八年级（上）期中数学试卷 含解析

2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（）A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm B．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cm C．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cm D．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm2．根据“y减去1不大于3”列式正确的是（）A．y﹣1＜3 B．y﹣1≤3 C．y﹣1＞3 D．y﹣1≥33．下列句子中，是命题的是（）A．负数小于一切正数吗？ B．作一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．将8开立方4．下列图案中，轴对称图形是（）A． B． C． D．5．如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（）A．34° B．35° C．69° D．104°6．在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（）A．60° B．50° C．40° D．30°7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝BD8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（）A．50° B．70° C．75° D．80°9．下列说法中，错误的一项是（）A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立 B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立 C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立 D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为．12．将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为．13．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为．14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为．15．有9张卡片，分别写有1到9共9个数字，将他们背面朝上，洗匀后任意抽出一张，将卡片上的数字记为a，若关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，则a的值为．16．如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为．三．解答题（共7小题）17．（1）请你在数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）根据不等式的性质，把不等式6x＜﹣1+4x化为x＞a或x＜a的形式．18．如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．19．如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．21．如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．22．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．23．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABC的平分线BD交过点C且平行AB的直线于D点；AE⊥BD交BD于E点，连接CE并延长，交过A点且平行BC的直线于F点，AD与CF交于O点．现得到如下两个结论：①∠DAE＝22.5°；②DE＝（2）BE；请帮助判断结论的真假，并说明你的理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（）A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm B．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cm C．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cm D．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、1+2＜3.5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、6.3+6.3＝12.6，不能构成三角形，故本选项不符合题意；D、8﹣6＜13＜6+8，能构成三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．根据“y减去1不大于3”列式正确的是（）A．y﹣1＜3 B．y﹣1≤3 C．y﹣1＞3 D．y﹣1≥3【分析】根据不大于3，即是小于或等于3列不等式即可．【解答】解：根据题意，得y﹣1≤3．故选：B．3．下列句子中，是命题的是（）A．负数小于一切正数吗？ B．作一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．将8开立方【分析】根据命题的定义可以判断出各个选项中的语句是否为命题，本题得以解决．【解答】解：负数小于一切正数么？是疑问语句，不是命题，故选项A错误；作一条直线与已知直线垂直不是判断语句，故不是命题，故选项B错误；两点之间线段最短是命题，故选项C正确；将8开立方不是判断语句，不是命题，故选项D错误；故选：C．4．下列图案中，轴对称图形是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．5．如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（）A．34° B．35° C．69° D．104°【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，可以求得∠3的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，∴69°＝35°+∠3，∴∠3＝34°，故选：A．6．在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°．故选：D．7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝BD【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行判断即可．【解答】解：A、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠D，根据AAS可判定△ABC≌△DCB；B、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，AB＝CD，不能判定△ABC≌△DCB；C、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，根据ASA可判定△ABC≌△DCB；D、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，根据SAS可判定△ABC≌△DCB．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（）A．50° B．70° C．75° D．80°【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝50°，即可求解．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠E＝∠DBC＝25°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝75°，故选：C．9．下列说法中，错误的一项是（）A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立 B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立 C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立 D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立【分析】根据不等式的基本性质，只需判断m2+1＞0，（m+1）2＞0，即可求解．【解答】解：∵m2+1＞0，则不等式的两边同时除以m2+1，则不等式不变号，∴A正确；∵（m+1）2＞0，则不等式的两边同时除以（m+1）2，则不等式不变号，∴C正确；a（m+b）＜b（m+a）可以化为am+ab＜bm+ab，则不等式的两边同时减去ab，则不等式不变号，∴D正确；∵m2﹣1可以是正数也可以是负数，∴B不正确；故选：B．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（）A． B． C． D．【分析】根据DE垂直平分斜边AC，得到AD＝CD，AE＝CE，解直角三角形得到BC＝，AD＝CD＝2，求得AB＝3，于是得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD，AE＝CE，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BCD＝30°，∵BD＝1，∴BC＝，AD＝CD＝2，∴AB＝3，∴△BCE的面积＝S△ABC＝×＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为119°．【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝122°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．【解答】解：解：∵∠A＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣58°＝122°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝61°，∴∠BDC＝180°﹣61°＝119°，故答案为119°．12．将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．13．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为15．【分析】因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等．【解答】解：当3是腰时，边长为3，3，6，但3+3＝6，故不能构成三角形，这种情况不可以．当6是腰时，边长为6，6，3，且3+6＞6，能构成三角形故周长为6+6+3＝15．故答案为：15．14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为．【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，再根据面积公式求得斜边上的高线的长．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴根据勾股定理，得：AC＝＝12，∴三角形的面积是×5×12＝30，∴AB边上的高＝＝，故答案为：．15．有9张卡片，分别写有1到9共9个数字，将他们背面朝上，洗匀后任意抽出一张，将卡片上的数字记为a，若关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，则a的值为8，9．【分析】根据题中不等式的解集确定出a的值即可．【解答】解：∵关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，∴15﹣2a＜0，解得：a＞，则a＝8，9，故答案为：8，916．如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为．【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，然后根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA＝30°；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝120°，∴△COP于△POD是等边三角形，∴四边形OCPD是菱形，∴CD垂直平分OP，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，OM＝PM，PN＝ON，∵∠PCM＝∠MPC＝30°，∴∠PMN＝60°，同理∠PNM＝60°，∴PM＝PN，∴四边形PMON是菱形，∵OP＝8，∴MN＝，∴△OMN的面积＝S菱形PMON＝×8×＝．三．解答题（共7小题）17．（1）请你在数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）根据不等式的性质，把不等式6x＜﹣1+4x化为x＞a或x＜a的形式．【分析】（1）根据大小小大取中间的原则，在数轴上表示出不等式即可；（2）解不等式化为x＞a或x＜a的形式即可．【解答】解：（1）如图：数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）不等式6x＜﹣1+4x，解得x．18．如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．【分析】根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BCD，根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换即可得到结论．【解答】解：∵BE‖CD，∴∠EBC＝∠BCD，∵BC⊥AC，CD⊥AB，∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，∴∠BCD＝∠A，∴∠EBC＝∠A．19．如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．【分析】（1）根据尺规作图过程即可作出∠α+∠β；（2）先根据尺规作图作出∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，再进行其它作图即可作出三角形．【解答】解：（1）如图∠AOC即为所求作的图形．（2）如图即为所求作的△ABC．作BC＝a，作∠B＝∠β，∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，∠B、∠C的两条边相交于点A，则∠A＝∠α．答：△ABC即为所求作的图形．20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．【分析】根据SAS证明△OMC≌△ONC，可得MC＝NC，根据角平分线的性质，得CD＝CE，则△DMC≌△ENC．【解答】证明：∵OC平分∠AOC，∴∠DOC＝∠EOC，在△OMC和△ONC中，∵OM＝ON，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC∴△OMC≌△ONC（SAS），∴MC＝NC，∵OC平分∠AOC，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE，在Rt△DMC和Rt△ENC中∵DC＝CE，CM＝CN，∴Rt△DMC≌Rt△ENC（HL）．21．如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【分析】（1）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE；（2）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后利用等式的性质证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE．【解答】解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．（2）成立．∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠B