专题14 填空题重点出题方向反比例函数中的计算专项训练（解析版）

专题14填空题重点出题方向反比例函数中的计算专项训练（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一反比例函数的图像和性质

1．（2022•湖北）在反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个

�−1

=

完全平方式，则该反比例函数的解�析式为y．

3

=

思路引领：由整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，�可得k＝±4，由反比例函y的图象的每一支上，y

�−1

都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解得k＞1，则k＝4，即可得反比例函=数的�解析式．

解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，

∴k＝±4，

∵反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，

�−1

∴k﹣1＞0，=�

解得k＞1，

∴k＝4，

∴反比例函数的解析式为y．

3

=

故答案为：y．�

3

总结提升：本=题�考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、完全

平方式是解答本题的关键．

2．（2022•安徽）如图，OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函

▱

数y的图象经过点C，y（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝3．

1�

=�=�

思路引领：设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．

解：由题知，反比例函数y的图象经过点C，

1

=�

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设C点坐标为（a，），

1

作CH⊥OA于H，过�A点作AG⊥BC于G，

∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，

∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，

∴OH＝CG＝BG＝a，

即B（3a，），

1

∵y（k≠�0）的图象经过点B，

�

=

∴k＝3�a•3，

1

=

故答案为�：3．

总结提升：本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的

性质等知识是解题的关键．

3．（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB

�

的面积为3，则k＝6．=�

思路引领：根据反比例函数系数k的几何意义得出结论即可．

解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，

�

=�

∴OB•AB＝3，

1

2

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即OB•AB＝6，

∴k＝6，

故答案为：6．

总结提升：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质及反比例函

数系数k的性质是解题的关键．

4．（2022•福建）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是﹣3（答案

�

不唯一）．（只需写出一个符合=条�件的实数）

思路引领：根据图象位于第二、四象限，易知k＜0，写一个负数即可．

解：∵该反比例图象位于第二、四象限，

∴k＜0，

∴k取值不唯一，可取﹣3，

故答案为：﹣3（答案不唯一）．

总结提升：本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范围即可．

5．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值

�−2

范围是k＜2．=�

思路引领：根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．

解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限，

�−2

∴k﹣2＜0，=�

解得k＜2，

故答案为：k＜2．

总结提升：本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y的图象位于第二、四象限．

�

类型二反比例函数与一次函数的综合=�

6．（2022•遵义）反比例函数y（k≠0）与一次函数y＝x﹣1交于点A（3，n），则k的值为6．

�

思路引领：由一次函数的解=析�式求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题．

解：∵一次函数y＝x﹣1经过点A（3，n），

∴n＝3﹣1＝2，

∵反比例函数y（k≠0）经过A（3，2），

�

=�

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∴k＝3×2＝6，

故答案为：6．

总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数

法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．

7．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数

y的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为2．

�

=�

思路引领：过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．

解：过点C作CH⊥x轴于点H．

∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，

∴A（﹣1，0），B（0，1），

∴OA＝OB＝1，

∵OB∥CH，

∴1，

𝐴𝐴

==

∴�O�A＝O�H�＝1，

∴CH＝2OB＝2，

∴C（1，2），

∵点C在y的图象上，

�

∴k＝2，=�

故答案为：2．

总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中

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位线定理解决问题．

8．（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y的图象在第一

2

=�

象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是＜m＜2．

2

3

思路引领：过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B

坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．

解：过点P作PA∥x轴，交双曲线于点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线于点B，如图，

∵P（2，3），反比例函数y，

2

=�

∴A（，3），B（2，1）．

2

∵一次3函数y的值随x值的增大而增大，

∴点Q（m，n）在A，B之间，

∴＜m＜2．

2

故答3案为：＜m＜2．

2

总结提升：3本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，

一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．

9．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正

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比例函数yx的图象上，则这个反比例函数的表达式为y．

12

==−

思路引领：根2据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入yx求得�m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比

1

例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．=2

解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），

∴点A'（2，m），

∵点A'在正比例函数yx的图象上，

1

=

∴m1，2

1

∴A（=﹣2×2，21=），

∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，

∴反比例函数的表达式为y，

2

=−

故答案为：y．�

2

总结提升：本题=考−查�了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得A的坐标

是解题的关键

10．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2的图象交于

�

=

点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．�

思路引领：利用待定系数法求得点B坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．

解：∵反比例函数y2的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），

�

=

∴﹣1×n＝（﹣2）×2，�

∴n＝4．

∴B（4，﹣1）．

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由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B右侧的部分满足y1＜y2，

∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．

故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．

总结提升：本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比

例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解

答是解题的关键．

11．（2022•巴中）将双曲线y向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝ki（x

1

=

﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，�2，3，…，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为

4044．

思路引领：直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）可由直线＝（＞，＝，

ykix21ki0i123⋅⋅⋅1011ykixki0i1

，，，）向右平移个单位，再向下平移个单位得到，这与双曲线的平移方式相同，

23⋅⋅⋅101121

1

从而可知新双曲线与直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）�的=交�点也可以由双曲

ykix21ki0i123⋅⋅⋅1011

线与直线＝（＞，＝，，，，）的交点以同样的方式平移得到，从而得知新

ykixki0i123⋅⋅⋅1011

1

双曲�=线�与直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）的交点横坐标之和是，再用乘

ykix21ki0i123⋅⋅⋅101144

以1011得解．

解：直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）可由直线＝（＞，＝，，，

ykix21ki0i123⋅⋅⋅1011ykixki0i123

，）向右平移个单位，再向下平移个单位得到，

⋅⋅⋅101121

∴直线＝（＞，＝，，，，）到直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，

ykixki0i123⋅⋅⋅1011ykix21ki0i123⋅⋅

，）的平移方式与双曲线双曲线的相同，

⋅1011

1

�=

∴新双曲线与直线＝（﹣）﹣（�＞，＝，，，，）的交点也可以由双曲线

ykix21ki0i123⋅⋅⋅1011

1

与直线＝（＞，＝，，，，）的交点以同样的方式平移得到，�=�

ykixki0i123⋅⋅⋅1011

设双曲线与直线＝（＞，＝，，，，）的交点的横坐标为，，（＝，，

ykixki0i123⋅⋅⋅1011xix'ii12

1

，�，=�），

3⋅⋅⋅1011

则新双曲线与直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）的交点的横坐标为，

ykix21ki0i123⋅⋅⋅1011xi+2x'i+2

（＝，，，，），

i123⋅⋅⋅1011

根据双曲线与直线＝（＞，＝，，，，）图像都关于原点对称，可知双曲线

ykixki0i123⋅⋅⋅1011

11

与直线＝�（=�＞，＝，，，，）的交点也关于原点对称，�=�

ykixki0i123⋅⋅⋅1011

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∴＝，（＝，，，，），

xi+x'i0i123⋅⋅⋅1011

∴（）（）＝（＝，，，，），

xi+2+x'i+24i123⋅⋅⋅1011

即新双曲线与直线＝（﹣）﹣（＞，＝，，，，）的交点的横坐标之和都是，

ykix21ki0i123⋅⋅⋅10114

∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011＝4044．

故答案是：4044．

总结提升：本题考查正比例函数与反比例函数的图象交点问题和平移，掌握正比例函数与反比例函数的

图象和平移规则是解题的关键．

类型三用待定系数法求反比例函数解析式

12．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为y．

6

思路引领：利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的=解�析式即可．

解：令反比例函数为y（k≠0），

�

∵反比例函数的图象经=过�点（2，3），

∴3，

�

k＝6=，2

∴反比例函数的解析式为y．

6

=

故答案为：y．�

6

总结提升：考=查�反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．

13．（2022•黄石）如图，反比例函数y的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴

�

上，△OCE的面积为6，则k＝8=．�

思路引领：先设点A（a，），C（c，0），进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c

�

＝3a，最后由△OCE的面积�为6，建立方程求出k的值．

解：如图，过点E作EH⊥BC于H，

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设点A（a，），C（c，0），

�

∵点E是矩形�ABCD的对角线的交点，

∴E（，），

�+��

∵点E在2反比2�例函数y的图象上，

�

=�

∴k，

�+��

⋅=

∴c＝23a，2�

∵△OCE的面积为6，

∴OC•EHc•3a•6，

11�1�

==×=

∴2k＝8，22�22�

故答案为：8．

总结提升：此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c＝3a是解本题的关

键．

14．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y（x＞0）的

�

=�

图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．

12

5

思路引领：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM，根据平行线分

��

=

线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出�k的值．�

解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，

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设C（m，），

�

则OM＝m，�CM，

�

∵OE∥CM，AE=＝�CE，

∴1，

𝐴𝐴

==

∴�AO�＝m�，�

∵DN∥CM，CD＝2BD，

∴，

��𝐵��1

===

∴D��N𝑂，��3

�

=3�

∴D的纵坐标为，

�

∴，3�

��

=

∴3x＝�3m，�

即ON＝3m，

∴MN＝2m，

∴BN＝m，

∴AB＝5m，

∵S△ABC＝6，

∴5m•6，

�1

⋅=

∴k�．2

12

=

故答案5为：．

12

总结提升：本5题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函

数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．

类型四反比例函数中的k的几何意义

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15．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反

