名师伴你行一轮总复习物理(新高考) 第二部分

第二部分电磁学部分第七章静电场第1讲电场力的性质知识点一点电荷电荷守恒库仑定律1．点电荷：当带电体本身的____________对研究的问题影响可以忽略不计时，可以将带电体视为点电荷．点电荷是一种理想化模型．2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消失，只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量________．(2)三种起电方式：________、________、________.3．库仑定律(1)内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力与它们的____________成正比，与它们的____________成反比，作用力的方向在____________．(2)表达式：F＝________，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫静电力常量．(3)适用条件：________中的__________．答案：1.大小和形状2.(1)转移转移保持不变(2)摩擦起电接触起电感应起电3.(1)真空电荷量的乘积距离的平方它们的连线上(2)keq\f(q1q2,r2)(3)真空静止点电荷知识点二静电场电场强度电场线1．静电场：静电场是客观存在于电荷周围的一种________，其基本性质是对放入其中的电荷有________．2．电场强度(1)定义式：E＝________，是矢量，单位：N/C或V/m.(2)点电荷的场强：E＝________.(3)方向：规定________在电场中某点________为该点的电场强度方向．3．电场的叠加(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的________和．(2)运算法则：________________定则.直观情景等量同种电荷等量异种电荷4.电场线(1)电场线从正电荷出发，终止于____________，或来自无穷远处，终止于________．(2)电场线在电场中________．(3)在同一电场中，电场线越密的地方电场强度越大．(4)电场线上某点的切线方向表示该点的________________________________________________________________________.答案：1.物质力的作用2.(1)eq\f(F,q)(2)eq\f(kQ,r2)(3)正电荷受力的方向3.(1)矢量(2)平行四边形4.(1)负电荷或无穷远处负电荷(2)不相交(4)电场强度方向1．思维辨析(1)任何带电体所带的电荷量都是元电荷的整数倍．()(2)点电荷和电场线都是客观存在的．()(3)根据F＝keq\f(q1q2,r2)，当r→0时，F→∞.()(4)电场强度反映了电场力的性质，所以电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的电场力成正比．()(5)电场中某点的电场强度方向即为正电荷在该点所受的电场力的方向．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2．下列说法正确的是()A．电场线就是点电荷在电场中的运动轨迹B．根据E＝eq\f(F,q)，可知电场中某点的场强与电场力成正比C．几个电场叠加后合电场的场强一定大于分电场的场强D．根据E＝eq\f(kQ,r2)，可知点电荷电场中某点的场强与场源电荷的电荷量Q成正比答案：D解析：电场线实际并不存在，是用来描述电场分布的，不是点电荷在电场中的运动轨迹，故A错误；电场强度的定义式为E＝eq\f(F,q)，运用比值法定义，则知场强反映电场本身的性质，与试探电荷所受的电场力无关，故B错误；电场叠加遵守平行四边形定则，可知合电场的场强不一定大于分电场的场强，故C错误；点电荷产生的电场强度为E＝keq\f(Q,r2)，Q是场源电荷带电荷量，则知点电荷电场中某点的场强与场源电荷的电荷量Q成正比，故D正确．3．有两个半径为r的金属球如图所示放置，两球表面间距离为r.今使两球带上等量的异种电荷Q，两球间库仑力的大小为F，那么()A．F＝keq\f(Q2,3r2) B．F>keq\f(Q2,3r2)C．F<keq\f(Q2,3r2) D．无法判定答案：B4．一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的．关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)()答案：D解析：由a至c曲线的弯曲情况可知质点受力方向指向图中虚线的右下方，质点在b点的速度vb方向如图所示，由a至c速率递减可知受力方向大致如图中F，α角大于90°，因为质点带负电荷，故场强方向应与F方向相反，D正确．5.(2021上海长宁区二模)如图所示的仪器叫做库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结出库仑定律．下列说法中正确的是()A．装置中A、C为带电金属球，B为不带电的平衡小球B．实验过程中一定要使A、B球带等量同种电荷C．库仑通过该实验计算出静电力常量k的值D．库仑通过该实验测量出电荷间相互作用力的大小答案：A解析：根据库仑扭秤实验装置可知，在悬丝下面悬挂一根绝缘棒，棒的一端有一个带电金属小球A，另一端有一个不带电的平衡小球B，在离A球某一距离的地方放一个带电金属小球C，故A正确，B错误；本实验当悬丝弹力的力矩与静电力的力矩平衡时，从悬丝扭转过的角度可以比较电荷间作用力的大小，改变A和C之间的距离得出规律，但由于在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带电荷量，连单位都没有，所以C、D错误．考点库仑定律的理解和应用1．在用库仑定律公式时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电荷量的绝对值；根据同种电荷相斥、异种电荷相吸判断库仑力的方向．2．两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反．3．库仑力存在极大值，由公式F＝keq\f(q1q2,r2)可以看出，在两带电体的间距及电荷量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大．4．不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞.其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了．角度Ⅰ.应用库仑定律计算电荷间的相互作用1．(2018全国卷Ⅰ)如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5cm，bc＝3cm，ca＝4cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则()A．a、b的电荷同号，k＝eq\f(16,9) B．a、b的电荷异号，k＝eq\f(16,9)C．a、b的电荷同号，k＝eq\f(64,27) D．a、b的电荷异号，k＝eq\f(64,27)答案：D解析：由于小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，根据受力分析知，a、b的电荷异号．根据库仑定律，a对c的库仑力为Fa＝k0eq\f(qaqc,ac2)①b对c的库仑力为Fb＝k0eq\f(qbqc,bc2)②设合力向左，如图所示，根据相似三角形，得eq\f(Fa,ac)＝eq\f(Fb,bc)③联立①②③式得k＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(qa,qb)))＝eq\f(ac3,bc3)＝eq\f(64,27).2．(2021河北精英中学二调)如图所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电的半径相同的eq\f(1,4)球壳和eq\f(3,4)球壳的球心，两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同．若甲图中带电eq\f(1,4)球壳对点电荷的库仑力大小为F，则乙图中带电eq\f(3,4)球壳对点电荷的库仑力大小为()A.eq\f(3,2)FB.eq\f(\r(2),2)FC.eq\f(F,2)D．