2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：平面解析几何（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：平面解析几何（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•莆田模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为顶点，F为焦点，l为准线，P为C上的动点，过点P作l的垂线l，垂足为M，曲线C在点P处的切线与l交于点T，过点F作直线PT的平行线l2与l交于点Q，与l交于点N，则（）A．O，P，Q三点共线 B．∠MPT＝∠FPT C．|FT|＝|MQ| D．△FMQ的面积最小值为p2（多选）2．（2024•辽宁模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足OP→=λOF→(0＜λ＜1)，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，其中A（x1，y1），D（x2，y2），记△PABA．x2＝λx1 B．y2＝λy1 C．|CD|＝λ|AB| D．S（多选）3．作直线l与双曲线C：x2-y2b2=1(1≤b＜2)右支相切，且直线l交CA．1 B．2 C．3 D．4（多选）4．（2024•姜堰区校级模拟）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A．底面椭圆的离心率为22B．侧面积为242C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π D．底面积为4（多选）5．（2024•保定三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于PA．|PQ|＝2a B．PFC．C的离心率为173 D．直线PQ的斜率为±（多选）6．（2024•新会区校级模拟）已知椭圆C：x24+y2b2=1(b＞0)的左右焦点分别为F1、FA．离心率e的取值范围为(0，B．当e=24时，|QF1|+|QP|的最大值为C．存在点Q，使得QF1→•D．1|QF（多选）7．（2024•新县校级模拟）已知斜率为k的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，下列说法正确的是（）A．x1x2为定值 B．线段AB的中点在一条定直线上 C．1kOA+1kOB为定值（kOA、kOBD．|AF||BF|为定值（F（多选）8．（2024•齐齐哈尔模拟）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0），若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为26 B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°（多选）9．（2024•织金县校级模拟）已知直线l：y＝kx（k≠0）交椭圆x2a2+y2b2=1于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M，A．若k＝1，则椭圆的离心率为22B．若kMAkMBC．l∥F1Q D．若直线BQ平行于x轴，则k=（多选）10．（2024•漳州模拟）点P在抛物线y2＝4x上，F为其焦点，Q是圆C：（x﹣3）2+y2＝1上一点，M（3，2），则下列说法正确的是（）A．|PQ|的最小值为22B．△PFM周长的最小值为4+22C．当∠FMQ最大时，直线MQ的方程为x+y﹣5＝0 D．过P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB的面积最小时，P的横坐标是1

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：平面解析几何（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•莆田模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为顶点，F为焦点，l为准线，P为C上的动点，过点P作l的垂线l，垂足为M，曲线C在点P处的切线与l交于点T，过点F作直线PT的平行线l2与l交于点Q，与l交于点N，则（）A．O，P，Q三点共线 B．∠MPT＝∠FPT C．|FT|＝|MQ| D．△FMQ的面积最小值为p2【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ABD【分析】作出图象，设P(x0，x022p)，利用导数求出l2的方程，从而可得点Q，N的坐标，由斜率公式可得kOP＝kOQ，从而可判断选项A；由抛物线的定义及平行直线的性质可得∠MPT＝∠【解答】解：如图所示，设P(x0，则曲线C在点P处的切线斜率为x0p，∴l2的方程为∴Q(-p2∵kOP=x02p，kOQ=∴O、P、Q三点共线，选项A符合题意；由M(x0，∴P为线段MN的中点，∴|PM|＝|PN|．由抛物线定义可得|PF|＝|PM|，∴|PF|＝|PMN|，于是∠MF＝∠NFP．又∵PT∥NQ，∴∠MPT＝∠MNF，∠NFP＝∠FPT，∴∠MPT＝∠FPT，选项B符合题目要求；由|FP|＝|PM|＝|PN|知∠MFN=90由于PT∥NQ，P为线段MN的中点，则T为线段MQ的中点，∴|FT|=12|MQ|由|MQ|=|x当且仅当|x0|＝p时取等，∴S△FMQ∴△FMQ的面积最小值为p2，选项D符合题目要求．