�

=

比例函数的解析式为y．�

−4

=�

思路引领：利用待定系数法解答即可．

解：∵点P（x，y）在双曲线y的图象上，PA⊥x轴，

�

∴xy＝k，OA＝﹣x，PA＝y．=�

∵S△AOP＝2，

∴AO•PA＝2．

1

×

∴2﹣x•y＝4．

∴xy＝﹣4，

∴k＝xy＝﹣4．

∴该反比例函数的解析式为y．

−4

=

故答案为：y．�

−4

总结提升：本=题�主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

16．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y（k＞0）上，且AD⊥x轴，

�

=�

CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE，则k＝3．

3

=2

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思路引领：连接DF、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODF＝S

△EBC，S△ADE＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可F

解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，

∴S△OAD＝S△ABE，

3

∴k＝3，=2

故答案为：3．

总结提升：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握

三角形的面积公式是解题的关键．

17．（2022•丹东）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函

数y（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，

3�

则k＝=�﹣4．=�

思路引领：连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3＝7，进而即可求得k的值．

解：连接OB，

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∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB∥OC，

∴AB⊥x轴，

∴S△AOD|k|，S△BOD，

113

=2=2×3=2

∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD|k|，

13

=+

∴S平行四边形OABC＝2S△AOB＝2|k|+32，

∵平行四边形OABC的面积是7，

∴|k|＝4，

∵在第四象限，

∴k＝﹣4，

故答案为：﹣4．

总结提升：本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意

一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键．

1

18．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．在Rt△OAB中，2∠OAB＝90°，边OA在y

轴上，点D是边OB上一点，且OD：DB＝1：2，反比例函数y（x＞0）的图象经过点D交AB于点

�

=

C，连接OC．若S△OBC＝4，则k的值为1．�

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思路引领：设D（m，），由OD：DB＝1：2，得出B（3m，），根据三角形的面积公式以及反比例

�3�

函数系数k的几何意义�得到k＝4，解得k＝1．�

13�1

×3�⋅−

解：∵反比例函数y（x＞20）的图象�经过2点D，∠OAB＝90°，

�

=�

∴设D（m，），

�

∵OD：DB＝�1：2，

∴B（3m，），

3�

∴AB＝3m，�OA，

3�

=

∴反比例函数y�（x＞0）的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，

�

=�

∴S△AOCk，

1

=

∵S△OBC＝42，

∴S△AOB﹣S△AOC＝4，即k＝4，

13�1

×3�⋅−

解得k＝1，2�2

故答案为：1．

总结提升：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面

积，掌握反比例函数的性质、正确表示出B的坐标是解题的关键．

19．（2022•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD

＝AD，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，若S△OAB＝1，则k的值为2．

�

=�

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思路引领：过A点作x轴的垂线与x轴交于C，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC＝S△OAB＝1，由此即

可求得答案．

解：设A（a，b），如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，

则：AC＝b，OC＝a，AC∥OB，

∴∠ACD＝∠BOD＝90°，∠ADC＝∠BDO，

∵BD＝AD，

∴△ADC≌△BDO（AAS），

∴S△ADC＝S△BDO，

∴S△OAC＝S△AOD+S△ADC＝S△AOD+S△BDO＝S△AOB＝1，

∴OC×ACab＝1，

11

×=

∴2ab＝2，2

∵A（a，b）在y上，

�

∴k＝ab＝2．=�

故答案为：2．

总结提升：本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．

20．（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y

�

=�

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（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为．

3

思路引领：连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E4，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则

BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE

22

＝S梯形ADEB，即可得出|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m，由于k＝6m，即可求得k．

