九年级（上）期中数学试卷-答案

2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷【答案】1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.B

8.C

9.D

10.D

11.C

12.B

13.B

14.B

15.B

16.C

17.D

18.A

19.B

20.A

21.（10，3）22.63°或117°23.524.125.解：（1）原式=-4+22+1+22=42-3；

（2）原式=23-3+34-23+2=-126.解：过D点作DF⊥AB于F，

∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=∠DFB=90°，

∴BCDF是矩形，∴CD=BF，DF=BC，

∵∠ADF=45°，∴AF=DFtan45°=DF，

∵∠EDF=30°，∴EF=DFtan30°=33DF，

∴AE=AF+EF，则DF+33DF=30，

∴DF=（45-153）米

即BC=（45-15327.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠C+∠ADE=180°，

∵∠BFE=∠C，

∴∠BFE+∠ADE=180°，

∵∠BFE+∠AFB=180°，

∴∠AFB=∠ADE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠AED，

∴△ABF∽△EAD；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵BE⊥DC，

∴BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

在Rt△ABE中，

∵AB=4，∠BAE=30°，

∴cos∠BAE=cos30°=ABAE，

∴AE=ABcos30∘=432=833；

（3）∵△ABF∽△EAD，

∴BFAD=ABAE，28.解：（1）∵DO⊥AB，

∴∠DOB=90°，

∴∠ACB=∠DOB，又∠B=∠B，

∴△DOB∽△ACB；

（2）∵∠ACB=90°，

∴AB=AC2+BC2=62+82=10，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

∴DC=DO，

在Rt△ACD和Rt△AOD中，

∵DC=DOAD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），

∴AC=AO=6，

设BD=x，则DC=DO=8-x，OB=AB-AO=4，

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，

即（8-x）2+4229.解：（1）证明：如图，

连接OD，BD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=12BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为圆O的切线；

（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴BCCD=ACBC

即BC2=AC•CD，

∴BC2=CD•2OE

（3）解：∵OE∥AC，

∴∠BAD=∠BOE

∴sin∠BOE=sin∠BAD=35

∴BEOE=35

【解析】1.解：有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，A错误；

底角为45°的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，B错误；

任意两个菱形不一定相似，C错误；

两个等腰直角三角形必相似，D正确．

故选：D．

根据等腰三角形的性质和对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，运用分情况讨论思想解答即可．

本题考查的是相似多边形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键．2.解：∵cosA=32，

∴∠A=30°，

∴tanA=tan30°=33．

故选C．

根据∠A的余弦求出∠A=30°，再根据30°角的正切值求解即可．

本题考查了特殊角的三角函数，熟记30°、45°、3.解：∵各边的长度都扩大两倍，

∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，

∴锐角A的各三角函数值都不变．

故选C．

根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．4.解：由|2sinA-1|+（2cosB-2）2=0，得

2sinA-1=0，2cosB-2=0，

解得∠A=30°，∠B=45°，

由三角形内角和定理，得C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°，

故选：D．

根据非负数的和为零，可得每个非负数为零，根据特殊角三角函数值，可得答案．

本题考查了特殊角三角函数值，利用非负数的和等于零得出每个非负数为零是解题关键，又利用了特殊角三角函数值．5.解：∵AD：DB=3：5，

∴BD：AB=5：8，

∵DE∥BC，

∴CE：AC=BD：AB=5：8，

∵EF∥AB，

∴CF：CB=CE：AC=5：8．

故选A．

先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．

此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6.解：∵S△EFC=3S△DEF，

∴DF：FC=1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴DE：BC=DF：FC=1：3

同理△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=1：9，

故选C．

易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解题．

本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．7.解：

∵AE为∠DAB的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

∵DG⊥AE，

∴AG=FG，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC=4，AD∥BC，

∵DF：CF=3：1，

∴DF=3，CF=1，

∵DG=1，

∴GF=32−12=22，

∴AF=2GF=43，

∵AD∥BC，

∴△ADF∽△ECF，

∴CF：DF=EF：AF=1：3，

即EF：43=1：3，

∴EF=433，

∴AE=AF+EF=43+433=1633，

故选B．

易证△ADF是等腰三角形，由DG⊥AE可得AG=FG，再由勾股定理可求出FG的长，再根据CF：DF=EF：AF=1：8.解：∵圆的内接四边形对角互补，

∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，

∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：6：5：2．

故选：C．

因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．9.解：∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴OD=OE=OF，

∴点O是△DEF的外心，

∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；

故选D．

由题意知点O是△ABC的内心，因此OD=OE=OF，所以点O也是△DEF的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．

此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；

三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；

三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．10.解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，

∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，

故选：D．

先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．

此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．11.解：∵△ABC与△ADE相似，且∠A是公共角，