综上，符合题目要求的选项为A、B和D．故选：ABD．【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）2．（2024•辽宁模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足OP→=λOF→(0＜λ＜1)，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，其中A（x1，y1），D（x2，y2），记△PABA．x2＝λx1 B．y2＝λy1 C．|CD|＝λ|AB| D．S【考点】直线与抛物线的综合．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】BCD【分析】由题意表示出所有点的坐标，通过三点共线我们可以得到uv=-14，ua=-λ4，vb=-λ4，即A（2pu2，2pu），B（2pv2，2pv），C（2pλ2v2，2pλv），D（2pλ2u2，2【解答】解：由题意知F(p2，设A（2pu2，2pu），B（2pv2，2pv），C（2pa2，2pa），D（2pb2，2pb），显然uvab≠0．那么由AB经过点F，有2pu2p也就是4u4u2也就是u-v=v-u同时，AC经过点P，所以2pu2p也就是4u4u2也就是u-a=λ(a-u)同理，vb=-综上，我们有F(p2，0)，P(λp2，0)，A（2pu2，2pu），B（2pv2，2pv），C（2pa2，2pa），D（2pb2，2故a＝λv，b＝λu，所以A（2pu2，2pu），B（2pv2，2pv），C（2pλ2v2，2pλv），D（2pλ2u2，2pλu）．这就得到：x2x1=2py2y1=2pλu2pu=λ，所以y2由于y2y1=λ，故PDPA=λ，同理PCPB所以CDAB=λ，S2S1故选：BCD．【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）3．作直线l与双曲线C：x2-y2b2=1(1≤b＜2)右支相切，且直线l交CA．1 B．2 C．3 D．4【考点】求双曲线的渐近线方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】BCD【分析】设点P（x0，y0）为C右支第一象限部分上的一点，先求双曲线x2-y2b2=1上一点P（x0，y0）的切线方程，其他象限由对称性同理可得，当切线斜率存在时，根据导数的几何意义求解出切线方程，又双曲线的渐近线方程为y＝±bx，两者联立求出A，B【解答】解：设点P（x0，y0）为C右支第一象限部分上的一点，如图：当切线斜率存在时，由x2-y所以y'则在点P（x0，y0）的切线斜率为k=b所以在点P（x0，y0）的切线方程为：y-又因为x0所以在点P（x0，y0）的切线方程为x0双曲线的渐近线方程为y＝±bx，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x0所以点A(b同理可得：B(b则|AB|==2(又因为x0≥1，所以|AB|≥即当切线斜率存在时，|AB|min＝2，所以BCD均可取到，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A（1，b），B（1，﹣b），|AB|＝2b∈[2，4），此时BC可以取到，综上，|AB|≥2．故选：BCD．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合应用，属于中档题．（多选）4．（2024•姜堰区校级模拟）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A．底面椭圆的离心率为22B．侧面积为242C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π D．底面积为4【考点】椭圆的几何特征；球的体积和表面积．【专题】数形结合；综合法；立体几何；数学运算．【答案】ABD【分析】由题意如图，求出椭圆中的a，b的关系，进而求出椭圆的离心率，判断出各个命题的真假．【解答】解：不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是斜圆柱，如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF＝45°，则BF=2设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=2a=2b，所以离心率为e=ca=作EG⊥BF，垂足为G，则EG＝6，易知∠EBG＝45°，BE=62又CE＝AF＝AB＝4，所以斜圆柱侧面积为S=2π×2×2b＝4，b＝2，2a=42a=22，椭圆面积πab＝42π，由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为4π×22＝16π，C错误．故选：ABD．【点评】本题考查圆柱中的性质的应用及椭圆的性质的应用，属于中档题．（多选）5．（2024•保定三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于PA．|PQ|＝2a B．PFC．C的离心率为173 D．