工程力学I课件：压杆稳定及提高构件承载能力的措施

压杆稳定

及提高构件承载能力的措施

10.1压杆的稳定性分析

欧拉公式10.2压杆稳定实用计算10.3提高杆件强度、刚度、稳定性的一些措施在工程中有些构件具有足够的强度和刚度，却不一定能安全可靠地工作。例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm

1mm。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为[P]=A[]=3.92KN实际上，当压力不到40N时，钢尺就被压弯。可见钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与受压时变弯有关。一、压杆稳定的概念稳定性——结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态的能力。当轴向压力超过一定数值时，压杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个载荷称为临界载荷FcrF小于Fcr时，稳定平衡。给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复原来的平衡状态。（轴向平衡）F大于等于Fcr时，不稳定平衡。杆件既能在轴线上达到平衡，又能在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。给杆件一个横向扰动，杆件由轴向平衡转向弯曲状态，从而造成失稳。二、失稳与临界力构件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增加，因此丧失了承载能力F≤FcrF>Fcr三、压杆失稳的特点压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限可见，压杆失稳并非强度不足。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是很严重的。10.1压杆的稳定性分析欧拉公式设：细长理想压杆两端为球铰支座，压杆在轴向压力F作用下处于微弯平衡状态，其中x截面的弯矩：一、欧拉公式则当杆内应力不超过材料的比例极限时，压杆挠曲线方程1、两端铰支细长压杆解方程并带入位移边界条件可得上式表明，杆件处于微弯状态时保持平衡的压力

，在理论上是多值的。其中，能使杆件保持微小弯曲的最小压力为临界压力——欧拉公式ACBxFFByyxy如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其拐点位于离铰支座

0.7l处。拐点处弯矩为零，所以可一看成长度为0.7l的两端球铰的情况。2、其它支承情况下细长压杆的临界力临界载荷的拐点确定法支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状长度系数

=1

0.7

=0.5

=2ml:相当长度，m：长度因数杆端约束越弱，μ越大2、其它支承情况下细长压杆的临界力二、临界应力的欧拉公式1、临界应力压杆在临界载荷的作用下保持直线平衡状态时，定义横截面上的平均应力为临界应力

由：柔度（长细比）2、柔度柔度越大，临界应力就越小杆件越容易失稳。综合反映了压杆长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响三、欧拉公式的适用范围

在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程，这就决定了材料必须符合胡克定律。材料符合胡克定律

工作应力（临界应力）小于比例极限sp令则只有当欧拉公式才是有效的。

通常将

的杆称为大柔度杆(细长杆)。大柔度杆的临界应力可以采用欧拉公式来进行计算。1、大柔度杆(细长杆)以Q235为例，2、中柔度杆的经验公式

对于l<lp的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式已经不适用。工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式是根据试验数据整理后得到的，这里介绍工程中常用的直线公式，即a、b是和材料有关的常数，单位是MPa用经验公式得到的临界应力不允许超过材料的极限应力对于塑性材料，不能超过其屈服极限;对于脆性材料，不能超过其强度极限。对于塑性材料:令对于Q235钢:

工程中将柔度介于ls和lp之间的这一类压杆称为中柔度杆（中长杆）。2、中柔度杆的经验公式3、小柔度杆

对于l<ls的压杆，小柔度杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将屈服极限ss（塑性材料）和强度极限sb（脆性材料）作为极限应力。4、临界应力总图短粗杆中柔度杆大柔度杆··

例10-1

两端球铰铰支压杆，长l=1.2m，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa，

P=200MPa，

S=235MPa。已知横截面的面积A=900mm2，若截面的形状分别为圆形、正方形和内外径之比为d/D=0.7的的空心管。试分别计算各杆的临界力。解1）计算临界柔度2）计算各杆柔度，确定压杆的类型(1)圆形截面：为细长压杆（2）正方形截面杆为细长压杆该杆，的临界压力截面边长惯性半径柔度（3）空心圆管截面惯性矩柔度

惯性半径用直线公式属中长压杆例10-2

由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约束情况如图10-8所示，图中上图为主视图，下图为俯视图，在杆的两端A、B处为销钉连接。若已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，求此杆的临界载荷。压杆稳定性分析与设计解(1)计算临界柔度压杆AB左右两端为销钉连接，在主视图平面内弯曲时，两端可以自由转动，相当于铰链；而在俯视图平面内弯曲时，两端不能转动，近似视为固定端。因为压杆是矩形截面，故在主视图平面内失稳时，截面将绕轴z转动；而在俯视图平面内失稳时，截面将绕轴y转动。因此先计算压杆在两个平面内的柔度，以确定在哪一个平面内失稳。在主视图平面内，取长度系数μ=1，压杆的柔度为

在俯视图平面内，取长度系数μ=0.5，压杆的柔度为

因，压杆首先在主视图内失稳，且，为细长杆，故临界载荷为

10.2压杆稳定的实用计算

由临界压力的定义可知，为了保证压杆正常工作时不发生失稳，必须使压杆所承受的压力小于该杆的临界压力，而且还应使压杆具有足够的稳定安全储备。工程上常用的稳定性设计准则有安全因数法和折减因数法

引进一个大于1的安全因数:

稳定安全因数［ncr］

压杆的稳定条件为：在工程中，常把稳定条件改写成如下形式进行计算：ncr被称为工作安全因数一、安全因数法

一般来说，规定的稳定安全因数应略高于强度安全因数。这是因为[ncr]的选取，除了要考虑在选取强度安全系数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳所特有的不利因素，如压杆不可避免存在的初曲率、载荷的偏心、材料不均匀等。这些不利因素，对稳定的影响比对强度的影响大。钢材:[ncr]=1.8~3.0铸铁:[ncr]=5.0~5.5可利用稳定条件来进行稳定性校核和确定许用载荷。二、折减因数法工程中常采用折减因数法进行稳定性校核。其稳定条件为Φ

称为稳定因数或折减因数，通常小于1φ不是一个定值，它是随实际压杆的柔度而变化的，工程实用上常将各种材料的φ值随λ而变化的关系绘出曲线或列成数据表以便应用压杆稳定性计算包括1、稳定性校核2、截面设计3、确定许可载荷

在实际的工程应用中，常会遇到压杆在其某一局部受到削弱的情况，比如钢结构的螺栓孔或铆钉孔等。由于压杆稳定性取决于整个杆件的抗弯刚度，因此对于压杆进行稳定性分析时，可按未削弱的截面计算截面惯性矩和面积。但对被消弱的截面应进行强度校核。例10-3一个两端球铰的等截面圆柱压杆，长度l=703mm。直径d=45mm，受轴向压力F=41.6kN。其材料为优质碳钢，

s=306MPa，p=280MPa，E=210MPa，稳定安全系数[nst]=10.试校核其稳定性。解：(1)计算柔度，判断压杆的类型。查表得有对于圆截面杆，有压杆为两端铰支，因此有为中柔度杆解：(2)求临界压力，应用直线型公式可得：(3)校核稳定性该压杆满足稳定安全要求例10-4某内燃机的挺杆的杆长l=25.7cm，直径d=8mm，两端球形铰支，受轴向压力F=1.76kN。

s=306MPa，p=240MPa，E=210MPa，稳定安全系数[nst]=3，试校核其稳定性。解：(1)计算挺杆的临界力。对于圆截面杆，有压杆为两端铰支，因此有为大柔度杆挺杆的柔度＞由欧拉公式得其临界力（2）稳定性计算＞挺杆的稳定性满足要求例10-5三脚架受力如图所示，其中AB杆长l为1.5m，BC杆为10号工字钢。其弹性模量E=200GPa，比例极限σp=200MPa，若稳定安全系数nst=2.2，试从BC杆的稳定考虑，求结构的许用载荷[F]。解1）计算柔度，确定BC杆的类型，其λp为：其截面为10号工字钢，查型钢表得2）计算临界力

其杆端约束为两端铰支，长细比λ为由于

>

3）确定结构的许可载荷。考察结点B的平衡,由平衡方程可得10.3提高杆件强度、刚度、稳定性的措施一、受弯构件惯性矩越大，危险点的应力越小

1、选择合理的截面形状截面积相同时,空心构件的惯性矩和极惯性矩要比实心构件的大。选择较小的横截面面积、同时具有较大的截面模量的截面形状对于提高构件的强度更为合理.一、受弯构件弯矩越小，危险点的应力越小

2、改善构件的受力情况减小梁的跨度来减小最大弯矩一、受弯构件弯矩越小，危险点的应力越小

把较大的集中力分散成较小的力来降低最大弯矩2、改善构件的受力情况一、受弯构件弯矩越小，危险点的应力越小

3、等强度设计，使弯曲梁的各个截面上的最大应力均为许用应力。一、受弯构件弯矩越小，危险点的应力越小

4、充分利用材料性能。其边缘处的拉应力与压应力同时达到许用值若其材料的抗拉抗压性能相同，截面应采用对中性轴对称的形状;对于抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁），应使中性轴偏于强度较弱（受拉）的一边一、受弯构件弯矩越小，危险点的应力越小

5、增加约束的方法提高梁的刚度二、受扭构件

极惯性矩越大，危险点的应力越小1、合理布置载荷，减小最大扭矩2、同截面面积下，空心截面构件的极惯性矩比实心截面的大需要指出的是，不能为了追求大的惯性矩而采用壁厚很薄的截面形状，这样做不仅会导致结构的整体尺寸过大，而且局部壁厚过薄容易产生局部稳定失效。二、受压杆件1、改变压杆的约束条件如采用稳定性比较好的约束方式，有效的提高压杆的稳定性。细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。二、受压杆件2、增加约束以减少杆长细长压杆截面形状的选择应以不增加横截面积，提高横截面惯性矩，从而提高截面惯性半径为原则，空心构件的惯性矩和极惯性矩要比实心构件的大。应尽量使截面材料远离截面的中性轴二、受压杆件3、选择惯性矩较大的截面形状细长压杆截面形状的选择应以不增加横截面积，提高横截面惯性矩，从而提高截面惯性半径为原则，空心构件的惯性矩和极惯性矩要比实心构件的大。应尽量使截面材料远离截面的中性轴要注意使压杆各个方向的惯性矩大致相等4、合理选择材料二、受