专题01 二次函数的图像与性质（解析版）

第一讲二次函数的图像与性质

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一y=ax2（a≠0）图像与性质..............................................................................................................3

考点二y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像与性质................................................................................................5

考点三y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质...............................................................................................13

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必备知识点

1.yax2(a0)的图像

函数yx2yx2yx2与y5x2

大致

图像

开口

向上向下向上

方向

对称轴x0（y轴）x0（y轴）x0（y轴）

当x＜0时，y随x的增大而减小当x＜0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而减小

增减性

当x＞0时，y随x的增大而增大当x＞0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大

顶点（0，0）（0，0）（0，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【总结】：①a＞0，开口方向向上，有最小值；a＜0，开口方向向下，有最大值

②|a|越大，开口越小，函数值变化越快

2.ya(xh)2(a0)的图像

函数y2x2与y2(x2)2y2x2与y2(x2)2y-2x2与y-2(x2)2

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大致

图像

开口

向上向上向下

方向

对称轴x2x-2x-2

当x＜2时，y随x的增大而减小当x＜-2时，y随x的增大而减小当x＜-2时，y随x的增大而减大

增减性

当x＞2时，y随x的增大而增大当x＞-2时，y随x的增大而增大当x＞-2时，y随x的增大而增小

顶点（2，0）（-2，0）（-2，0）

最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0

【总结】：①函数的对称轴为x=h

②仍满足函数的平移规则：左加右减

3.ya(xh)2k(a0)的图像

函数yx2与y（x-1）22yx2与y（x1）2-4y-x2与y（-x1）24

大致

图像

开口

向上向上向上

方向

对称轴x1x-1x-1

顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

【总结】：①函数的对称轴为x=h，最大值为k，顶点为（h，k）

第2页共17页.

②仍满足函数的平移规则：左加右减，上加下减

4.yax2bxc(a0)的图像

函数yx2-2x3yx22x-3y-x2-2x3

大致

图像

开口

向上向上向下

方向

对称轴x1x-1x-1

与y轴

（0，3）（0，-3）（0，3）

交点

顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）

最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4

将yx2-2x3转化为ya(xh)2k的形式为：y(x1)22，那么将

yax2bxc(a0)转化为ya(xh)2k（a0）的形式为：

222

b24acbb4acb

ya(x)（a0）即yax（--）（a0）

2a4a2a4a

【总结】：①a决定抛物线开口方向及大小

②c决定抛物线与y轴交点

b

③抛物线的对称轴：x-

2a

b4acb2

④抛物线的顶点(-，)

2a4a

考点一y=ax2（a≠0）图像与性质

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1．关于函数y＝3x2的性质表述，正确的一项是（）

A．无论x为何实数，y的值总为正

B．当x值增大时，y的值也增大

C．它的图象关于y轴对称

D．它的图象在第一、三象限内

【解答】解：∵y＝3x2，

∴函数图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，

∴函数图象在第一、二象限内，当x＞0时，y随x的增大而增大，

故C正确，A、B、D错误．

故选：C．

2．抛物线y＝﹣2x2不具有的性质是（）

A．对称轴是y轴

B．开口向下

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．顶点是抛物线的最低点

【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2，

∴该函数的对称轴是直线x＝0，也就是y轴，故选项A不符合题意，

a＝﹣2，该函数图象开口向下，故选项B不符合题意，

当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意，

顶点式抛物线的最高点，故选项D符合题意，

故选：D．

3．抛物线y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性质是（）

A．开口向下

B．顶点是坐标原点

C．都有最低点

D．当x＞0时，y随x的增大而增大

【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大

而减小，右侧y随着x的增大而增大；

抛物线y＝﹣2x2，开口向下，对称轴y轴，有最高点，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，右

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侧y随着x的增大而减小；

抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，右侧

y随着x的增大而增大．

故选：B．

11

4．如图为yx2图像，那么y-x2可能是如下（）图

25

A．B．C．D．

11

【解答】解：开口方向向下，且|-|＜，所以开口越大，

52

故选：C．

考点二y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像与性质

1．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）

A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）

【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，

∴抛物线顶点坐标为（1，3），

故选：B．

2．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（）

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A．点AB．点BC．点CD．点D

【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），

∴坐标原点可能是点A，

故选：A．

3．关于二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（）

A．对称轴是直线x＝1

B．当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7

C．顶点坐标为（﹣1，7）

D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大

【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣7，

∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误，不符合题意；

顶点坐标为（﹣1，﹣7），故选项C错误，不符合题意；

∵开口向上，

∴当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7，故选项B正确，符合题意；

当x＜﹣1时，y的值随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；

故选：B．

4．顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（）

A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1

C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1

【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．

故选：D．

5．对于任何实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（）

A．顶点相同B．对称轴相同

C．形状与开口方向相同D．都有最低点

【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2是由抛物线y＝﹣（x﹣h）2向右平移h个单位得到，

第6页共17页.