F答案：D解析：将乙图中的均匀带电eq\f(3,4)球壳分成三个eq\f(1,4)带电球壳，关于球心对称的两个eq\f(1,4)带电球壳对点电荷的库仑力的合力为零，因此乙图中的带电eq\f(3,4)球壳对点电荷的库仑力和甲图中的带电eq\f(1,4)球壳对点电荷的库仑力大小相等，D项正确．/高/分/技/法库仑定律的适用条件任何一个带电体都可以被看成是由许多点电荷组成的，任意两点电荷之间的作用力都遵循库仑定律，可以用矢量求和法求合力．当r很小时，不能认为库仑力趋于无穷大．角度Ⅱ.库仑力作用下的平衡问题3.(2019全国卷Ⅰ)如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则()A．P和Q都带正电荷B．P和Q都带负电荷C．P带正电荷，Q带负电荷D．P带负电荷，Q带正电荷答案：D解析：A、B错：细绳竖直，把P、Q看做整体，在水平方向不受力，对外不显电性，带异种电荷．C错，D对：如果P、Q带不同性质的电荷，受力如图所示，由图知，P带负电、Q带正电时符合题意．4．(2021浙江名校协作体联考)如图所示，质量为m、电荷量为Q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，另一个带电荷量也为Q的带电小球B固定于O点的正下方，已知绳长OA为2l，O到B点的距离为l，平衡时A、B带电小球处于同一高度，已知重力加速度为g，静电力常量为k，则()A．A、B间库仑力大小为eq\f(kQ2,l2)B．A、B间库仑力大小为2mgC．细线拉力大小为eq\r(3)mgD．细线拉力大小为eq\f(2\r(3)kQ2,9l2)答案：D解析：由几何关系可知，OA与OB的夹角为60°，则A、B间距离r＝2lsin60°＝eq\r(3)l，则A、B间库仑力大小为F＝eq\f(kQ2,\r(3)l2)＝eq\f(kQ2,3l2)，选项A错误；根据平行四边形定则可知，A、B间的库仑力为F＝mgtan60°＝eq\r(3)mg，细线的拉力T＝eq\f(mg,sin30°)＝2mg，或者T＝eq\f(F,cos30°)＝eq\f(2,\r(3))·eq\f(kQ2,3l2)＝eq\f(2\r(3)kQ2,9l2)，选项B、C错误，D正确．/高/分/技/法共点力作用下平衡问题的分析方法考点电场强度的理解与计算1．电场强度的性质矢量性电场强度E是表示电场力的性质的一个物理量．规定正电荷受力方向为该点场强的方向唯一性电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置叠加性如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和2.电场强度的三个计算公式公式适用条件说明定义式E＝eq\f(F,q)任何电场某点的场强为确定值，大小及方向与q无关决定式E＝keq\f(Q,r2)真空中点电荷的电场E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定关系式E＝eq\f(U,d)匀强电场d是沿电场方向的距离角度Ⅰ.两个点电荷电场叠加1．(2021四川乐山二模)如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距，a、b、c、d连线水平．先在a点固定一点电荷＋Q，测得b点场强大小为E.若再将另一点电荷＋2Q放在d点，则()A．b点场强大小为eq\f(E,2)，方向水平向右B．b点场强大小为eq\f(3,2)E，方向水平向左C．c点场强大小为eq\f(9,4)E，方向水平向右D．c点场强大小为eq\f(9,4)E，方向水平向左答案：A解析：设ab＝bc＝cd＝L，点电荷＋Q在b点产生电场的场强大小为E，方向水平向右；由点电荷的场强公式得Eb1＝keq\f(Q,L2)，点电荷＋2Q在b点产生电场的场强大小为Eb2＝keq\f(2Q,2L2)＝keq\f(Q,2L2)＝eq\f(1,2)E，方向水平向左，所以b点的场强大小为Eb＝E－eq\f(1,2)E＝eq\f(1,2)E，方向水平向右，故A正确，B错误；点电荷＋Q在c点产生电场的场强大小为Ec1＝keq\f(Q,2L2)＝eq\f(1,4)E，方向水平向右，点电荷＋2Q在c点产生电场的场强大小为Ec2＝keq\f(2Q,L2)＝2E，方向水平向左，所以c点的场强大小为Ec＝2E－eq\f(1,4)E＝eq\f(7,4)E，方向水平向左，故C、D错误．2．(2021甘肃二诊)如图所示，等量异种点电荷A、B固定在同一水平线上，竖直固定的光滑绝缘杆与AB的中垂线重合，C、D是绝缘杆上的两点，ACBD构成一个正方形．一带负电的小球(可视为点电荷)套在绝缘杆上自C点无初速释放，由C运动到D的过程中，下列说法正确的是()A．小球的速度先减小后增大B．小球的速度先增大后减小C．杆对小球的作用力先减小后增大D．杆对小球的作用力先增大后减小答案：D解析：等量异种点电荷中垂线上的场强方向为水平向右，从C到D场强的大小先变大后变小，并且C、D两点的场强相等．带负电的小球沿光滑杆运动时，竖直方向上只受重力，水平方向上受力平衡，则小球的速度越来越大，A、B两项错误；杆对小球的作用力等于电场力，则先变大，后变小，C项错误，D项正确．角度Ⅱ.多个电荷(或电场)叠加3．(2021浙江学军中学模拟)一边长为r的正三角形的三个顶点，固定有3个点电荷，电荷量分别为＋q、＋q和－2q，如图所示，静电力常量为k，则三角形中心处O点的电场强度大小和方向分别为()A.eq\f(12kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷B.eq\f(9kq,r2)，指向电荷量为－2q的点电荷C.eq\f(12kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷D.eq\f(9kq,r2)，背离电荷量为－2q的点电荷答案：B解析：O点是三角形的中心，到三个点电荷的距离均为l＝eq\f(\r(3),3)r，两个电荷量为＋q的点电荷在O产生的场强大小为E1＝E2＝keq\f(q,l2)，根据对称性和几何知识可知两个电荷量为＋q的点电荷在O点产生的合场强为E12＝E1＝keq\f(q,l2)；再与电荷量为－2q的点电荷在O处产生的场强合成，得到O点的合场强为E＝E12＋E3＝keq\f(q,l2)＋keq\f(2q,l2)＝keq\f(3q,l2)＝eq\f(9kq,r2)，方向指向电荷量为－2q的点电荷，故选B.4．(2021贵州黔东南一模)如图所示，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，电场强度大小为E.坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形．若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点时，C点处的电场强度恰好为零．则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为()A．E B.eq\f(\r(3),3)EC.eq\r(3)E D.eq\f(\r(3),2)E答案：B解析：C点三个电场方向如图所示，根据题意，由几何关系可知E1cos30°＋E2cos30°＝E，又知E1＝E2，解得E2＝eq\f(\r(3),3)E，B正确．/高/分/技/法对点电荷电场叠加的深度理解1．孤立点电荷场强公式E＝eq\f(kq,r2)，由此可知点电荷电场中某点场强由场源电荷和该点到场源电荷的距离决定，与引入的试探电荷无关．2．若空间中有几个点电荷同时存在，则每个电荷在周围空间独立的激发电场，与是否有其他电荷无关；此时空间中某点场强等于每个点电荷在该点产生场强的矢量和．考点电场线的理解和应用1．电场线的性质(1)电场线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致．(2)电场线从正电荷或无穷远出发，终止于无限远或负电荷．(3)电场线在电场中不相交、不闭合、不中断．(4)在同一电场中，电场线越密集的地方场强越大，电场线越稀疏的地方场强越小．(5)沿电场线的方向电势逐渐降低，匀强电场中电场线方向是电势降落最快的方向．2．电场线的应用1.某静电场的电场线方向不确定，分布如图中实线所示，一带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是()A．粒子必定带正电荷B．