工程控制原理（现代部分）课件：线性系统理论

《工程控制原理》（现代部分）

线性系统理论

《现代控制理论》线性系统统一描述等价、互质等分析方法通用控制器设计方法本章重点5.1多项式矩阵描述与分析工具多项式矩阵描述等价变换与规范型因式分解与互质分析部分状态方程描述状态变量:会出现复合变量、虚拟变量部分状态多项式矩阵多项式矩阵描述无需刻意选择状态变量多项式矩阵描述（1）状态空间描述（2）左分式描述（3）右分式描述统一描述左分式右分式多项式矩阵描述统一描述需要构建多项式矩阵的分析工具；状态空间描述、左右分式描述、部分状态方程描述相互等价转换的工具。由于多项式矩阵描述不需要描述矩阵为常数，使得系统的描述直接了，但分析系统不如常数矩阵的状态空间描述便利了多项式矩阵的初等变换（3）行（列）乘以多项式加到另一行（列）（2）行（列）乘以常数（1）行（列）对换行变换左乘列变换右乘逆变换还是同类型初等变换逆阵仍然是多项式矩阵，就称为单模阵初等变换矩阵是单模阵多项式矩阵的初等变换2阶子式1阶子式

r阶子式不恒为0而(r+1)阶子式恒为0初等变换不改变多项式矩阵的秩初等变换不改变各阶子式的最大公因子行变换列变换初等变换将化简矩阵但保留特性多项式矩阵的初等变换初等变换将化简矩阵但保留特性初等变换的三个基本应用（1）（2）（3）阶次至少降低1阶是单模阵，即多个初等矩阵的连乘埃尔米特规范型初等变换将化简矩阵但保留特性列埃尔米特规范型后行一定是全0行埃尔米特规范型初等变换将化简矩阵但保留特性行埃尔米特规范型后列一定是全0列史密斯规范型初等变换将化简矩阵但保留特性初等因子不变因子史密斯规范型初等变换将化简矩阵但保留特性初等因子不变因子史密斯规范型初等变换将化简矩阵但保留特性初等因子不变因子只有一个不变因子状态空间类似变换等价矩阵与准等价矩阵（1）维数一致，（2）维数不一致，等价准等价有相同的史密斯规范型有相同不变因子（初等因子）状态空间的相似变换与多项式矩阵的等价变换有类同的结果多项式矩阵因式分解行满秩列满秩左因子右因子其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子如何计算最大因子？其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子行埃尔米特规范型是左因子是最大左因子多项式矩阵因式分解行满秩列满秩左因子右因子其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子如何计算最大因子？其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子行埃尔米特规范型列埃尔米特规范型最大左（右）因子不是唯一的，但它们只相差一个单模阵最大公因子与互质矩阵左公因子左因子矩阵对的最大左公因子是矩阵的最大左因子矩阵对最大左公因子是单模阵，称矩阵对为左互质矩阵（1）（2）严格行满秩行埃尔米特规范型最大公因子与互质矩阵左公因子左因子矩阵对的最大左公因子是矩阵的最大左因子矩阵对最大左公因子是单模阵，称矩阵对为左互质矩阵（2）单模阵单模阵行埃尔米特规范型最大公因子与互质矩阵右公因子右因子矩阵对的最大右公因子是矩阵的最大右因子矩阵对最大左公因子是单模阵，称矩阵对为右互质矩阵（1）（2）严格列满秩列埃尔米特规范型矩阵分式与约分左分式右分式若是的最大左公因子，则约分后的矩阵对一定是左互质矩阵若是的最大右公因子，则约分后的矩阵对一定是右互质矩阵比照特恒等式左、右互质两边右乘重要桥梁工具多项式矩阵的阶次与除法行次各行最高次的系数矩阵若是行满秩的，称矩阵是行既约的严格真？X不满秩，不既约，阶次“虚高”例5-1-2方阵多项式矩阵的阶次与除法行次各行最高次的系数矩阵若是行满秩的，称矩阵是行既约的例5-1-2既约矩阵的阶次才有意义可假定已行既约通过初等变换做到行既约方阵多项式矩阵的阶次与除法行次各行最高次的系数矩阵若是行满秩的，称矩阵是行既约的通过初等变换做到行既约列次各列最高次的系数矩阵若是列满秩的，称矩阵是列既约的通过初等变换做到列既约既约矩阵的阶次才有意义方阵多项式矩阵的阶次与除法既约矩阵的阶次才有意义与单变量情况一致多项式矩阵的阶次与除法除法可以降低阶次“分子”除以“分母”严格真左分式中“分子”的行次大于等于“分母”的行次右分式中“分子”的行次大于等于“分母”的行次“分子”除以“分母”严格真多项式矩阵的分析工具（1）利用行（列）埃尔米特规范型，可求解多项式矩阵的（最大）左（右）因子，进一步可判断多项式矩阵对是否互质。多项式矩阵的互质性、比照特恒等式是系统特性分析的重要桥梁。

