2024年湖南省株洲市景弘中学中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2024年湖南省株洲市景弘中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（）A．8.6×10﹣10 B．8.6×10﹣9 C．8.6×10﹣8 D．8.6×10﹣73．（3分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（）A．中 B．考 C．胜 D．利4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a5＝a10 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b65．（3分）已知sin42°≈，则cos48°的值约为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，则∠AOC的度数为（）A．28° B．56° C．58° D．62°7．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3 B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小8．（3分）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树（）A． B． C． D．9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B． C． D．10．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，﹣2）2+n的T型点，则n的取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣ D．n≤﹣二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为．13．（3分）有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是．14．（3分）因式分解：3x3﹣12xy2＝．15．（3分）分式方程根是．16．（3分）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，则∠DMC的大小为．17．（3分）如图，点A，C在双曲线y＝上，D在双曲线y＝上，AB∥y轴，则▱ABCD的面积为．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，动点P从点B出发，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向运动，点Q也停止运动．以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接PF，点D关于直线PF的对称点为D′点，当点D′恰好落在△PQB的边上时．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．20．（6分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C），（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了名学生，图2中A所对应的圆心角度数为；（2）请补全条形统计图；（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．22．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，过点A作BC的垂线，垂足为点E，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．23．（9分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，问有几种购买方案？最低费用是多少？24．（9分）长沙作为“工程机械之都”拥有5家全球工程机械50强企业，近些年长沙制造的工程机械在国内国际市场亮点频频．如图是某款起重机工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），支点A距离地面BD的高度AE为3m．（1）当起重臂AC长度为10m，张角∠CAE为120°时，求起重臂外端点C距离地面的高度CF；（2）若起重臂外端点C连接的钢绳CM（含挂钩）的长固定为3m，起重臂AC的长度为20m．在此条件下（参考数据：，25．（10分）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．26．（10分）如图1，A、B、C是⊙O上三点，＝，OA＝1，BC交于点E，过点O作BE的平行线交射线CA于点F（1）求证：∠ACE＝∠COE；（2）如图2，若AE＝EF，求CF的长；（3）设AE的长为x，记△AOC，△AEC，四边形OCEF的面积分别为S1，S2，S3，S4．小乐：存在实数x，使得成立；小善：对于任意实数x，都有S≥4S1成立．请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理．

2024年湖南省株洲市景弘中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CCBDDBDACD一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的倒数是；故选：C．2．（3分）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（）A．8.6×10﹣10 B．8.6×10﹣9 C．8.6×10﹣8 D．8.6×10﹣7【解答】解：0.000000086＝8.7×10﹣8．故选：C．3．（3分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（）A．中 B．考 C．胜 D．利【解答】解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是考，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a5＝a10 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6【解答】解：A．a2•a5＝a6，故本选项不合题意；B．2a2+a2＝3a2，故本选项不合题意；C．a5÷a3＝a3，故本选项不合题意；D．（﹣5ab2）3＝﹣7a3b6，故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）已知sin42°≈，则cos48°的值约为（）A． B． C． D．【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，故选：D．6．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，则∠AOC的度数为（）A．28° B．56° C．58° D．62°【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∵∠CDB＝28°，∴∠AOC＝2∠CDB＝56°，故选：B．7．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3 B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，∴k＝3×（﹣5）＝﹣3，故选项A正确；∵k＝﹣3＜4，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项B正确；∵反比例函数的图象关于原点对称，故选项C正确；∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限，∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，符合题意．故选：D．8．（3分）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树（）A． B． C． D．【解答】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植（x﹣3）棵树，根据题意，可如甲，可列方程，故选：A．9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B． C． D．【解答】解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项C满足条件．故选：C．10．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，﹣2）2+n的T型点，则n的取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣ D．n≤﹣【解答】解：如图，∵H（02+n的T型点，∴∠AHO＝30°，tan30°＝，OA＝2×＝，∴A（，7），∴通过H的直线的解析式为：y＝x﹣2，∵y＝x3+n，∴当x2+n＝x﹣8有解时，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，即△＝2﹣4（n+2）≥7，n≤﹣，∴当n≤﹣时，H（02+n的T型点，故选：D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式，即x﹣2≥2，解得x≥2；故答案为：x≥2．12．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为12．