该静电场一定是孤立正电荷产生的C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度D．粒子在M点的速度大于它在N点的速度答案：C解析：带电粒子所受静电力沿电场线的切线方向或其反方向，且指向曲线弯曲的内侧，静电力方向大致向上，因不知电场线的方向，粒子的电性无法确定，所以选项A错误；电场线是弯曲的，则一定不是孤立点电荷的电场，所以选项B错误；N点处电场线密，则场强大，粒子受到的静电力大，产生的加速度也大，所以选项C正确；因静电力大致向上，粒子由M运动到N时，静电力做正功，粒子动能增加，速度增加，所以选项D错误．/高/分/技/法求解电场线与运动轨迹问题的方法1．“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况．2．“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三个方面．若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知(三不知)，则要用“假设法”分别讨论各种情况．2．(2021浙江温州十五校联考)有一空间分布的电场，如图所示为其中一条电场线，A、B、C为电场线上的三点，箭头方向为各点的切线方向，则下列说法正确的是()A．A点的场强不可能小于C点的场强B．A、B、C三点的切线方向为试探电荷在该位置的受力方向C．正点电荷从A点沿电场线运动到C点，电势能减小D．正点电荷仅受电场力作用由A处静止释放后将沿该电场线运动答案：C解析：电场线的疏密表示场强的大小，而一条电场线无法判断电场线的分布情况，又不知是何种电荷产生的电场，则无法比较场强的大小，所以A点的场强可能小于C点的场强，故A错误；据场强方向的规定，正电荷在某点所受电场力的方向与该点场强方向相同，若为负电荷，则与该点场强方向相反，故B错误；正点电荷从A点沿电场线运动到C点，电场力做正功，电势能减小，故C正确；正点电荷仅受电场力作用由A处静止释放，该电荷所受的电场力是变力，与电场线相切，据曲线运动的条件可知该电荷并不能沿电场线运动，故D错误．3.(2021浙南名校联盟一联)如图所示，球形电容器是由半径不同的同心金属球壳组成，内外球壳带有等量异种电荷，球壳之间为真空，并形成了沿半径方向的电场．已知M点与N点在同一电场线上，M点与P点到圆心的距离相等，则下列说法正确的是()A．该径向电场为匀强电场B．M点的电场强度比N点小C．P点的电势比N点低D．电荷沿圆弧虚线从M到P，电场力不做功答案：D解析：该电场是放射状的，各点的场强不全相同，所以该径向电场不是匀强电场，故A项错误；M点处电场线密，电场强度大，故B错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以M点的电势高于N点的电势，P、M两点在同一等势面上，电势相等，所以P点电势高于N点电势，故C错误；电荷沿同一等势面移动时电场力不做功，M、P在同一等势面，所以电荷沿圆弧虚线从M到P，电场力不做功，故D项正确．课题研究求解电场强度的“四种”特殊方法方法一：微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而化曲为直，将变量、难以确定的量转化为常量、容易求得的量．[典例1]如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强大小．[解析]设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝eq\f(Q,n)，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P点产生的场强大小为E＝eq\f(kQ,nr2)＝eq\f(kQ,nR2＋L2).由对称性知，各小段带电体在P点场强E的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P点的场强EP，EP＝nEx＝nkeq\f(Q,nR2＋L2)cosθ＝keq\f(QL,R2＋L2\f(3,2)).[答案]keq\f(QL,R2＋L2\f(3,2))方法二：补偿法将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面．[典例2]均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R.已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为()A.eq\f(kq,2R2)－E B.eq\f(kq,4R2)C.eq\f(kq,4R2)－E D.eq\f(kq,4R2)＋E[解析]左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷－q的右半球面的电场的合电场，则E＝eq\f(k·2q,2R2)－E′，E′为带电荷－q的右半球面在M点产生的场强大小．带电荷－q的右半球面在M点的场强大小与带电荷为＋q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝eq\f(k·2q,2R2)－E＝eq\f(kq,2R2)－E，则A正确．[答案]A方法三：对称法利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，可以使复杂电场的叠加计算大为简化．[典例3]如图所示，在均匀带正电的无穷大薄平板右侧距离3l处有一个带电荷量为＋q的小球，在小球到平板垂线上距平板为2l的P处，场强恰好为零．已知无穷大平板产生的电场的电场线自正电荷发出，终止于无穷远处，静电力常量为k，则P点关于薄平板对称的M点的场强大小是()A.eq\f(26kq,25l2)B.eq\f(10kq,9l2)C.eq\f(4kq,3l2)D.eq\f(kq,l2)[关键点拨]均匀带电的无穷大薄平板在左右两侧的对称点处产生的场强大小相等，方向相反．[解析]P处场强恰好为零，所以正电薄平板在P处产生的场强和带电荷量为＋q的小球在P处产生的场强大小相等，方向相反，即正电薄平板在P处产生的场强E＝keq\f(q,l2)，方向水平向右．根据对称关系可知，正电薄平板在M处产生的场强大小E2＝keq\f(q,l2)，方向水平向左，而带电荷量为＋q的小球在M处产生的场强E1＝keq\f(q,5l2)，方向水平向左，所以M点的场强大小EM＝E1＋E2＝keq\f(26q,25l2)，方向水平向左，A正确．[答案]A方法四：等效法在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．[典例4]MN为足够大的不带电的金属板，在其右侧距离为d的位置放一个电荷量为＋q的点电荷O，金属板右侧空间的电场分布如图甲所示，P是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点．几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难，经过研究，他们发现图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中是两等量异号点电荷的电场线分布，其电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别对甲图P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是()A．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为eq\f(2kqd,r3)B．方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为eq\f(2kq\r(r2－d2),r3)C．方向垂直于金属板向左，大小为eq\f(2kqd,r3)D．方向垂直于金属板向左，大小为eq\f(2kq\r(r2－d2),r3)[解析]据题意，从乙图可以看出，P点电场方向为水平向左；由图乙可知，正、负电荷在P点电场的叠加，其大小为E＝2keq\f(q,r2)cosθ＝2keq\f(q,r2)·eq\f(d,r)＝2keq\f(qd,r3)，故选项C正确．[答案]C限时跟踪检测(三十)电场力的性质[基础训练]1．(2021黑龙江哈尔滨三中期中)两个分别带有电荷量－Q和＋7Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为eq\f(r,2)，则两球间库仑力的大小为()A.eq\f(F,16) B．16FC.eq\f(36F,7) D.eq\f(7F,9)答案：C解析：两金属小球相距为r时，根据库仑定律得两球间库仑力的大小F＝keq\f(7Q2,r2)，两小球相互接触后各自带电荷量变为eq\f(7Q－Q,2)＝3Q，则两金属小球固定距离变为eq\f(r,2)时，两球间的库仑力大小变为F′＝k·eq\f(3Q2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2)＝eq\f(36kQ2,r2)＝eq\f(36,7)F，选项C正确，A、B、D错误．2．(2021浙江考前冲刺)利用如图所示的装置研究点电荷之间的相互作用力，当A带电荷量为＋Q、质量为M，B带电荷量为＋q、质量为m时，绝缘轻绳摆开的角度为θ，且两点电荷相距L，连线水平，已知静电力常量为k，则()A．tanθ＝eq\f(kQq,mgL2)B．若仅将B的质量增大，则轻绳摆开的角度增大C．若仅将A的质量增大，则轻绳摆开的角度增大D．若仅将A向左移动，则轻绳摆开的角度增大答案：A解析：以B为研究对象进行受力分析，如图所示．根据平衡条件得F＝keq\f(Qq,L2)＝mgtanθ，解得tanθ＝eq\f(kQq,mgL2)，选项A正确；若仅将B的质量增大，由tanθ＝eq\f(kQq,mgL2)可知，tanθ减小，则轻绳摆开的角度减小，角度与A的质量无关，选项B、C错误；若仅将A向左移动，即L增大，由tanθ＝eq\f(kQq,mgL2)可知，tanθ减小，则轻绳摆开的角度减小，选项D错误．3．(2021广东汕头检测)有两个电荷量为＋4Q和－9Q(Q>0)的点电荷，分别固定在相距为r的A、B两点，如图所示．若在A、B两点连线所在的直线上某一点O放入第三个点电荷q，且q受到的静电力恰好为零．下列说法正确的是()A．q一定带负电B．O点可能存在两个不同的位置C．O点只能位于A点左侧与A点相距r处D．O点只能位于A点左侧与A点相距2r处答案：D解析：因A点处电荷所带电荷量小于B点处电荷所带电荷量，第三个点电荷要想平衡则要放置在A点左侧，电性可正可负，设其距离A点为x，由平衡知识可得keq\f(4Q·QC,x2)＝keq\f(9Q·QC,r＋x2)，解得x＝2r，故选D.4．(2021安徽重点中学协作体联考)如图所示为点电荷A、B形成的电场，下列说法正确的是()A．A带正电，B带负电B．A的电荷量大于B的电荷量C．A的左侧某点电场强度可能为零D．AB连线上从A到B电势降低答案：C解析：根据电场线从正电荷出发到负电荷终止，可知A、B是异种电荷，但不能确定A、B哪个带正电，选项A错误；电场线密集程度反映电场强弱，B附近电场线较密，电场强度较大，由点电荷电场强度的表达式E＝keq\f(Q,r2)可知B带电荷量较多，选项B错误；电场中任意一点电场强度是A、B产生电场强度的矢量和，由点电荷电场强度的公式E＝keq\f(Q,r2)可知，A的左侧位置距B远，而B带电荷量大，所以A、B在该位置产生的电场强度大小可能相同，又因为A、B是异种电荷，A的左侧位置两电荷的电场强度方向相反，因此A的左侧某点电场强度可能为零，选项C正确；沿着电场线方向电势逐渐降低，由于不能确定电场线方向，所以不能确定A、B电势的高低，选项D错误．5．(2021宁夏大学附中模拟)a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，O为菱形的中心，∠abc＝120°.现将三个等量的正点电荷＋Q分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有()A．d点电场强度的方向由d指向OB．O点电场强度的方向由d指向OC．O点的电场强度大于d点的电场强度D．O点的电场强度小于d点的电场强度答案：C解析：由电场的叠加原理可知，d点电场的方向为由O指向d，O点的电场方向也是由O指向d，故A、B错误；设菱形的边长为r，根据点电荷电场强度表达式E＝keq\f(Q,r2)，三个点电荷在d点产生的场强大小相等，由场强的叠加可知，d点的场强大小Ed＝2keq\f(Q,r2)，O点的场强大小为EO＝4keq\f(Q,r2)，可见d点的电场强度小于O点的电场强度，故D错误，C正确．6．(2021重庆沙坪坝区月考)如图所示，存在一与水平方向成θ角斜向下的匀强电场，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为m，电荷量为q，平衡时绝缘细线与竖直方向夹角也为θ.则E的大小为()A.eq\f(mgsinθ,q) B.eq\f(mgtanθ,q)C.eq\f(mgcosθ,q) D.eq\f(mgsinθ,qcos2θ)答案：A解析：对小球受力分析，如图所示，由平衡条件得qE＝mgsinθ，解得E＝eq\f(mgsinθ,q)，选项A正确，B、C、D错误．7．(2021湖北鄂州、黄冈联考)(多选)如图所示，半径为R的绝缘光滑半圆形槽圆心为O，槽内有两个质量、电荷量都相同的带电小球A和B，其中A小球固定在槽的最低点．当B小球静止时，O、B连线与竖直方向的夹角为θ.下列各项中能保持夹角θ不变的是()A．仅使半圆形槽的半径加倍B．仅使A球的电荷量加倍C．使B球的质量和电荷量都加倍D．使半圆形槽的半径和两球的电荷量都减半答案：CD解析：B球受重力、库仑斥力和支持力，三力平衡，重力和库仑斥力的合力沿着半径OB指向B，只要重力和库仑斥力的合力方向不变，B球就能保持平衡．仅使半圆形槽的半径加倍，若保持夹角不变，则A、B之间的距离加倍，根据公式F＝eq\f(kqQ,r2)可知B球受到A球的库仑斥力变为原来的eq\f(1,4)，故重力和库仑斥力的合力方向一定改变，B球不能在原位置平衡，故A错误；仅使A球的电荷量加倍，若保持夹角不变，则A、B之间的距离不变，根据公式F＝eq\f(kqQ,r2)可知B球受到A球的库仑斥力变为原来的2倍，故重力和库仑斥力的合力方向一定改变，B不能在原位置平衡，故B错误；使B球的质量和电荷量都加倍，若保持夹角不变，根据公式F＝eq\f(kqQ,r2)可知B球受到A球的库仑斥力变为原来的2倍，B球受到的重力变为原来的2倍，故重力和库仑斥力的合力方向不变，球B能在原位置保持平衡，故C正确；使半圆形槽的半径和两球的电荷量都减半，若保持夹角不变，则A、B之间的距离减半，根据公式F＝eq\f(kqQ,r2)可知B球受到A球的库仑斥力不变，B球受到的重力不变，故重力和库仑斥力的合力方向不变，B球能在原位置保持平衡，故D正确．8．根据库仑定律和万有引力定律可知，点电荷间的库仑力和质点间的万有引力都与距离的二次方成反比，即都遵循平方反比规律，两者之间具有很大的相似性．那么试想有如图所示的物理情境，点电荷A、B带异种电荷，两者仅在彼此间的库仑力作用下绕连线上的某点O做匀速圆周运动，这个情形很像双星模型，我们可以称之为“双电荷模型”．那么关于“双电荷模型”，下列说法中正确的是()A．运动半径与质量成反比B．运动半径与电荷量成正比C．角速度与质量成反比D．线速度与电荷量成正比答案：A解析：由于两点电荷要绕着O点做匀速圆周运动，两点电荷间引力沿着二者连线，引力提供向心力，可知二者连线始终过O点，两点电荷始终在相同时间内转过相同的角度，因此两点电荷的角速度、周期均相等，故选项C错误；两点电荷彼此间的库仑力提供各自做圆周运动的向心力，且二者的角速度相等，满足eq\f(kqAqB,l2)＝mArAω2和eq\f(kqAqB,l2)＝mBrBω2，解得mArA＝mBrB，即eq\f(rA,rB)＝eq\f(mB,mA)，运动半径与质量成反比，与电荷量无关，故选项A正确，B错误；由于线速度v＝ωr，二者角速度相等，因此线速度与半径成正比，即线速度和质量成反比，与电荷量无关，故选项D错误．[能力提升]9．(2021湖南永州二模)如图所示，在正方形四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，则下列四个选项中，正方形中心处场强最大的是()答案：B解析：设各点电荷到中心处距离为r，根据点电荷电场强度公式E＝keq\f(Q,r2)，结合矢量合成法则可知，A选项中两个负点电荷在正方形中心处电场强度为零，两个正点电荷在中心处电场强度为零，则正方形中心处场强为零；同理，正方形对角线异种点电荷的电场强度，即为各自点电荷在中心处产生的场强相加，再根据矢量合成法则可知B选项中正方形中心处的电场强度大小为2eq\r(2)keq\f(Q,r2)；C选项中，正方形对角线的两负点电荷的电场强度在中心处相互抵消，而正点电荷在中心处叠加后电场强度大小为keq\f(Q,r2)；根据点电荷电场强度公式E＝keq\f(Q,r2)，结合叠加原理，D选项中点电荷在中心处的电场强度大小为eq\r(2)keq\f(Q,r2)，故B项符合题意．