专题05 二次函数-线段最大值问题（解析版）

第五讲二次函数--线段最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一单个线段的最大值.............................................................................................................................1

考点二线段之和的最大值.............................................................................................................................6

考点三线段之差的最大值...........................................................................................................................24

考点四线段之比的最大值...........................................................................................................................27

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必备知识点

考点一单个线段的最大值

1．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在

y轴上，点B的纵坐标为﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为

对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；

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【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+交于C点，点C在y轴上，

∴C（0，），

将点A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+；

（2）设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），

∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，

∴当t＝2时，DE的长度最大为2，

此时D（2，），

∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的解析式为直线x＝1，

∵C（0，），

∴C点、D点关于直线x＝1对称，

连接AC交对称轴于点P，

∴PD＝PC，

∴PD+PA＝PC+PA≥AC，

∴当C、P、A三点共线时，PA+PD的值最小，

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∴AC＝，

∴PA+PD的最小值为；

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值

及此时点D的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，

2）．

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

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设直线AC的解析式为y＝kx+t，

则，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x+2．

设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，

∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2

∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，

∵DE⊥AC，DH⊥AB，

∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，

∵∠DGE＝∠AGH，

∴∠EDG＝∠CAO，

∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，

∴，

∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，

∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．

2

此时yD＝﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）+2＝2，

即点D的坐标为（﹣2，2）；

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2

3．如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左

侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此

时点P的坐标；

【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，

∴C（0，3），OC＝3，

∵tan∠CAO＝2，

∴，

∴AO＝，

∴，

∵B（4，0），

∴设，

将C（0，3）代入得：，

∴，即，

（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，如图：

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∵PE∥x轴，PF∥y轴，

∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，

∴△CBO∼△FEP，

∴，

∴，

∴，

设，

由B（4，0）、C（0，3）得直线BC解析式为：，

∴，

∵PF＝yP﹣yF，

∴，

∴＝﹣（m﹣2）2+，

∴，此时；

考点二线段之和的最大值

4．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与

y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，

求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；

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【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，3），

∴OC＝3，

∵tan∠CBO＝＝，

∴OB＝6，

∴点B的坐标为（6，0），

由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

将点C（0，3）代入解析式为a×（0+2）×（0﹣6）＝3，

∴a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．

（2）过点P作PF∥x轴交BC于点F，

∵PE∥BC，

∴四边形PEBF为平行四边形，

∴PF＝BE，

∴PD+BE＝PD+PF，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点D的坐标为（m，﹣m+3），

∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，

∵PF∥x轴，

∴点F和点P的纵坐标相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，

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∴x＝m2﹣2m，

∴点F的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+m+3），

∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，

∴当m＝3时，PD+BE的最大值为，

此时，点P的坐标为（3，）；

5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A、C两点的坐标；

（2）连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC

交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）在中，

令x＝0，．

∴C，

令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，

∵xA＜xB，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）∵PE⊥x轴，y⊥x轴，

∴PE∥y轴，

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∴∠PED＝∠ACO，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴△PED∽△ACO，

∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，

在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，

∴，

∴，

∴，，

∴，

当PE最大时，PD+DE最大，

设直线AC的解析式为：y＝kx+b，

∵A（﹣3，0），，

∴，

∴直线．

设，﹣3＜m＜0，

∴，

∴，

∵，﹣3＜m＜0，

∴时，，

∴，

∴．

6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，交y轴于点C

（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

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（2）如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线

交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）由题意可设二次函数的交点式为y＝a（x+4）（x﹣1），

将点C（0，3）代入函数解析式，得﹣4a＝3，

∴a＝﹣，

∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+3；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x+3，

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+3），则点D的坐标为（﹣3﹣x，﹣x2﹣x+3），点H的坐

标为（x，x+3），

∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣5x﹣3＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，PD+PH有最大值，

此时，点P的坐标为（﹣，）；

7．已知，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣8.0）、B（2，0）（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E、G是直线AC上方抛物线上的点，点E位于抛物线对称轴的左侧，设点G的

横坐标为g，则点E的横坐标比点G的横坐标g小2．过E作EF∥x轴，交抛物线于点F，过G

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作GH∥x轴，交直线AC于点H，当EF+2GH的值最大时，求EF+2GH的最大值及此时点E的

