专题37 中考命题核心元素含60°角的问题的解题思路（原卷版）

专题37含60°角的问题的解题思路（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一共顶点双等边三角形模型

1．（2021秋•监利市校级期中）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，

BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．

（1）求证：AE＝BD；

（2）如图2，连接MN，试探究MN与BC的位置关系，并证明你的结论；

针对训练

1．（2022秋•前郭县期中）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB

同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点P．

（1）观察猜想：

①AE与BD的数量关系为．

②∠APD的度数为；

（2）数学思考：

如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展应用：

如图③，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE．对角线AC，

BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．

第1页共9页更多资料加微信：.

模型二半角模型(120°＋60°)

典例2（2021秋•富县期中）如图①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC

上，∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF．

（1）求证：△ADE≌△AFE；

（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的

长．

针对训练

1．（2011•天津二模）如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点

作一个60°角，使角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

①当MN∥BC时，求证：MN＝BM+CN；

②当MN与BC不平行时，则①中的结论还成立吗？为什么？

③若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图

③中画出图形，并说明理由．

第2页共9页更多资料加微信：.

模型三含60°角的对角互补模型

典例3（2022•蓟县模拟）已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线

PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．

（1）利用图1，求证：PA＝PB；

（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．

针对训练

1．（2019秋•昌平区校级期中）已知：△ABC是O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上，任

取一点D，连接AD，BD，CD．⊙

（1）如图1，∠BAC＝，求∠ADB的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，如果∠BAαC＝60°，求证：BD+CD＝αAD；

（3）如图3，如果∠BAC＝120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明．

第3页共9页更多资料加微信：.

2．（2020•枣庄一模）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分线OM上有一点C，将一个120°角的

顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA，OB相交于点D，E．

（1）如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理

由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理

由；

（3）如图3，当∠DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD，OE与OC之间又

有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

第4页共9页更多资料加微信：.

模块二2023中考押题预测

1．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF．如图，若AD＝2BE．

①求证：∠CEF＝∠BDE；

②连接CF，求∠ECF的度数．

2．（2022•通许县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长

线上一点，且CF＝AE，连接BE．

（1）发现问题：

如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；

（2）探究问题．

如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？

请证明你的猜想；

（3）解决问题：

如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF

的长度．

第5页共9页更多资料加微信：.

3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为

斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．

4．（2022春•重庆校级月考）如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连

接BE．

（1）若CE＝4，BC，求线段BE的长；

（2）如图2，取BE=中6点3P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且APPD；

（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接=BE，3点P为BE中点，连接AP，

PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

第6页共9页更多资料加微信：.

5．如图，在长方形ABCD中，AB＝2a，把边DC绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接AF并延长

交BC于E，AF平分∠BAD．求△EFC的面积．

6．（2022秋•海州区校级月考）已知O的直径为10，点A、B、C在O上，∠CAB的平分线交O于点

D．⊙⊙⊙

（1）如图1，若BC为O的直径．

①求证：△BCD是等腰⊙直角三角形；

②直接写出CD的长为；

（2）如图2，若∠CAB＝60°，求BD的长．

第7页共9页更多资料加微信：.

7．（2022•福田区模拟）问题背景

如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、

旋转方向及旋转角的大小．

尝试应用

如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接

ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．

𝐷

拓展创新𝐷

如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°