10.(2021陕西一模)(多选)如图所示，带正电的小球A用竖直立在地面上的绝缘杆支撑固定，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线挂着，开始时A、B在同一水平线上并处于静止状态，不计两个小球的大小．现用手拉细线，使小球B缓慢向上移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的电荷量保持不变，不计两球间的万有引力，则在B球缓慢移动一小段距离的过程中()A．A、B两球间的距离在减小B．小球的运动轨迹是一段圆弧C．细线上的张力一直减小D．细线上的张力可能先变小后变大答案：BC解析：B受到的重力为mg，设A、B两球的带电荷量分别为q1、q2，两球间的距离为r，A球与定滑轮的距离为h，定滑轮与B球的距离为d，在B球移动过程中任取一位置，对B球受力分析如图所示，根据相似三角形知识可知，eq\f(mg,h)＝eq\f(F,d)＝eq\f(\f(kq1q2,r2),r)，解得r＝eq\r(3,\f(kq1q2h,mg))，由此可见，在小球B移动过程中，r不变，因此小球的运动轨迹是一段圆弧，选项A错误，B正确；又根据F＝eq\f(mgd,h)，由于d在减小，因此F在减小，选项C正确，D错误．11．(2021湖北名师联盟月考)如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中A点的电场强度为0，则带电薄板在图中B点产生的电场强度()A．大小为keq\f(q,d2)，方向水平向左B．大小为keq\f(q,d2)，方向水平向右C．大小为keq\f(q,9d2)，方向水平向左D．大小为keq\f(q,9d2)，方向水平向右答案：C解析：正点电荷在A点产生的电场强度的大小为EA＝keq\f(q,3d2)＝eq\f(kq,9d2)，方向水平向左，因A点场强为零，故薄板在A点的场强方向水平向右，大小为eq\f(kq,9d2)，由于A、B两点关于薄板对称，可知薄板在B点产生的电场强度大小为EB＝eq\f(kq,9d2)，方向水平向左，选项A、B、D错误，C正确．12．如图所示，A、B两带电小球的质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，两小球用绝缘细线悬挂于O点，平衡时A、B两球处于同一高度，与竖直方向的夹角分别为30°、60°，已知细线OA长为l，重力加速度为g，静电力常量为k.则()A．A、B间库仑力大小为eq\f(\r(3),3)m2gB．细线OA的弹力大小为eq\f(2\r(3),3)m1gC．A、B间库仑力大小为keq\f(q1q2,l2)D．A、B的质量之比m1∶m2＝3∶2答案：B解析：以B球为研究对象，受力分析如图1所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m2gtan60°＝eq\r(3)m2g，A错误；以A球为研究对象，受力分析如图2所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m1gtan30°＝eq\f(\r(3),3)m1g，F弹A＝eq\f(m1g,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)m1g，B正确；由几何关系可知，A、B两球之间的距离为2l，由库仑定律知A、B两球间库仑力大小为F＝keq\f(q1q2,2l2)＝keq\f(q1q2,4l2)，C错误；由F＝eq\f(\r(3),3)m1g，F＝eq\r(3)m2g，则m1∶m2＝3∶1，D错误．13．如图所示，在竖直平面内有方向水平向右的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电小球，用长为L的不可伸长的绝缘细线挂于电场中的O点，小球静止时细线与竖直方向成α＝30°的夹角(图中未画出)．现用外力将小球从静止时的位置拉到与O点等高的M点，细线伸直，然后无初速度释放，小球将通过O点正下方的P点．不计空气阻力，小球运动过程中电荷量不变．求：(1)匀强电场场强的大小；(2)小球第一次经过P点时，细线拉力大小．答案：(1)eq\f(\r(3)mg,3q)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)))mg解析：(1)小球静止时受重力、电场力和细线拉力而平衡，有qE＝mgtan30°解得E＝eq\f(\r(3)mg,3q).(2)从M点无初速度释放小球，小球以O点为圆心做圆周运动，设小球第一次经过P点时速度为v，细线拉力为FT，则由动能定理得mgL－qEL＝eq\f(1,2)mv2根据牛顿第二定律得FT－mg＝meq\f(v2,L)联立解得FT＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)))mg.第2讲电场能的性质知识点一电场力做功和电势能1．电场力做功(1)特点：静电力做功与________无关，只与________有关．(2)计算方法①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿________的距离．②WAB＝qUAB，适用于________．2．电势能(1)定义：电荷在________中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到________位置时静电力所做的功．(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于____________，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.(3)电势能具有相对性．答案：1.(1)实际路径初末位置(2)①电场方向②任何电场2.(1)电场零势能(2)电势能的减少量知识点二电势、等势面、电势差1．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的________与它的________的比值．(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q).(3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因________的选取不同而不同．2．等势面(1)定义：电场中________的各点构成的面．(2)特点①在等势面上移动电荷，电场力不做功．②等势面一定与电场线垂直，即与场强方向________．③电场线总是由电势________的等势面指向电势________的等势面．④等差等势面的疏密表示电场的强弱(等差等势面越密的地方，电场线越密)．直观情景常见电场中的电场线与等势面3.电势差(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功WAB与移动的电荷的电量q的比值．(2)定义式：UAB＝________.(3)电势差与电势的关系：UAB＝________，UAB＝－UBA.答案：1.(1)电势能电荷量(3)零电势点2.(1)电势相等(2)②垂直③高低3.(2)eq\f(WAB,q)(3)φA－φB知识点三匀强电场中电势差与电场强度的关系1．电势差与电场强度的关系式：________，其中d为电场中两点间____________的距离．2．电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向____________最快的方向．在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿________方向每单位距离上降低的电势．答案：1.U＝Ed沿场强方向2.电势降低场强1．思维辨析(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关．()(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零．()(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低．()(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功．()(5)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.