（2）利用史密斯规范型，可得到多项式矩阵的初等因子、不变因子，将凸显出系统的结构特征。

（3）通过（准）等价变换，将结构特征相同的多项式矩阵联系到一起。

（4）通过多项式矩阵的除法，可降低多项式矩阵的阶次。5.2等价系统与传递函数矩阵实现构造等价系统等价系统的稳定性、能控性与能观性传递函数矩阵的最小实现史密斯——麦克米兰规范型系统矩阵与几个重要的等价关系系统矩阵等价系统单模阵单模阵扩维状态矩阵输出矩阵输入矩阵扩维的系统矩阵相互等价系统矩阵与几个重要的等价关系系统矩阵等价系统单模阵单模阵扩维状态矩阵输出矩阵输入矩阵构造等价系统已知，以及单模阵求，使得两个系统等价（1）构造等价的系统矩阵（2）除法阶次高严格真两个系统等价构造等价系统已知，以及单模阵求，使得两个系统等价（1）构造等价的系统矩阵（2）除法阶次高构造等价系统已知，以及单模阵求，使得两个系统等价（1）构造等价的系统矩阵（2）除法阶次高状态空间描述构造等价系统状态空间描述（1）求状态矩阵以及相同的不变因子史密斯规范型构造等价系统状态空间描述（2）构造等价的系统矩阵构造等价系统状态空间描述（2）构造等价的系统矩阵（3）除法降低阶次构造等价系统状态空间描述（4）求直通矩阵（5）传递函数矩阵任何一个多项式矩阵描述，都可以通过等价变换和矩阵除法，得到与它等价的状态空间描述关键相似系统与等价系统（1）（2）能否找到相似变换阵T？满足等价系统相似系统与等价系统（2）要证明T是非奇异矩阵？严格真多项式代入只能两边为0除法得到常数等价系统的稳定性、能控性与能观性（2）除法得到常数相似系统相似系统就是等价系统，相似系统的性质都可以转到等价系统中等价系统的稳定性、能控性与能观性稳定性能控性能观性系统性能统一到了系统矩阵传递函数矩阵与最小实现定理5-2-2如果系统与系统都是完全能控且完全能观，它们的传递函数矩阵分别为、，那么定理5-2-3系统是传递函数矩阵的最小实现当且仅当它是完全能控且完全能观的。最小实现分式描述简单，通过等价可得到其他描述史密斯——麦克米兰规范型右互质最小实现传递函数矩阵的零极点的（传递）零点的（传递）极点降秩可以分出每个通道的零极点例5-2-3多变量系统：不同通道有相同的零极点，不会对消（2）通过等价系统的引入，将状态空间理论中的稳定性、能控性、能观性、传递函数矩阵的零极点等结构特征分析统一到了系统矩阵之上。其中，能控性与能观性的判断转化为多项式矩阵的互质判断。（1）多项矩阵描述将状态空间描述、左分式描述、右分式描述归结到部分状态方程描述中，建立了线性（定常）系统一个统一的描述框架，并且通过多项式矩阵的等价变换，给出了它们之间等价转换的方法。（4）由于左（右）分式描述既能很好地呈现多变量系统的内部特征，又将传递函数矩阵显现为“分母”与“分子”形式，便于融合经典控制理论的方法，因而在多变量系统的理论分析中得到广泛应用。（3）由于任何一个多项式矩阵描述，都会与一个状态空间描述等价，因此，基于状态空间理论的各种控制器设计方法都可沿用其上，下节还会展开讨论。5.3线性系统的综合模型匹配与系统解耦模态嵌入与伺服控制全馈控制器及其控制系统全馈控制器观测器特例被控对象，能控能观全馈控制器及其控制系统全馈控制器被控对象，能控能观全馈控制器及其控制系统全馈控制器被控对象，能控能观闭环传递函数矩阵右分式左分式简洁不可设计可以设计任意配置闭环特征多项式矩阵定理5-3-1对于任意给定的维数相容的闭环特征多项式矩阵，如果系统完全能控且完全能观，即被控对象可用右互质的右分式描述，则一定存在全馈控制器，使得式（5-3-5）成立。简言之，如果系统完全能控且完全能观，则可任意配置闭环特征多项式矩阵。除法降阶（1）对任意的，设计稳定的能控能观两边左乘（2）任意配置闭环特征多项式矩阵塞尔维斯特矩阵模型匹配与系统解耦如何设计：受到被控对象零点制约（1）保留：（2）保留：：全部不稳定零点在只需设计：零极点对消（4）静态解耦：是对角阵若是对角阵若是对角阵（3）动态解耦：是对角阵模态嵌入与伺服控制（1）稳态伺服器右互质模态嵌入与伺服控制（1）稳态伺服器模态嵌入稳定右互质模态嵌入与伺服控制严格行满秩？能控能观（1）稳态伺服器模态嵌入右互质左互质不稳定？模态嵌入与伺服控制（2）镇定控制器综上所述，多项式矩阵描述为线性系统的理论分析建立了一个统一的描述框架，在此基础上，给出了全馈控制器这种更一般性的控制器结构，使得模型匹配、伺服控制、系统镇定等问题有了通用的解决方案。前面的讨论更多注重理论分析的一般性，而且又是针对线性系统，因此，要特别注意在理论分析之后，还要进一步通过计算机仿真，在考虑各种模型残差、变量值域等工程限制因素下，对理论分析结果的适用范围进行修正。5.4有理分式矩阵描述与镇定控制器设计有理分式矩阵描述通用镇定控制器设计有理分式矩阵描述分式描述有理分式{所有真的稳定实有理分式传递函数矩阵}为稳定多项式矩阵上的史密斯规范型上的比照特恒等式多项式矩阵描述上的结论可推广状态空间描述与有理分式矩阵描述怎样求？定义：实现状态空间描述与有理分式矩阵描述有理分式怎样求？定义：实现对偶实现状态空间描述与有理分式矩阵描述（1）（2）（3）镇定控制器设计闭环系统内部稳定怎样设计比照特镇定控制器设计闭环系统内部稳定怎样设计比照特自由参数矩阵镇定控制器的状态