得.当时,恒成立.当时,,从而.∴在上恒成立,故在上单调递减.,∴,又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的,使.∴;,,∴,从而,∴,由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,上恒成立.①当时,在上恒成立,即在上恒成立,记,则,当变化时,变化情况列表如下:
3
0
极小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②当时,,当时,在上恒成立,综合①②知,当时,函数为增函数.故实数的取值范围是考点:函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中,和切线有关的题目非常多,我们只要把握住关键点:一个是切点,一个是斜率,切点即在原来函数图象上,也在切线上;斜率就是导数的值.根据这两点,列方程组,就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略,先求得的表达式,然后再求得的表达式,我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.21、(1)(2)不存在;详见解析【解析】
(1)设,,,通过,即为的中点,转化求解,点的轨迹的方程.(2)设直线的方程为,先根据,可得,①,再根据韦达定理,点在椭圆上可得,②,将①代入②可得,该方程无解,问题得以解决【详解】(1)设,,则,,由题意知,所以为中点,由中点坐标公式得,即,又点在圆:上,故满足,得.曲线的方程.(2)由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,因为,故,即①,联立,消去得:,设,,,,,因为四边形为平行四边形,故,点在椭圆上,故,整理得②,将①代入②,得,该方程无解,故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的
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