2025年初中数学复习之小题狂练450题（选择题）：圆（10题）

第1页（共1页）2025年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：圆（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，CD=23A．23-π3 B．43-π32．（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB＝A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024•泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（）A．65° B．55° C．50° D．75°4．（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm5．（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．27° B．31° C．30° D．54°6．（2024•河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．22＜r＜17 B．17＜r≤32 C．17＜r＜5 D．7．（2024•涧西区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（）A．36° B．33° C．30° D．27°8．（2024•朝阳区校级一模）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④9．（2024•广阳区二模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．54°10．（2024•蒸湘区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为（）A．5 B．42 C．52 D

2025年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：圆（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，CD=23A．23-π3 B．43-π3【考点】切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】D【分析】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∵∠OCD＝90°，∴OC=tan∠DOC⋅CD=tan60°×23∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC=12×2故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．2．（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB＝A．105° B．100° C．90° D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】B【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可．【解答】解：连接OB、OC、OP．∵AD是半圆O的直径，∴∠AOD＝180°，∵AB=∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB、△BOC均是等边三角形，∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°，∵OC＝OP，∴△COP是等腰三角形，∵∠PCB＝130°，∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°，∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠PBC=12∠COP=12∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．3．（2024•泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（）A．65° B．55° C．50° D．75°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】A【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOD＝50°，∴∠ABD=12∠AOD＝∵BA平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，∴BD＝20cm，∵CD＝10cm，OC＝OB，∴OD＝OB﹣10，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（OB﹣10）2+202＝OB2，解得OB＝25，即圆形工件的半径为25cm，故选：C．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．27° B．31° C．30° D．54°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，根据量角器的读数方法得：∠ACB=85°-31°故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键．6．（2024•河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．22＜r＜17 B．17＜r≤32 C．17＜r＜5 D．【考点】点与圆的位置关系；勾股定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】B【分析】首先选取离A最近的四个点标记为D、E、B、F，根据勾股定理算出这四个点与A的距离d，根据点与圆的位置关系：d＝r，则点在圆上，d＞r，则点在圆外，d＜r，则点在圆内，即可得答案．【解答】解：根据题意画出示意图：∵由勾股定理可得：AD=22+22=22，AE＝AF=17∴AB＞AE＞AD，∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内，∴17＜r＜32以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D、E、F3个在圆内．故选：B．【点评】本题考查点和圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．7．（2024•涧西区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（）A．36° B．33° C．30° D．27°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【答案】A【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．【解答】解：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8．（2024•朝阳区校级一模）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④【考点】圆周角定理；全等三角形的判定．【专题】数形结合；圆的有关概念及性质；几何直观．【答案】C【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故④正确；故选：C．【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM的交点个数．9．（2024•广阳区二模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．54°【考点】正多边形和圆；三角形的稳定性；三角形三边关系；圆周角定理；切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；推理能力．【答案】B【分析】连接OC，OB，根据正五边形的性质得到∠BOC＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC=12×（180°﹣60°）＝60°，根据切线的性质得到∠OCF【解答】解：连接OC，OB，∵五边形OABCD的正五边形，∴AB＝BC＝CD，∴AB=∵AD是⊙O的直径，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC=1∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC=12×（180°﹣60∵点C作⊙O的切线EF，∴∠OCF＝90°，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．10．（2024•蒸湘区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为（）A．5 B．42 C．52 D【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】B【分析】连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，又∠CAD＝∠B，可得∠ADC+∠B＝90°，而∠ADC＝∠B，故△ACD是等腰直角三角形，即可求出答案．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，∵∠CAD＝∠B，∴∠ADC+∠B＝90°，∵AC=∴∠ADC＝∠B，∴∠ADC＝45°＝∠B，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC=AD2=故选：B．【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．

考点卡片1．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．2．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．7．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．8．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．9．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．10．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的