专题17 解答题压轴题新定义题型（解析版）

专题17解答题压轴题新定义题型（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一函数中的新定义问题

1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶

方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．

1112

=

（1）在①（﹣2，3）3；②（﹣1，﹣1）；③（21，1）三点中，是反比例函数y�图象的“1阶方点”

11

的有②③（填−序2号）；=�

（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值

范围．

思路引领：（1）根据定义进行判断即可；

（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2

阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；

（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．

解：（1）①（﹣2，）到两坐标轴的距离分别是2，，

11

−

∵2＞1，＜1，22

1

∴（﹣2，2）不是反比例函数y图象的“1阶方点”；

11

②（﹣1，−﹣21）到两坐标轴的距离=分�别是1，1，

∵≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；

1

③（1，1）到两坐标轴的距离分=别�是1，1

∵1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；

1

故答案为：②③；=�

（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，

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∴函数经过点（3，1），

如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2

阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：a的值为3或﹣1；

（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，

如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），

当抛物线经过点B时，n＝1；

当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n；

1

=4

∴n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；

1

≤

综上4所述：当n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．

1

≤

4

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总结提升：本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数

的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．

2．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称

22

为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax+2ax+c组成一个开口向上的“月

牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交

点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN

与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG

是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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思路引领：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；

12

+

（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x3，0），3分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2，

2

可得F（2，0）或（2，0）；②当EG＝FG时，2，F点不存2在=．(�+2)+1

2

解：（1）将7A−（﹣3，0）、−H（70−，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，2=9+�

∴，

9�−6�+�=0

解得�=−1，

1

�=3

∴y�x=2−1x﹣1，

12

在y=＝3x2++2x3﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2t﹣1），N（t，0），

12

+

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t﹣1﹣3（t32+2t﹣3）t2t+2，

1224

=3+3=−3−3

∴；

2

𝑀−(�+2�−3)3

=22=

��−3(�+2�−3)2

（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，

∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，

∴E（﹣2，﹣1），

设F（x，0），

①当EG＝EF时，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝2，

∴22，

2

解得2x=(�2+或2)x+12，

∴F（=72−，0）或=（−7−2，0）；

②当EG7＝−FG时，2−7−，

2

此时x无实数根；2=9+�

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综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）．

总结提升：本题考查二次函7数−的图象及性−质，7熟−练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分

类讨论是解题的关键．

3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1和k2两个

��

值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．=�=�

（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；

（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；

②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；

（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，

且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．

3

思路引领：（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；

（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；

②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；

（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．

解：（1）由题意知，k3，

6

即点P（6，2）的“倾=斜2系=数”k的值为3；

（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，

∴2或2，

��

==

即�a＝2b或�b＝2a，

∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；

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②由①知，a＝2b或b＝2a

∵a+b＝3，

∴或，

�=1�=2

∴O�P=2�=1；

22

=1+2=5

（3）由题意知，满足条件的P点在直线yx和直线yx之间，

3

①当P点与D点重合时，且k时，P=点在3直线y=x上3，a有最小临界值，

如图：此时a＜b，=3=3

连接OD，延长DA交x轴于E，

此时，

�

=3

则�，

�+2

=3

解得�a，

此时B=点的3坐+标1为（，），

3+33+1

且k

3+3

==3

∴a＞3+11；

3+

②当P点与B点重合时，且k时，P点在直线yx上，a有最小临界值，

3

如图：此时a＞b，=3=3

连接OB，延长CB交x轴于F，

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此时，

�

=3

则�，

�

=3

解得�−2a＝3，

此时D（+3，），

3+13+3

且k，

3+3

==3

∴a＞3+13；

综上所述3+，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞3．

总结提升：本题主要考查一次函数的图象3和性质，熟3+练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的

定义是解题的关键．

4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物

222

线”．例如：抛物线y＝2x+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax+ax+4a﹣

3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．

（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．

①当MN＝6a时，求点P的坐标；

②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

思路引领：（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出

C2的顶点坐标；

（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列

出方程，可求出点P的坐标；

②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2

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的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．

2

解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax+4ax+4a﹣3，

∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，

∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；

（2）①设点P的横坐标为m，

∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，

∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），

∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，

∵MN＝6a，

∴|3am2﹣3am|＝6a，

解得m＝﹣1或m＝2，

∴P（﹣1，0）或（2，0）．

2

②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）﹣3，

∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，

当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，

当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，

根据题意可知，需要分三种情况讨论，

Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，

且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，

∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）；

当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数−的最2小值为+﹣3，2

∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）；

Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥=2，2=−2

函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；

∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，

解得a（舍）；

3

Ⅲ、当=a﹣24≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；

综上，a的值为2或．

总结提升：本题属−于二2次函2数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由

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“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．