113

==

解：如图，连接OA，作2AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，84

∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y（k≠0）图象上的三点．

�

∴k＝6m2＝6mn，=�

∴n＝m，

∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），

∴B、C关于原点对称，

∴BO＝CO，

∵S△ABC＝2，

∴S△AOB＝1，

∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，

∴|6m+2m|•|3m﹣m|＝1，

1

∴m22，

1

=

∵k＝68，

1

×

∴k，8

3

=

故答案4为：．

3

4

总结提升：本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得△AOB

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的面积为1是解题的关键．

21．（2022•济宁）如图，A是双曲线y（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，

8

垂足为D，交双曲线于点B，则△A=BD�的面积是4．

思路引领：根据三角形的中线把三角形分成相等的两部分，得到S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，即可得

到S△ABD＝S△OBD，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．

解：∵点C是OA的中点，

∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，

∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，

∴S△ABD＝S△OBD，

∵点B在双曲线y（x＞0）上，BD⊥y轴，

8

=�

∴S△OBD4，

1

=×8=

∴S△ABD＝42，

故答案为：4．

总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，证得S△ABD＝S△OBD是解题的关键．

类型五反比例函数与几何、代数的综合

22．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶

点A在y轴上，双曲线y（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2，则k＝．

�3

=�2−2

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思路引领：如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE，得点A和C

的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．=2

解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，

∴CE＝BE，

∴AEBC，

1

∴A（=0，2=），2C（，2），

∵D是AC的2中点，−22

∴D（，），

232

−

∴k22．

2323

=−×=−

故答案为2：2．2

3

总结提升：本题−考2查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反

比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键

23．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D

都在函数y（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的

62

=�

面积为9时，的值为，点F的坐标为（，0）．

��133

2

��22

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思路引领：连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD

6262

的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的�面积，从而得�出a，b的等式，将其分解因式，从而

得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一

步可求得结果．

解：如图，

方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，

设点B（b，），D（a，），

6262

由对称性可得�：△BOD≌△B�OA≌△OBC，

∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，

∴OI＝BI，

∴DI＝CI，

∴，

𝐷𝐷

=

∵∠��CID�＝�∠BIO，

∴△CDI∽△BOI，

∴∠CDI＝∠BOI，

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∴CD∥OB，

∴S△BOD＝S△AOBS矩形AOCB，

192

=2=2

∵S△BOE＝S△DOG3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，

1

=2|�|=2

∴S梯形BEGD＝S△BOD，

92

=2

∴•（a﹣b），

1626292

(2+2)=

∴2a﹣�3ab﹣2�b＝0，2

∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，

∴a＝2b，a（舍去），

�

=−2

∴D（2b，），

62

即：（2b，2�），

32

在Rt△BOD�中，由勾股定理得，

OD2+BD2＝OB2，

∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（）2]＝b2+（）2，

32623262

−

∴b，����

∴B=（3，2），D（2，），

∵直线O3B的解6析式为：y3＝26x，

∴直线DF的解析式为：y＝22x﹣3，

当y＝0时，230，26

2�−6=

∴x，

33

=2

∴F（，0），

33

∵OE2，OF，

33

=3=

∴EF＝OF﹣OE2，

3

=

∴，2

��1

=

��2

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方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，

由上知：DF∥OB，

∴S△BOF＝S△BOD，

93

=2

∵S△BOE|k|＝3，

1

=2

∴2，

���△���2

==

设�E�F＝a�，△�F�G�＝b，3则OE＝2a，

∴BE，OG＝3a+b，DG，

6262

∵△B=OE2∽�△DFG，=3�+�

∴，

����

=

∴��𝐹，

2�3�+�

=

∴a�＝b，a2�（舍去），

�

=−4

∴D（4a，），

62

∵B（2a，4�），

62

∴2�，

��𝐹1

==

∴�G�H＝E�G�＝2a2，

∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，

∴△ODG∽△DHG，

∴，

𝐹��

=

��𝐹

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∴62，

4�2�

=62

4�

4�

∴a，

3

=

∴3a2，

33

=2

∴F（，0）

33

故答案为2：，（，0）．

133

总结提升：本2题考2查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及

其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．

24．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，

tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y，则图

1

=

象经过点D的反比例函数的解析式是y．�

3

=−�

思路引领：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO3，

𝐴

可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得=结�论�．=

解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．

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∵tan∠ABO3，

𝐴

∴可以假设=OB�＝�a=，OA＝3a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，

∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，

∴∠ABO＝∠BCT，

∴△AOB≌△BTC（AAS）