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．所以多边形是12边形，故答案为：12．13．（3分）有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是7．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，3，5，7，7，8，5，9；∴这组数据的中位数是7；故答案为：7．14．（3分）因式分解：3x3﹣12xy2＝3x（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：原式＝3x（x2﹣2y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+4y）（x﹣2y）．15．（3分）分式方程根是x＝﹣3．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣6），解得：x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入得：（x﹣3）（x﹣3）≠0，∴x＝﹣6是分式方程的根，故答案为：x＝﹣3．16．（3分）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，则∠DMC的大小为110°．【解答】解：延长ED交CB的延长线于点G，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，∵EF∥BC，∴∠E＝∠G＝40°，∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，故答案为：110°．17．（3分）如图，点A，C在双曲线y＝上，D在双曲线y＝上，AB∥y轴，则▱ABCD的面积为8．【解答】解：过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥y轴，∴AB∥CD∥y轴，AB＝CD，∵点A，C在双曲线y＝6/x上，设点A，点，∵AB∥CD∥y轴，点B，∴点B，D，∴AB＝＝，CD＝＝，∵AB＝CD，∴，∴a＝b，∵AB∥y轴，CE⊥AB，∴CE⊥y轴，∴CE＝a﹣（﹣b）＝a+b＝2a，∴S▱ABCD＝AB•CE＝＝8．故答案为：5．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，动点P从点B出发，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向运动，点Q也停止运动．以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接PF，点D关于直线PF的对称点为D′点，当点D′恰好落在△PQB的边上时1或．【解答】解：如图2，∵BP＝4t，∴AP＝10﹣8t，在Rt△APE中，∠A＝30°，∴PE＝PA＝6﹣2t，∵四边形PBQD是平行四边形，∴PD＝BQ＝5﹣t，∴DE＝PD﹣PE＝6﹣t﹣（5﹣2t）＝t＝ED，∵∠EFD＝∠CFQ，∠D＝∠CQF，∴△EFD≌△CFQ（AAS），∴EF＝CF，如图，点D'与Q重合，′由对称得：PD＝PQ，∴PQ＝BQ，∵∠B＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PB＝BQ，∴7t＝5﹣t，∴t＝1；如图，D'在斜边AB上，由对称得：∠DPF＝∠D'PF＝60°，∵∠PDF＝∠B＝60°，∴△PDF是等边三角形，∴PD＝DF，∴5﹣t＝2t，∴t＝，∴t的值为1或．故答案为：1或．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．【解答】解：＝＝＝2+2022＝2024．20．（6分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，当时．21．（8分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C），（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了50名学生，图2中A所对应的圆心角度数为144°；（2）请补全条形统计图；（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°×＝144°，故答案为：50，144°；（2）D的人数为：50×10%＝5（人），∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣6＝15（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为＝．22．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，过点A作BC的垂线，垂足为点E，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，∵AE⊥BC，∴S四边形ABCD＝BC•AE，在Rt△ABO中，由勾股定理可得：∴，∴BD＝7BO＝24，∵S四边形ABCD＝AC•BD＝BC•AE，∴，∴．23．（9分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，问有几种购买方案？最低费用是多少？【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100，解得x＝100，x﹣40＝60．答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，由题意可得：，解得85≤m＜90，又∵m为正整数，∴m可以取85，86，88；∴共有7种购买方案，方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；方案6：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．24．（9分）长沙作为“工程机械之都”拥有5家全球工程机械50强企业，近些年长沙制造的工程机械在国内国际市场亮点频频．如图是某款起重机工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），支点A距离地面BD的高度AE为3m．（1）当起重臂AC长度为10m，张角∠CAE为120°时，求起重臂外端点C距离地面的高度CF；（2）若起重臂外端点C连接的钢绳CM（含挂钩）的长固定为3m，起重臂AC的长度为20m．在此条件下（参考数据：，【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为G，由题意得：AE＝FG＝3m，∠EAG＝90°，∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°，在Rt△ACG中，AC＝10m，∴CG＝AC＝5（m），∴CF＝CG+FG＝5+4＝8（m），∴起重臂外端点C距离地面的高度CF为8m；（2）该起重机能将重物举到离地面高度17m的楼顶，理由：如图：过点A作AH⊥CF，垂足为H，由题意得：AE＝HF＝2m，∠EAH＝90°，∵∠EAC＝150°，∴∠CAH＝∠EAC﹣∠EAH＝60°，在Rt△ACH中，AC＝20m，∴CH＝AC•sin60°＝20×＝10，∴MF＝CH+HF﹣CM＝10+3﹣2≈17.32（m），∵17.32m＞17m，∴该起重机能将重物举到离地面高度17m的楼顶．25．（10分）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+2a﹣8得y＝a（x+3）6﹣8，∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣2），∵点B（2，0）在抛物线C上，∴4＝a（2+3）8﹣8，解得：a＝；（2）如图2，连接DE，作EM⊥x轴于M，根据题意，点D，0）成中心对称，∴DE过点B，且DB＝EB，在△DBH和△EBM中，，∴△DBH≌△EBM（AAS），∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝7，∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，3），∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到，∴抛物线C1的函数表达式为y＝﹣（x﹣7）2+5；（3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到，∴顶点D，E关于点P成中心对称，设点E（m，8），如图3，作DH⊥x轴于H，EN⊥DN于N，∵旋转中心P在x轴上，∴FG＝AB＝2BH＝10，∴点H的坐标为（﹣3，4），﹣8），根据勾股定理得，EF2＝32+57＝89，显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形，①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°，根据勾股定理得：AE2＝AM2+EM8＝（m+8）2+32＝m2+16m+128，AE7＝AF2﹣EF2＝（m+13）2﹣89＝m2+26m+80，∴m2+16m+128＝m2+26m+80，解得：m＝，∴OP＝（m+3）﹣3＝（m﹣4）＝﹣3）＝，∴点P的坐标为（，0）；②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°，根据勾股定理得：BE2＝BM5+EM2＝（m﹣2）4+82＝m2﹣4m+68，BE2＝BF8﹣EF2＝（m+3）6﹣89＝m2+6m﹣80，∴m7﹣4m+68＝m2+4m﹣80，解得：m＝，