5．（2022•赤峰）阅读下列材料

定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．

例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．

完成下列任务

（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；

②min|，﹣4|＝﹣4．

−14

（2）如图，已知反比例函数y1和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，

��

2=

﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x，求�这两个函数的解析式．�

思路引领：（1）根据定义运算的法则解答即可；

（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．

解：（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，

②min|，﹣4|＝﹣4；

故答案为−：114，﹣4．

（2）当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，

�

∵一次函数y2＝﹣2x+b，�

∴b＝﹣3，

∴y2＝﹣2x﹣3，

当x＝﹣2时，y＝1，

∴A（﹣2，1）

将A点代入y1中，得k＝﹣2，

�

=�

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∴y1．

2

总结=提−升�：本题主要考查了新定义运算和反比例函数图像的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例

函数的性质是解答本题的关键．

6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc

≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．

（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；

（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．

①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任

意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组

合函数”；

（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）

�=�−�−2

＝（p﹣1）（�m=+n−），�+根3据�点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而

m+n＞1，可得p＜1；

②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p

﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p

﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可

得m时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．

3

=

解：（14）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：

∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，

∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），

∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；

（2）①由得，

�=�−�−2�=2�+1

∴P（2p+1，�p=﹣−1）�，+3��=�−1

∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），

∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），

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∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，

∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，

∵m+n＞1，

∴1﹣m﹣n＜0，

∴p﹣1＜0，

∴p＜1；

②存在m时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，

3

0），理由如=下4：

由①知，P（2p+1，p﹣1），

∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，

∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，

∵p≠1，

∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，

∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，

令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，

变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，

∴当3﹣4m＝0，即m时，x0，

313

=−=

∴x＝3，422

∴m时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．

3

总结=提4升：本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程

的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．

类型二几何图形中的新定义问题

7．（2022•青岛）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC

和△A'B'C'是等高三角形．

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【性质探究】

如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，

则S△ABCBC•AD，S△A'B'C′B′C′•A′D′，

11

∵AD＝A=′2D′=2

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性质应用】

（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝3：4；

（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S

△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；

11

（3）如图③，在△ABC2中，D，E分别6是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S

△ABC＝a，则S△CDE＝．

�

𝑚

思路引领：（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案．

解：（1）∵BD＝3，DC＝4，

∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，

故答案为：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，

∵S△ABC＝1，

∴S△BEC；

1

∵CD：B=C2＝1：3，

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∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，

∴S△CDES△BEC；

1111

==×=

故答案为：3，；326

11

26

（3）∵BE：AB＝1：m，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，

∵S△ABC＝a，

∴S△BECS△ABC；

1�

∵CD：B=C�＝1：n，=�

∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，

∴S△CDES△BEC•，

11��

===

故答案为：�．��𝑚

�

总结提升：�此�题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关

键．

8．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向

下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NTOM；

1

=2

（2）O的半径为1，M是O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为O外一点，

1

⊙⊙⊙

点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在O上运动时，直接写出PQ2长的最大值与最小值的差（用

含t的式子表示）．⊙

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思路引领：（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；

②连接PP'，利用三角形中位线定理得NTPP'，从而证明结论；

1

=

（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长2SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，

P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则

PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．

解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），

∴P'（﹣1，1），

如图，点Q即为所求；

②连接PP'，

∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，

∴PP'∥ON，

∵P'N＝QN，

∴PT＝QT，

∴NTPP'，

1

∵PP'=＝2OM，

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∴NTOM；

1

（2）=如2图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，

由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，

∴TQ＝2MN，

∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，

∴TQ＝2﹣2t，

∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，

∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，

∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，

∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．

总结提升：本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边

关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是

解题的关键．

模块二2023中考押题预测

9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数

自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一

个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1

的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为

�=

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，也可以写成y＝|x|+1．

＜

�+1(�≥0)

−�+1(�0)

（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．

（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线

x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．

思路引领：（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；

（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；

（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式，再分x＝﹣1以及顶点在y＝﹣2上的情况和

x＝3时，列出不等式求解即可．

解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，

（2）如图，

对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），

当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；

此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，

当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，

整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，

此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，

解得，m，

7

=4

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综上，m的值为4或；

7

（3）函数y＝x2﹣2n4x+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为y＝x2+2nx+2（n＞0），