∴抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的开口方向及形状相同，

故选：C．

6．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，

∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），

当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；

当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；

当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；

故选：B．

7．一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，则二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：∵一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，

∴h＞0，k＜0，

∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），

∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在第四象限，

故选：D．

8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．

9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）

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A．B．

C．D．

【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，

故选：D．

10．已知函数y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，a＜0，

∴图象开口向下，A、B选项错误；

∵对称轴x＝h＞0，顶点坐标（h，k），k＜0，

∴C选项错误，D选项正确．

故选：D．

11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经过第几象限（）

A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四

【解答】解：由函数图象可知，

y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，

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∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，

∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，

故选：D．

12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数）在坐标平面上的图象通过（0，5）、（15，8）

两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何值？（）

A．5B．6C．7D．8

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，

而（0，5）、（15，8）两点在抛物线上，

∴h﹣0＞15﹣h，解得h＞7.5．

故选：D．

13．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A、∵直线y＝ax+h经过第一、二、四象限，

∴a＜0，h＞0，

∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向下，对称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），

∴该选项图象符合题意；

B、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，

∴a＞0，h＞0，

∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），

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∴该选项图象符合题意；

C、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，

∴a＞0，h＞0，

∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），

∴该选项图象不符合题意；

D、∵直线y＝ax+h经过第一、三、四象限，

∴a＞0，h＜0，

∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的左侧，顶点为（h，0），

∴该选项图象符合题意；

故选：C．

14．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；

∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，

∴﹣k＞0，

∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；

故选：A．

15．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与二次函数y＝nx2+m的大致图象可以是（）

A．B．

第10页共17页.

C．D．

【解答】解：A、由直线过一、二、三象限可知，m＞0，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，

则m＜0，矛盾，故此选项错误；

B、由直线过二、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错

误；

C、由直线过一、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错

误；

D、由直线过一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，图象与y轴

交于正半轴，则m＜0，一致，故此选项正确；

故选：D．

16．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）象限．

A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四

【解答】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，

故选：C．

17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）经过图中A（2，2）和B（9，9）两点，

则下列判断正确的是（）

第11页共17页.

A．若h＝3，则a＜0B．若h＝6，则a＞0

C．若h＝4，则k＜2D．若h＝5，则k＞9

【解答】解：由四个选项中h的取值可知，A、B在抛物线的对称轴的两侧，

当a＞0时，

∵抛物线的对称轴为直线x＝h，

而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，

∴h﹣2＜9﹣h，解得h＜5.5，k＜2，

当a＜0时，

∵抛物线的对称轴为直线x＝h，

而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，

∴h﹣2＞9﹣h，解得h＞5.5，k＞9，

故选：C．

18．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）

A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0

C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0

【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，

∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，

整理得：a（9﹣2h）＝1，

若h＝4，则a＝1，故A错误；

若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；

若h＝6，则a＝﹣，故C正确；

若h＝7，则a＝﹣，故D错误；

故选：C．

第12页共17页.

考点三y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质

1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）

A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6

【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，

故选：D．

2．二次函数y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（）

A．（2，11），x＝2B．（2，3），x＝2

C．（﹣2，11），x＝﹣2D．（﹣2，3），x＝2

【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，

∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，11）．

故选：A．

3．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5

【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，

∴﹣＝2，

解得m＝﹣4，

∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，

∴x2﹣4x﹣5＝0，

∴（x﹣5）（x+1）＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣1，

故选：D．

4．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，

则m的值为（）

A．±B．﹣或C．﹣或D．或2

【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，

第13页共17页.

∴对称轴为x＝＝＝2，

①当m＞0时，

∵二次函数开口向上，

∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，

将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，

解得：m＝，

②当m＜0时，

∵二次函数开口向下，

∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，

将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，

解得：m＝﹣，

综上，m的值为或﹣，

故选：B．

5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（）

A．﹣1B．0C．1D．2

【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，

∴二次函数图像的对称轴为x＝1，

∵﹣1＜0，开口向下，

∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大，

∵当a≤x≤0时，即在对称轴左侧，y取得最小值为﹣2，

∴当x＝a时，y＝﹣2，

∴﹣a2+2a+1＝﹣2，

解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），

故a的值为﹣1．

故选：A．

6．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）

第14页共17页.

A．B．C．D．

【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，

故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．

故选：C．

7．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故

本选项不符合