∴若△ABC∽△ADE，则ABAD=ACAE，

即62=9AE，

解得：AE=3；

若△ABC∽△AED，则ABAE=ACAD，

即6AE=92，

解得：AE=43．

∴AE=3或43．

故选C．

由△ABC中，点D在边AB上，点E在AC上，AB=6，AD=2，AC=9，若△12.解：①位似图形都相似，③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2，正确．

故选B．

位似就是特殊的相似，因而第一个是正确的；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因而斜边上的中线与斜边的比为1：2；相似性面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比．

本题考查了位似的定义以及相似形的性质．13.解：∵BE是直径，

∴∠BAE=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，

∴∠BEA=∠DAE=36°，

∴∠BAD=126°，

∴∠ADC=54°，

故选：B．

首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°，求得到∠ADC=54°．

本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．14.解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，

则AC=BDcos30∘=6003（米）．

故选B．

此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC=BDcos15.解：∵在正方形ABCD中，AC=32

∴BC=AB=3，

延长A′B′交BC于点E，

∵点A′的坐标为（1，2），

∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，

∴OE：BC=1：3，

∴AA′：AC=1：3，

∵AA′=CC′，

∴AA′=CC′=A′C′，

∴A′C′：AC=1：3，

∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是13．

故选B．

延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．

本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．16.解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，

∴AB∥CD∥EF，

∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，

∴EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，

∴EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1．

∵AB=1，CD=3，

∴EF1+EF3=1，

∴EF=34．

故选C．

易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=DFDB17.解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

而AB=CB，

∴AD=DC，所以①正确；

∵AB=CB，

∴∠1=∠2，

而CD=ED，

∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴△CBA∽△CDE，所以②正确；

∵△ABC不能确定为直角三角形，

∴∠1不能确定等于45°，

∴BD与AD不能确定相等，所以③错误；

∵DA=DC=DE，

∴点E在以AC为直径的圆上，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AE，

而CF∥AB，

∴AB⊥AE，

∴AE为⊙O的切线，所以④正确．

故选：D．

根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定BD与AD相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．18.解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，BC=2AC．

又∵点D为边AC的中点，

∴AD=DC=12AC．

∵DE⊥BC于点E，

∴∠CDE=∠C=45°，

∴DE=EC=22DC=24AC．

∴tan∠DBC=DEBE=24AC2AC−24AC=13．

故选：A．

利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=2AC，DE=EC=219.解：AB=8cm，AC=6cm，

∴AD=4，AE=3，

∵四边形OEAD是矩形，

∴OA=5．

故选B．

根据垂径定理求得OD，AD的长，并且在直角△AOD中运用勾股定理即可求解．

利用垂径定理先求出AD，AE的值，然后利用勾股定理即可求出线段的长．20.解：∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA•sin60°=2×32=3，

∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=12×2×3-60×π×(3)2360=3-π2．

故选A．

由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．21.解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），

∴AD=BC=10，DC=AB=8，

∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

∴AD=AF=10，DE=EF，

在Rt△AOF中，OF=AF2−AO2=6，

∴FC=10-6=4，

设EC=x，则DE=EF=8-x，

在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8-x）2=x2+42，解得x=3，

即EC的长为3．

∴点E的坐标为（10，3），

故答案为：（10，3）．

根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E22.解：如图所示：连接OA，OB，

∵经过点A，点B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P=54°，

∴∠AOB=126°，

∴∠C=63°，

则∠C′=117°，

综上所述：∠ACB=63°或117°．

故答案为：63°或117°．

直接利用切线的性质结合圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出答案．

此题主要考查了切线的性质以及及圆内接四边形的性质，注意分情况讨论是解题关键．23.解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°．

根据旋转的性质，有

∠PAP′=60°，AP′=AP=1，CP′=BP=2．

∴△APP′是等边三角形，PP′=1．

在△PCP′中，

PC=5，PP′=1，CP′=2．

∴PC2=P′P2+P′C2．

∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°．

∴sin∠PCP′=15=55．

根据题意，旋转角度为60°．易证明△APP′是等边三角形，PP′=1；

由CP′=BP=2，PC=5可证明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°．

24.解：∵O1E1∥AC，

∴∠BO1E1=∠BAC，∠BE1O1=∠BCA，

∴△BO1E1∽△BAC，

∴BO1BA=O1E1AC．

∵CO1是△ABC的中线，

∴BO1BA=O1E1AC=12．

∵O1E1∥AC，

∴∠O1E1O2=∠CAO2，∠E1O1O2=∠ACO2，

∴△E1O1O2∽△ACO2，

∴E1O1AC=E1O2AO2=12．

∵O2E2∥AC，

∴E1O2E1A=O2E2AC=13，

∴O2E2=13AC．

同理：OnEn=1n+1AC．

∴O2016E2016=12016+1=12017．

故答案为：12017．

由O1E1∥AC可得出△BO1E1∽△BAC和△E1O1O225.（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

（2）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可得到结果．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26.根据∠