当x＝﹣1时，y＜0，

∴1﹣2n+2＜0，

解得，＞；

3

�2

当y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，，

2

8−4�

=−2

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

此时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不

合题意，

∴＜＜，

3

�2

当2x＝3时，y＜﹣2，

∴9﹣6n+2＜﹣2，

解得，＞；

13

�6

综上，n的取值范围为＜＜或＞．

313

�2�

26

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总结提升：本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点

的对称，借助图象解题是关键．

10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与

22

1112

a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1�+a=2＝�0�，b+1＝�b�2，+c�1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转�函=数�”�．例+

2222

�如�：+求�函数y＝2x﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2

＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．

请思考并解决下面问题：

（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原

点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋

转函数”．

思路引领：（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；

（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；

（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义

进行判定．

解：（1）根据题意得，

1+�=0

�=−4

3+�=0

解得，

�=−1

�=−4

故解析�式=−为3：y＝﹣x2﹣4x﹣3．

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（2）根据题意得，

�−1=−�

∴，�−3=0

�=−2

∴（�m=+3n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．

（3）根据题意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），

∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），

又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

2

且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x+4x+6，

∵，

�1+�2=2+(−2)=0

�1=�2=4

∴两�1个+函�2数=互−为6“+旋6=转0函数”．

总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正

确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．

11．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个

函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．

（1）在函数①y＝﹣x+5，②，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是③（填序

6

号）．�=�

（2）设函数＜与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当

4

△ABC为等腰�=三角�(形�时0，)求k的值；

（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余

部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．

思路引领：（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；

（2）先得出y的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B

4

坐标，将B点坐=−标�代入y＝kx+3求得k的值；

（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠

后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．

解：（1）∵y＝﹣x+5，

∴y+x＝5，

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∴①不是“好点”的函数，

∵y，x＞0，

3

∴xy=＝�3＞0

∴x+y≠0，

∴②不是“好点”的函数，

∵，

2

�=�+2�+1

∴x�2++3x�+1=＝00，

∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，

∴方程组有解，

∴③是“好点”的函数，

故答案为：③；

（2）∵，x＜0，

4

�=−�

�+�=0

∴，

�=−2

∴A�（=﹣22，2），

如图，

当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，

当AB＝AC时，

∵y＝﹣x，

∴B（x，﹣x），

∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，

∴x12，x22，

当x=2−2时，=y−2−2，

=2−=−2+

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∴（2）k+32，

2−=−2+

∴k，

32−4

当x=22时，y2，

∴（=−2−2）k+3=2+2，

−2−=2+

∴k，

32−4

当A=B−＝BC2时，点B（﹣1，1），

∴﹣k﹣1＝1，

∴k＝﹣2，

综上所述：k或k＝﹣2；

32−4

（3）设翻折=后±的抛2物线解析式为y＝﹣2x2﹣4x+k，

∵y＝2x2+4x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，3），

当y＝﹣2x2﹣4x+k上有一个“好点”时，

把y＝﹣x代入得，

﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，

化简整理得，

x2xk＝0，

31

+−

∵Δ222k＝0，

9

=+

∴k4，

9

=−

∴y＝﹣82x2﹣4x，

9

−8

由2得，

�=2�+4�

29

�=−2�−4�−8

2y，

9

=−

∴y8，

9

=−

∴m16．

1

当（=0−，80）在y＝﹣2x2﹣4x+k上时，

此时﹣x2﹣2x＝﹣x，

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x＝0或x＝﹣1，

这时也有三个“好点”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），

∴m或0．

1

总结=提−升8：本题考查了结合一次函数，反比例函数及二次函数知识，考查了对“好点”的理解，等腰三

角形知识，坐标系中线段的长，两个图像的交点与方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是根据题

意，转化为学过的知识．

12．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y

轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做

原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且

它的“新生函数“的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．

＜

�+1(�≥0)

=

（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l−的�“+新1(生�函0数)“的图象．

（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生

函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．

思路引领：（1）根据定义画出函数图象即可；

（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣

2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或

7

=

m时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣4x+m有三个公共点；

7

=

（3）4画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n，此时有3个交点；当y＝x2﹣

3

=2

2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2

3

2

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（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n，此

13

=

时有5个交点，根据临界情况可得n＞时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形6ABCD

13

的边有4个交点．6

解：（1）如图：

（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），

当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3

个公共点；

当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，

解得m，

7

此时函=数4y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；

∴m或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；

7

（3）=如4图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，

解得n，

3

=2

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当n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；

3

=2

当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，2，

2

8−4�

=−

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；

∴＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形