坐标；

【解答】解：（1）把A（﹣8.0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；

（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，

∴C（0，4），

由A（﹣8，0），C（0，4）得直线AC解析式为y＝x+4，

∵点G的横坐标为g，

∴G（g，﹣g2﹣g+4），

在y＝x+4中，令y＝﹣g2﹣g+4得x＝﹣g2﹣3g，

∴H（﹣g2﹣3g，﹣g2﹣g+4），

∴GH＝﹣g2﹣3g﹣g＝﹣g2﹣4g，

∵点E的横坐标比点G的横坐标g小2，

∴xE＝g﹣2，

∵抛物线y＝﹣x2﹣x+4对称轴为直线x＝﹣3，

∴EF＝2[﹣3﹣（g﹣2）]＝﹣2﹣2g，

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∴EF+2GH＝﹣2﹣2g+2（﹣g2﹣4g）＝﹣g2﹣10g﹣2＝﹣（g+5）2+23，

∵﹣1＜0，

∴当g＝﹣5时，EF+2GH最大值为23，

此时xE＝g﹣2＝﹣5﹣2＝﹣7，

在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝﹣7得y＝，

∴E（﹣7，）；

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+

与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，

垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（，0）两点，

∴，解得．

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．

（2）如图，过点P作PE∥x轴交CD于点E，

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∴∠DEP＝45°，

∴△PGE是等腰直角三角形，

∴PE＝PG，

设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），

∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴PG+PQ＝PE+PQ

＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）

＝﹣2（t﹣1）2+，

∵﹣2＜0，

∴当点P（1，﹣3）时，PG+PQ的最大值为．

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于

点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交直线BC于

点D；是否存在点M，使得MD+DC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

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【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，

∴﹣＝﹣，

∴b＝3a，

∴y＝ax2+3ax+c，

将A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，

∴，

∴，

∴y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）存在点M，使得MD+DC取得最大值，理由如下；

令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，

∴x＝﹣4或x＝1，

∴B（﹣4，0），

∵OB＝OC＝4，

∴∠CBO＝45°，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x+4，

设M（m，﹣m2﹣3m+4），则D（m，m+4），

∵MN⊥x轴，

∴MD＝﹣m2﹣4m，

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如图1，过点D作DG⊥y轴交于点G，

∵∠DCG＝45°，

∴CD2＝2DG2，

∴DG＝CD，

∵DG＝﹣m，

∴MD+DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，

∴当m＝﹣时，MD+DC有最大值，

此时M（﹣，）；

10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交

于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于

点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；

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【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，

，解得：b＝﹣a+3，

∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣＝﹣1，即b＝2a，

∴﹣a+3＝2a，

∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，

∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．

（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，

解得：x＝1或x＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，

∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴△CHN是等腰直角三角形，

∴CN＝CH，

∴PN+CN＝PN+2CH，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，

设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

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∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，

∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，

∴PN+CN的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，﹣）．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B

两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，过点D作

DE∥AC交x轴于点E．求的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵，令x＝0，y＝4；令y＝0，得x＝2，

∴B（2，0），C（0，4），

将A（，0），B（2，0），C（0，4）代入解析式y＝ax2+bx+c，

得，解得，

第17页共31页.

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．

（2）如图，延长PD交x轴于点F，

设P（t，﹣t2+t+4），D（t，﹣t+4），

∴PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，

DF＝﹣t+4，

在Rt△AOC中，OA＝，OC＝4，

∴AC＝3，

∴sin∠CAO＝＝＝，

∵PD∥y轴，DE∥AC，

∴∠DEF＝∠CAO，

∴sin∠DEF＝sin∠CAO＝，

∴DE＝DF，

∴DE＝DF，

∴PD+＝（﹣t2+2t）+（﹣t+4）

＝﹣t2+t+6

＝﹣（t﹣）2+，

∴P（，）．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），与y

轴交于点C．

第18页共31页.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P

为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作PE∥y轴交BD于点E，过点P作PF⊥直线OD

于点F．当PE+PF为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴该抛物线的解析式为y＝x2x+4；

（2）在y＝x2x+4中，令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4），

∵抛物线y＝x2x+4的对称轴为直线x＝﹣1，且点D与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（﹣2，4），

设直线BD的解析式为y＝k（x﹣4），把D（﹣2，4）代入得，k（﹣2﹣4）＝4，

解得：k＝﹣，

∴直线BD的解析式为y＝x+，

同理，直线OD的解析式为y＝﹣2x，

设P（m，m2m+4），

∵PE∥y轴，

第19页共31页.