(2019北京卷)如图所示，a、b两点位于以负点电荷－Q(Q>0)为球心的球面上，c点在球面外，则()A．a点场强的大小比b点大B．b点场强的大小比c点小C．a点电势比b点高D．b点电势比c点低答案：D解析：A错：由点电荷的场强公式E＝keq\f(Q,r2)知，a、b两点与－Q距离相等，场强大小相等．B错：由E＝keq\f(Q,r2)知，离－Q越近，场强越大，故b点场强大小比c点大；或由负点电荷形成的电场的电场线形状是“万箭穿心”，离点电荷越近电场线越密，场强越大，得出b点的场强大小比c点大．C错：点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面，离－Q距离相等的两点的电势相等．D对：沿电场线的方向是电势降落最快的方向，得出离－Q越近，电势越低．3.(多选)如图所示，M、N为电场中两个等势面，GH直线是其中的一条电场线，则下列说法中正确的是()A．EG<EHB．正电荷置于G点时的电势能大于置于H点时的电势能C．φG<φHD．负电荷由H点移动到G点时电场力做正功答案：ABD解析：沿电场线方向电势降低，C项错误；该电场类似于负点电荷电场，A项正确；把正电荷从G点移动到H点或把负电荷从H点移动到G点，电场力做正功，电势能减少，B、D项正确．4．电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，电场力做功W，由此可推算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则()A．电场力做功仍为W B．电场力做功为eq\f(W,2)C．两点间的电势差仍为U D．两点间的电势差为eq\f(U,2)答案：C解析：在同一个电场中，两点之间的电势差不变，与放入的电荷量的大小无关，因此A、B间的电势差仍为U，C正确，D错误．让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，电场力做功为2q×U＝2W，A、B错误．5.(多选)如图所示，虚线为电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等．一个质子在A点的电势能小于其在B点的电势能，下列说法中正确的是()A．A点的电势比B点的高B．A点的电势比B点的低C．质子在A点所受的电场力比B点的大D．质子在A点所受的电场力比B点的小答案：BD解析：正电荷在电场中电势高的位置，电势能大，由于带正电的质子在A点的电势能小于其在B点的电势能，则知A点的电势比B点的低，故A错误，B正确；等差等势面的疏密代表场强的大小，故B点的场强大于A点的场强，质子在A点所受的电场力比B点的小，故C错误，D正确．考点电势高低及电势能大小的比较1．电势高低的判断判断依据判断方法电场线方向沿电场线方向电势逐渐降低场源电荷的正负取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低续表判断依据判断方法电势能的高低正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大电场力做功根据UAB＝eq\f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低2.电势能大小的判断判断角度判断方法做功判断法电场力做正功，电势能减小电场力做负功，电势能增加电荷电势法正电荷在电势高的地方电势能大负电荷在电势低的地方电势能大公式法将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小1．(2021重庆江北中学期末)如图所示，点电荷＋2Q、－Q分别置于M、N两点，O点为MN连线的中点，点a、b在MN连线上，点c、d在MN连线的中垂线上，均关于O点对称．下列说法正确的是()A．c、d两点的电场强度相同B．a、b两点的电势相同C．将电子沿直线从c移到d，电场力对电子先做负功再做正功D．将电子沿直线从a移到b，电子的电势能一直增大答案：D解析：根据电场线关于MN对称可知，c、d两点的电场强度大小相等、方向不同，则电场强度不同，故A错误；MN连线上的电场线方向由M→N，根据沿电场线方向电势逐渐降低，则知a点的电势高于b点的电势，故B错误；对两个点电荷在中垂线上的场强进行叠加，在Oc段方向斜向右上方，在Od段方向斜向右下方，所以电子所受的电场力在Oc段斜向左下方，在Od段斜向左上方，电场力跟速度方向的夹角先是锐角后是钝角，电场力对电子先做正功再做负功，故C错误；将电子沿直线从a移到b，电子受到的电场力与速度方向一直相反，电场力一直做负功，则电子的电势能一直增大，故D正确．/高/分/技/法场强与电势的区别场强和电势尽管都是描述电场本身属性的物理量，但它们又有本质的区别，电势是从能的角度描述电场，而场强是从力的角度描述电场．电场中某点电势的高低具有相对性，与电势零点的选取有关，但电场中某点的场强是确定的．电场强度与电势无直接关系，场强为零的地方，电势不一定为零．如图所示．2．(2021安徽合肥模拟)(多选)如图所示，两个异种点电荷－Q1、＋Q2固定在一条直线上，虚线是以－Q1、＋Q2所在点为圆心的两个圆，a、b是两个圆的交点，c、d是两个圆与直线的交点．下列说法正确的是()A．把质子从a点移到c点，质子电势能增加B．把电子从b点移到d点，电子电势能减少C．a、b两点电势相等D．c、d两点电势相等答案：BC解析：把质子从a点移到c点，＋Q2对其不做功，－Q1对其做正功，质子的电势能减少，A错误．把电子从b点移到d点，－Q1对其不做功，＋Q2对其做正功，电子的电势能减少，B正确．－Q1在a、b两点产生的电势相等，＋Q2在a、b两点产生的电势也相等，所以叠加后a、b两点电势相等，C正确．两电荷连线的电场线方向由正电荷指向负电荷，故c点的电势低于d点的电势，D错误．3．(多选)如图所示，A、B、C是平行于纸面的匀强电场中的三点，它们之间的距离均为L，电荷量为q＝－1.0×10－5C的电荷由A移动到C，电场力做功W1＝4.0×10－5J，该电荷由C移动到B电场力做功W2＝－2.0×10－5J，若B点电势为零，以下说法正确的是()A．A点电势为2VB．A点电势为－2VC．匀强电场的方向为由C指向AD．匀强电场的方向为垂直于AC指向B答案：BC解析：由WAB＝qUAB可知UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(4.0×10－5＋－2.0×10－5,－1.0×10－5)V＝－2V，又因为UAB＝φA－φB，所以φA＝－2V，故A错误，B正确；由WCB＝qUCB可知UCB＝eq\f(WCB,q)＝eq\f(－2×10－5,－1.0×10－5)V＝2V，又因为UCB＝φC－φB，所以φC＝2V，即AC中点的电势为零，所以电场的方向由C指向A，故C正确，D错误．考点电场线、等势面和带电粒子轨迹问题1．常见等势面比较电场等势面(实线)图样重要描述匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场两电荷连线的中垂面为等势面等量同种正点电荷的电场在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高2.电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹(1)电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹的比较电场线运动轨迹①电场中并不存在，是为研究电场方便而人为引入的②曲线上各点的切线方向即该点的场强方向，同时也是正电荷在该点所受电场力的方向①粒子在电场中的运动轨迹是客观存在的②轨迹上每一点的切线方向即粒子在该点的速度方向，但加速度的方向与速度的方向不一定相同(2)带电粒子的运动轨迹与电场线重合的条件①电场线是直线．②带电粒子受电场力作用，若受其他力，则其他力的合力为零或合力方向沿电场线所在直线．③带电粒子初速度为零或初速度方向沿电场线所在的直线．1．(2018天津卷)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是()A．vM<vN，aM<aN B．vM<vN，φM<φNC．φM<φN，EpM<EpN D．aM<aN，EpM<EpN答案：D解析：因为N点的电场线密，所以场强大，受到的电场力大，加速度大，即aM<aN.由虚线弯曲方向知，带负电粒子受力指向运动轨迹的凹侧，电场方向由电场线稀疏一侧指向电场线密集一侧，沿电场线方向电势降低，即φM>φN.