直线PQ的斜率为±【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ACD【分析】设|PF1|＝x，|QF1|＝y，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得x，y的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得a，c的关系，再求出离心率即可判断C选项；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率，即可判断D选项．【解答】解：如图，由4|PQ|＝3|PF2|，可设|PQ|＝3m，|PF2|＝4m，因为PQ⊥PF2，所以|QF2|＝5m，设|PF1|＝x，|QF1|＝y，则4m﹣x＝2a，5m﹣y＝2a，x+y＝3m，解得m=2a3，则所以|PQ|＝2a，故A选项正确；QF1→在△PF1F2中，由|PF1|2+|P从而C的离心率为173，故C又tan∠PF1F2=故选：ACD．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．（多选）6．（2024•新会区校级模拟）已知椭圆C：x24+y2b2=1(b＞0)的左右焦点分别为F1、FA．离心率e的取值范围为(0，B．当e=24时，|QF1|+|QP|的最大值为C．存在点Q，使得QF1→•D．1|QF【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ABD【分析】A项中需先解出b的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求4﹣|QF2|+|QP|的最大值，从而进而判断；C项中先求出点Q的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得|QF1|+|QF2|＝2a＝4，并结合基本不等式判断．【解答】解：对于A项：因为点P(2，1)在椭圆内部，所以24+1b2所以得：e=ca=对于B项：由椭圆定义知|QF1|+|QP|＝4﹣|QF2|+|QP|，当Q在x轴下方时，且P，Q，F2三点共线时，|QF1|+|QP|有最大值4+|PF2|，由e=24=c2，得c=所以|QF1|+|QP|最大值4+62，故对于C项：设Q（x，y），若QF→1⋅QF2→=0，即：（﹣c﹣x，﹣y）•（则得x2+y2＝c2，即点Q在以原点为圆心，半径为c的圆上，又由A项知：e=ca∈(0又因为2＜b2＜4，得b∈所以得：c＜b，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；对于D项：由椭圆定义得|QF1|+|QF2|＝2a＝4，所以1=1当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时取等号，故D项正确．故选：ABD．【点评】本题椭圆的简单性质以及简单应用，是中档题．（多选）7．（2024•新县校级模拟）已知斜率为k的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，下列说法正确的是（）A．x1x2为定值 B．线段AB的中点在一条定直线上 C．1kOA+1kOB为定值（kOA、kOBD．|AF||BF|为定值（F【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】BC【分析】分析可知，k≠0，设直线AB的方程为y＝kx+m，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段AB中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项．【解答】解：若k＝0，则直线AB与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，不合乎题意，则k≠0，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立y=kx+my可得k2x2+（2km﹣2p）x+m2＝0，Δ＝（2km﹣2p）2﹣4k2m2＝4p2﹣8kmp＞0，对于A选项，x1即A错；对于B选项，设线段AB的中点为P（x0，y0），则x0y0故线段AB的中点在定直线y=p即B对；对于C选项，1k即C对；对于D选项，|AF||BF|即D错．故选：BC．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．（多选）8．（2024•齐齐哈尔模拟）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0），若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为26 B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ACD【分析】由|AF|＝|AM|，以及抛物线方程求得A（34p，62p），再由斜率公式判断A；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B（13p，-63p），即可求出|OB|判断B；由抛物线的定义求出|AB|=25p12，即可判断C；由MA→•MB【解答】解：对于A，易得F（12p，0），由|AF|＝|AM|，可得A在FM的垂直平分线上，则A的横坐标为12代入抛物线可得y2＝2p•34p=32p2，即A（34p，62p），则直线AB的斜率为6对于B：由斜率为26可得直线AB的方程为x=126y+12p，联立抛物线方程得y2-16设B（x1，y1），则62p+y1=66p，则y1=-63p，代入抛物线得（-63p）2＝2p•则B（13p，-63p），|OB|=(13p)2+(-对于C：|AB|=34p+13p+p=2512p＞2p＝OA→•OB→=（34p，62p）•（13p，-63p）又MA→•MB→=（-14p，62p）•（-23p，-63p）故选：ACD．