∴E（m，m+），

∴PE＝m2m+4﹣（m+）＝m2+m+，

如图1，过点D作DW⊥x轴于点W，延长PE交直线DO于点H，

∵PH∥DG，

∴∠PHF＝∠ODW，

∵D（﹣2，4），

∴OW＝2，DW＝4，

在Rt△ODW中，OD＝＝＝2，

∵sin∠ODW＝＝＝，

∴sin∠PHF＝sin∠ODW＝，

∴＝，

∴PF＝PH，

∵H（m，﹣2m），

∴PH＝m2m+4﹣（﹣2m）＝m2+m+4，

∴PF＝（m2+m+4），

∴PE+PF＝m2+m++×（m2+m+4）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）

2+，

∵点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，

∴﹣2＜m＜4，

∵﹣＜0，

∴当m＝时，PE+PF的值最大，最大值为，

此时，点P的坐标为（，）；

第20页共31页.

13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与

y轴交于点C，连接AC

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，

过点P作PN∥AC交x轴于点N，求PN+PM的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x+4；

（2）设P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），

如图，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGN＝90°，PG＝t2+t+4，

∵抛物线y＝x2+x+4与y轴交于点C，

∴C（0，4），

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∴OC＝4，

∵OA＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵PN∥AC，

∴∠PNG＝∠CAO，

∵∠PGN＝∠COA＝90°，

∴△PNG∽△CAO，

∴＝＝＝，

∴PG＝PN，

设直线BC的解析式为y＝kx+d，

则，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，

∵PM∥x轴，

∴点M的纵坐标为t2+t+4，

∴﹣x+4＝t2+t+4，

解得：x＝t2﹣t，

∴M（t2﹣t，t2+t+4），

∴PM＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+2t，

∴PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣1＜0，0＜t＜4，

∴当t＝时，PN+PM有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）；

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14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y

轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，

求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，

得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过

点B作BK⊥EH的延长线于K，

第23页共31页.

则可得四边形HKBJ为矩形，

由（1）可得C（0，3），

则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，

∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，

∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，

∴，，

∴，，

∴PH＝，，

∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，

∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，

∴当P在抛物线顶点时，有+最大值，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

求得抛物线的顶点坐标为（1，4），

∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，

∴当+最大时，P点坐标为（1，4），

∴＝2•（+）＝8，此时点P的坐标为（1，4）．

考点三线段之差的最大值

15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与

y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求

第24页共31页.

BE的最大值及点P的坐标．

【解答】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，

∴AO＝＝2，A（﹣2，0），B（6，0），

∴，解得，

∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6．

（2）如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K．

设直线BC的函数表达式为y＝kx+6，则6k+6＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+6；

设直线AC的函数表达式为y＝px+6，则﹣2p+6＝0，解得p＝3，

∴y＝3x+6．

设P（m，m2+2m+6），由PD∥AC，设直线PD的函数表达式为y＝3x+n，

则m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，

∴y＝3xm2﹣m+6．

由，得，

∴E（，）．

∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，

第25页共31页.

∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，

∴PE＝EI，

∴PE＝10EI＝10（m﹣﹣）＝m﹣m2，

∵BE＝BK，

∴BE＝2BK＝2（6﹣﹣）＝12﹣﹣，

∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2+8m﹣12＝﹣（m﹣4）2+4，

∴当m＝4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）．

16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为y＝x﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段BC上有一动点D，过点D作DE⊥BC交抛物线于点E，过点E作y轴的平行线交

BC于点F．求EF﹣DE的最大值，以及此时点E的坐标；

【解答】解：（1）对y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3，

∴B（3，0），C（0，3），

第26页共31页.

∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，﹣3）代入得，﹣3a＝﹣3，

∴a＝1，

∴二次函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵点B（3，0），点C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，

∵EF∥y，

∴∠EFD＝∠OCB＝45°，

∵ED⊥BC，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DE＝EF，

∴EF﹣＝EF﹣×EF＝EF，

∴当EF取最大时，EF﹣DE取得最大值，

设点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点F的坐标为（x，x﹣3），

∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）+，

∴x＝时，EF的最大值为，

∴EF﹣DE的最大值为×＝，点E的坐标为（，﹣）；

考点四线段之比的最大值

17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线