又由Ep＝qφ知，带负电粒子在电势越低的位置，具有的电势能越大，即EpM<EpN.若带负电粒子由M向N运动过程中电场力做负功，则动能减小，所以vM>vN.若带负电粒子由N向M运动过程中电场力做正功，则动能增大，也可得vM>vN，故选D./高/分/技/法带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧1．判断速度方向带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．2．判断电场力(或电场强度)的方向仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，且电场力方向一定与电场线或电场线的切线共线，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．3．判断电场力做功的正负及电势能的增减若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．4．判断受力大小、加速度大小变化根据电场线分布疏密程度、等差等势面分布疏密程度与场源电荷相对位置进行分析．2．(2021山西榆社联考)(多选)如图所示，虚线A、B、C、D是某匀强电场中的4个平行且等距的等势面，其中等势面C的电势为0，一电子仅在静电力的作用下运动，经过A、D等势面时的动能分别为26eV和5eV，则下列说法正确的是()A．等势面D的电势为－7VB．等势面B的电势为4VC．该电子不可能到达电势为－10V的等势面D．该电子运动到某一位置，其电势能变为8eV时，它的动能为4eV答案：AD解析：因电子仅在静电力的作用下运动，经过A、D等势面的动能分别为26eV和5eV，根据动能定理有－e(φA－φD)＝－21eV，即φA－φD＝21V，又φC＝0，可得φD＝－7V，选项A正确；因匀强电场中2φC＝φB＋φD，等势面B的电势为7V，选项B错误；因只有静电力做功，动能和电势能之和保持不变，当电子的速度为零时，由能量守恒可得－eφD＋5eV＝－eφ，解得φ＝－12V，选项C错误；同理，由能量守恒可得－eφD＋5eV＝8eV＋Ek，Ek＝4eV，选项D正确．3．(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是()A．带正电B．速度先变大后变小C．电势能先变大后变小D．经过b点和d点时的速度大小相同答案：CD解析：由等势面的分布特点可知，形成电场的正电荷在上方，负电荷在下方，又由轨迹的偏转情况可确定，运动的粒子带负电，故A项错误．静电力先做负功后做正功，动能先变小后变大，速度先变小后变大，电势能先变大后变小，故B项错误，C项正确．由于b、d两点在同一等势面上，则粒子在这两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，故D项正确．考点电势差与电场强度的关系1．公式E＝eq\f(U,d)的三点注意(1)只适用于匀强电场．(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．2．由E＝eq\f(U,d)可推出的两个重要推论推论1：匀强电场中的任一线段AB的中心C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示．推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．1.(2018全国卷Ⅱ)(多选)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q(q＞0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是()A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为eq\f(W1＋W2,2)C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为eq\f(W2,qL)D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差答案：BD解析：A错：结合题意，只能判定Uab＞0、Ucd＞0，但电场方向不能得出．B对：由于M、N分别为ac和bd的中点，对于匀强电场，则UMN＝eq\f(Uab＋Ucd,2)，可知该粒子由M至N过程中，电场力做功W＝eq\f(W1＋W2,2).C错：电场强度的方向只有沿c→d时，场强E＝eq\f(W2,qL)，但本题中电场方向未知．D对：若W1＝W2，则ac与bd一定相互平行，可知UaM＝UbN./高/分/技/法E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的几点妙用1．解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．2．定性判断非匀强电场电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小．2.(2021华师一附中模拟)空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O­xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标为(0，a,0)，N点的坐标为(a,0,0)，P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，\f(a,2))).已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为()A.eq\f(\r(2),2)VB.eq\f(\r(3),2)VC.eq\f(1,2)VD.eq\f(3,4)V答案：D解析：将立体图中的P点投影在xOy平面，作出M、N、P三点在xOy平面的相对位置如图所示，M点电势为0，N点电势为1V，根据沿着电场线方向电势降低，该匀强电场的电场线方向如图所示，O1为MN连线的中点，O2为O1N的中点，由几何知识知AP′垂直于电场线，故P′、O2、A三点的电势相等，φO2＝φP′＝eq\f(3,4)UNM＝eq\f(3,4)V，故D项正确．3．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是()答案：BC解析：匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分．把AB等分为三段，AB间电压为3V，则每等分电压为1V，H点电势为4V，F点电势为3V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC相连，分为两份，AC电压为2V，则G点电势为4V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确．考点电场中的功能关系1．求电场力做功的几种方法(1)由公式W＝Flcosθ计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcosθ.(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场．(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB.(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.2．电场中的功能关系(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化．1.(2019江苏卷)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点．先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W.再将Q1从C点沿CB移到B点并固定．最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点．下列说法正确的有()A．Q1移入之前，C点的电势为eq\f(W,q)B．Q1从C点移到B点，所受电场力做的功为0C．Q2从无穷远处移到C点，所受电场力做的功为2WD．Q2在移到C点后的电势能为－4W答案：ABD解析：A对：根据电场力做功与电势能的变化关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义知C点电势φ＝eq\f(Ep,q)＝eq\f(W,q).B对：在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C移到B的过程中，电场力做功为0.C错，D对：单独在A点固定电荷量为＋q的点电荷时，C点电势为φ，单独在B点固定点电荷Q1时，C点电势也为φ，两点电荷都存在时，C点电势为2φ，Q2从无穷远移到C点时，具有的电势能E′p＝－2q×2φ＝－4W，电场力做功W′＝－E′p＝4W./高/分/技/法处理电场中能量问题的基本方法在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系．1．应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)．2．应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化．3．应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系．4．有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变．2.如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线．一个带正电的粒子(不计重力)从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是()A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小B．负点电荷一定位于M点左侧C．带电粒子在a点的加速度大于在b点的加速度D．带电粒子在a点时具有的电势能大于在b点时具有的电势能答案：D解析：由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，对带电粒子做正功，其动能增加，故A错误．带正电的粒子所受电场力向右，电场线方向由M指向N，说明负点电荷在直线N点右侧，故B错误．a点离负点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点所受的电场力小于在b点所受的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误．电场力对带电粒子做正功，电势能减小，则带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确．3.(2019天津卷)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程()A．动能增加eq\f(1,2)mv2 B．机械能增加2mv2C．重力势能增加eq\f(3,2)mv2 D．电势能增加2mv2答案：B解析：A错：动能变化量ΔEk＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2.B对，D错：重力和电场力做功，机械能增加量等于电势能减少量．带电小球在水平方向做向左的匀加速直线运动，由运动学公式得(2v)2－0＝2eq\f(qE,m)x，则电势能减少量等于电场力做的功ΔEp电＝W电＝qEx＝2mv2.C错：在竖直方向做匀减速到零的运动，由－v2＝－2gh，得重力势能增加量ΔEp重＝mgh＝eq\f(1,2)mv2.限时跟踪检测(三十一)电场能的性质[基础训练]1.(2021北京模拟)如图所示，真空中静止点电荷产生的电场中，A、B为同一条电场线上的两点．取无穷远处为电势能零点，电荷量为＋q的检验电荷，在A点的电势能为EpA，在B点的电势能为EpB，则A、B两点间的电势差UAB等于()A.eq\f(q,EpA＋EpB) B.eq\f(EpA＋EpB,q)C.eq\f(q,EpA－EpB) D.eq\f(EpA－EpB,q)答案：D解析：A与B两点间的电势差为UAB＝eq\f(WAB,q)，从A到B电场力做的功等于电势能的减少量，则有WAB＝EpA－EpB，联立解得UAB＝eq\f(EpA－EpB,q)，选项D正确．2.(2021河北唐山期末)空间存在平行于纸面方向的匀强电场，纸面内ABC三点形成一个边长为1cm的等边三角形，将电子由A移动到B点，电场力做功2eV，再将电子由B移动到C点，克服电场力做功1eV.匀强电场的电场强度大小为()A．100V/m B.eq\f(200\r(3),3)V/mC．200V/m D．200eq\r(3)V/m答案：C解析：根据题述电子由A移动到B点，电场力做功2eV，可知A、B之间的电势差为－2V，根据电子由B移动到C点，克服电场力做功1eV，可知B、C之间的电势差为1V，由此可知AB的中点与C点等电势，电场线平行于AB，方向由B指向A，由E＝eq\f(U,d)可得E＝200V/m，选项C正确．3．(2021山东济南期末)真空中某静电场电场线的分布如图所示，P、Q两点在水平方向上关于点电荷q1对称．P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ.一个带电粒子仅在电场力作用下沿虚线轨迹从M运动至N.以下说法正确的是()A．φP<φQB．EQ>EPC．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小答案：C解析：单独考虑q1存在时，P、Q等电势，单独考虑q2存在时，P、Q在同一条电场线上，根据沿电场线的方向电势降低，可知φP>φQ，由电势叠加原理可知选项A错误；根据电场线的疏密比较电场强度的大小，可知P点处电场线密，电场强度大，EP>EQ，选项B错误；根据电场线的特点，可知此电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q1带负电，q2带正电，粒子从M点运动到N点，轨迹向左弯曲，受力向左，又电场方向向右，所以此带电粒子带负电，沿虚线从M到N，电势先降低后升高，所以负电荷的电势能先变大后变小，选项C正确，D错误．4．(2021河南郑州二模)如图所示为某电场的电场线和等势面分布图，其中实线为电场线，虚线为等势面，a、b、c为电场中的三个点．下列说法正确的是()A．a点的电势高于b点的电势B．a点的电场强度小于b点的电场强度C．电子从a点移到c点，电势能增大D．将电子从a点移到c点，再从c点移到b点，电场力做功的代数和为零答案：D解析：根据同一等势面上电势相等可知，a点的电势等于b点的电势，选项A错误；根据电场线的疏密表示电场强度的大小可知a点的电场强度大于b点的电场强度，选项B错误；电子从a点移到c点，电场力做正功，电势能减小，选项C错误；电场力做功与路径无关，只与两点之间的电势差有关，将电子从a点移到c点，再从c点移到b点，因为a、b两点处于同一等势面上，所以电场力做功的代数和为零，选项D正确．5．(2021江苏扬州期末)(多选)如图所示，A、B两点在等量正点电荷连线的中垂线上，且到中点O距离相等，将一电荷量为－q的点电荷Q从A点移到无穷远处(电势为零)，此过程中电场力做功为W，下列说法正确的有()A．Q在A点电势能为WB．A点电势为－eq\f(W,q)C．将Q从A点移到B点，电场力做功为零D．将Q从A点沿直线移到B点，所受电场力先变大后变小答案：ABC解析：无穷远处电势为零，电势能为零，将点电荷Q从A点移到无穷远处，此过程中电场力做功为W，又Q带负电，故电势能增加－W，所以Q在A点电势能为W，选项A正确；电势等于点电荷在该位置的电势能除以点电荷的电荷量，即φ＝－eq\f(W,q)，选项B正确；根据对称性，A、B两点电势相等，所以将Q从A点移到B点，电场力做功为零，选项C正确；等量同种点电荷连线上中点场强为零，又无穷远处场强为零，所以将Q从A点沿直线移到B点，所受电场力可能先变小后变大，也可能先增大再减小再增大再减小，选项D错误．6.(2021河北保定调研)如图所示，质量均为m的带电小球A、B用长为L的绝缘轻杆连接，A所带的电荷量为＋q，B所带的电荷量为－q，A用绝缘轻弹簧、B用绝缘轻绳分别悬挂在水平天花板上．已知弹簧的劲度系数为k，两悬点C、D间的距离也为L，整个空间存在竖直向上的匀强电场，场强E＝eq\f(3mg,q)，静止时轻杆处于水平位置．今剪断轻绳，由于空气阻力，经相当长的时间后，两球再次处于静止状态．求：(1)两次平衡时弹簧的形变量分别为多少？(2)整个过程中空气阻力做的功．答案：(1)eq\f(2mg,k)eq\f(2mg,k)(2)－4mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(