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．（多选）9．（2024•织金县校级模拟）已知直线l：y＝kx（k≠0）交椭圆x2a2+y2b2=1于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M，A．若k＝1，则椭圆的离心率为22B．若kMAkMBC．l∥F1Q D．若直线BQ平行于x轴，则k=【考点】椭圆的离心率．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ACD【分析】对于A，k＝1则Q（0，c），故b＝c，则利用a2＝b2+c2与离心率公式即可得解；对于B，设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），接着利用x02a2+y02b2=1和kMAkMB=-13结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设B（x【解答】解：如图，直线l与QF2交于G，对于A，若k＝1，则Q（0，c），所以b＝c，所以e=ca=对于B，设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），且x02a所以kMA所以b2a2对于C，由题意可知OG是中位线，故l∥F1Q，故C正确；对于D，设点B（x0，y0），则直线l：因为直线BQ平行于x轴，所以点Q（﹣x0，y0），FQ的中点G(c-所以由点G在直线l上且kF2G解得x0=12c因此k=y0x故选：ACD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．（多选）10．（2024•漳州模拟）点P在抛物线y2＝4x上，F为其焦点，Q是圆C：（x﹣3）2+y2＝1上一点，M（3，2），则下列说法正确的是（）A．|PQ|的最小值为22B．△PFM周长的最小值为4+22C．当∠FMQ最大时，直线MQ的方程为x+y﹣5＝0 D．过P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB的面积最小时，P的横坐标是1【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】BD【分析】对于A选项，设P(y24，y)，可得|PQ|≥|PC|﹣1对于B选项，抛物线的准线方程为x＝﹣1，如图1，过P作准线的垂线，垂足为H，可得|PM|+|PF|＝|PM|+|PH|，当且仅当M，P，H三点共线时，可得|PM|+|PF|的最小值，即可判断出结论；对于C选项，如图2，当MQ与圆C相切时，且∠FMQ＝∠FMC+∠CMQ时，∠FMQ取最大．连接MC，CQ，结合切线的性质与直角三角形的边角关系可得∠CMQ＝30°，可得直线MQ的斜率，进而得出直线MQ的方程，进而判断出结论；对于D选项，如图3，连接PC，S四边形PACB＝2S△PAC＝|PA|=|PC|2【解答】解：对于A选项，设P(y24，y)，则|PQ|≥|PC|﹣1，|PC|2=(y24-3)2+y2=(y24-1)2+8≥对于B选项，抛物线的准线方程为x＝﹣1，如图1，过P作准线的垂线，垂足为H，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PH|，当且仅当M，P，H三点共线时，|PM|+|PF|取得最小值，即|PM|+|PH|≥|MH|＝3+1＝4，此时P（1，2），又|MF|=(3-1)2+(2-0)2=2对于C选项，如图2，当MQ与圆C相切时，且∠FMQ＝∠FMC+∠CMQ时，∠FMQ取最大．连接MC，CQ，由于MC⊥CF，CQ⊥MQ，|MC|＝2＝2|CQ|，∴∠CMQ＝30°，可得直线MQ的斜率为-3，∴直线MQ的方程为y=-3(x-3)+2，即对于D选项，如图3，连接PC，S四边形PACB=2S△PAC=2×12×|PA|×1=|PA|=|PC|2-1，由A选项知，|PC|2≥8，且当P（1，±2）时，|PC故选：BD．【点评】本题将查抛物线与圆的综合应用，考查运算求解能力、化归与转化的思想、逻辑推理与计算能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片1．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体=3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．2．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．3．椭圆的离心率【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程x2a2+y2b中心在原点，焦点在x轴上y2a2+x2b中心在原点，焦点在y轴上图形离心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜4．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：5．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组y2（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标