2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：四边形（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：四边形（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF的长为2．（2024•汇川区三模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，∠AFE＝45°，则CF的长是．3．（2024•兰州）如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝．4．（2024•新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是．5．（2024•甘肃一模）已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．6．（2024•海安市二模）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为．7．（2024•山西模拟）如图是一个风车图案，它由4个全等的平行四边形叶片和1个正方形按如图方式拼接而成，以正方形的中心为原点O，对角线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，其中一个平行四边形叶片的顶点A，B的坐标分别为（1，0），（0，3），则点D的坐标为．8．（2024•东河区校级一模）如图，点E为正方形ABCD的边BC的中点，连接AE，点F、G分别为AB、CD上的点，连接FG，CF，取CG、CF的中点M、N，连接MN，已知正方形的边长为4，若FG⊥AE，则MN的长为．9．（2024•南明区校级二模）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝10．（2024•鼓楼区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：四边形（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF的长为【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】11．【分析】连接CE，设EF＝x，证△DOE∽△CEG，得出成比例线段，求出EF，即可．【解答】解：连接CE，设EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，则∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中点，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC=12∠COD=12∠AOB，EF∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG=14∠∴∠CEG=∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴DECG∵AO＝6EF＝OD，DE=23∴23∴EF＝1，∴DF=D【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键．2．（2024•汇川区三模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，∠AFE＝45°，则CF的长是3．【考点】矩形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】3．【分析】作EG⊥AF于G，设AE＝x，解直角三角形得出AG=x2，EG=FG=3x2，从而推出AF=3+12x，作GH⊥BC于H，作GM⊥CD于M，延长MG交AB于N，证明出四边形GHCM为正方形，再证明△GFM∽△AFD，由相似三角形的性质得出GMAD=MFDF=GFAF=【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，如图：作EG⊥AF于G，则∠AGE＝∠EGF＝90°，设AE＝x，在Rt△AEG中，∠EAF＝60°，则AG=AE⋅cos60°在Rt△EGF，∠AFE＝45°，则EG=FG=3∴AF=AG+GF=x作GH⊥BC于H，作GM⊥CD于M，延长MG交AB于N，则∠GHC＝∠C＝∠GMC＝90°，∴四边形GHCM为矩形，∴∠MGH＝90°，∵∠EGH+∠HGF＝90°，∠MGF+∠HGF＝90°，∴∠EGH＝∠MGF，∵∠GHE＝∠GMF＝90°，EG＝FG，∴△EGH≌△FGM（AAS），∴GH＝GM，∴四边形GHCM为正方形，∵∠FMG＝∠D＝90°，∠GFM＝∠AFD，∴△GFM∽△AFD，∴GMAD∴GM=6-∴GH=GM=6-同理可得：四边形ANMD、BHGN为矩形，∴BN=GH=6-∴DM=AN=AB-∴MFMF+DM=3∴MF=6-∴CF=CD-故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．3．（2024•兰州）如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝2．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】由等边三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF=12AE＝故答案为：2．【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、含有30°的直角三角形等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4．（2024•新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是23．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】23．【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质得出AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，由直角三角形的性质得出DC＝2，求出OD的长，则可得出答案．【解答】解：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，∵CM平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∵DF＝1，∴DC＝2DF＝2，∴OC=12CD＝∴OD=C∴BD＝2OD＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．（2024•甘肃一模）已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为5．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形．【答案】见试题解答内容【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH=12BF，利用勾股定理求出【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH=12∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6∴BF=BC∴GH＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．6．（2024•海安市二模）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为38【考点】矩形的性质；解直角三角形．【专题】推理填空题；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】38【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴CECF∵BC＝3，∴CG=3∴GB=3∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG=BG∴tanα的值为38故答案为：38【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（2024•山西模拟）如图是一个风车图案，它由4个全等的平行四边形叶片和1个正方形按如图方式拼接而成，以正方形的中心为原点O，对角线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，其中一个平行四边形叶片的顶点A，B的坐标分别为（1，0），（0，3），则点D的坐标为（﹣1，﹣2）．【考点】平行四边形的性质；坐标确定位置；全等图形．【专题】平面直角坐标系；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由正方形的性质得OC＝OA＝OF＝1，则C（0，1），F（﹣1，0），所以HG＝BC＝2，由DF∥y轴，且DF＝HG＝2，得D（﹣1，﹣2），于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ACFG是正方形，A（1，0），B（0，3），∴OC＝OG=12CG，OA＝OF=12AF，且∴OC＝OA＝OF＝1，∴C（0，1），F（﹣1，0），∵图中的四个平行四边形全等，∴HG＝BC＝3﹣1＝2，∴DF∥y轴，且DF＝HG＝2，∴D（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，正确地求出点C的坐标及BC的长是解题的关键．8．（2024•东河区校级一模）如图，点E为正方形ABCD的边BC的中点，连接AE，点F、G分别为AB、CD上的点，连接FG，CF，取CG、CF的中点M、N，连接MN，已知正方形的边长为4，若FG⊥AE，则MN的长为5．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】5．【分析】解法一：过点G作GH⊥AB于点H，易得△ABE≌△GHF，所以GF＝AE＝25，再结合点M、N分别是线段CG、CF的中点，根据中位线定理可得答案．解法二：过点D作DH∥FG交AB于H，易证DHFG是平行四边形，再证三角形ADH≌三角形ABE，根据三角形中位线定理可得结论．【解答】解法一：如图，过点G作GH⊥AB于点H，∴∠AHG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∴∠BAD＝∠D＝∠AHG＝90°，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝GH，∠GHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝4，∴∠GHF＝∠B＝90°，GH＝AD＝AB，∵GF⊥AE，∴∠AOF＝90°，∴∠AFO+∠OAF＝90°，∵∠OAF+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AFO，∴△ABE≌△GHF（AAS），∴FG＝AE，∵E是BC的中点，∴BE=12BC＝由勾股定理得：AE=42+∴FG＝AE＝25，∵CG、CF的中点M、N，∴MN是△CFG的中位线，∴MN=12FG解法二：过点D作DH∥FG交AB于H，易证DHFG是平行四边形，∴DH＝FG，同理得：△ADH≌△ABE（AAS），∴AE＝FG＝DH＝25，最后同理得：MN=12FG故答案为：5．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．9．（2024•南明区校级二模）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝2-【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】2-2【分析】证明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，根据平行线的性质和角平分线的定义可得CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△BFG，∴AFBF∵AF＝2BF，∴AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，∵AD∥CG，∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，∴CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2∴a+2a+32=6∴a＝2-2∴GB＝2-2故答案为：2-2【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．10．（2024•鼓楼区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是3+1【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】3+1【分析】取AB的中点E，连接CE，OE，AC，先证明△ABC是等边三角形，即可求出CE的长，再在Rt△ABO中利用斜边中线性质求出OE，最后根据OE+CE≥OC确定当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为OC＝OE+CE．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC，∵边长为2的菱形ABCD，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB的中点E，∴BE=12BA=1，∴CE=B在Rt△ABO中，OE=1∴OC≤∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为3+1故答案为：3+1【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

考点卡片1．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．4．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．7．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．8．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．9．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．10．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．12．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1213．平行四