专题11 填空题重点出题方向规律探究与猜想归纳思想（解析版）

专题11填空题重点出题方向规律探究与猜想归纳思想（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一实数计算中的规律性问题

1．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，按此规律排列，则第30个数是．

1471088

⋯⋯

思路引领：由所给的数，发现规律为第n个数是2510，当17n＝30时即可求解．901

3�−2

2

解：∵，，，，�+1

14710

⋯⋯

∴第n个2数5是101，7

3�−2

2

当n＝30时，�+1，

3�−23×30−288

2=2=

故答案为：�．+130+1901

88

总结提升：9本0题1考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．

2．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是744．

思路引领：由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第

三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几

�(�+1)

个数是几．2

解：由图可知，

第一行有1个数，

第二行有2个数，

第三行有3个数，

•••••••

第n行有n个数．

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∴前n行共有个数．

�(�+1)

∴前27行共有3728个数，

∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．

∵这些数都是正偶数，

∴第372个数为372×2＝744．

故答案为：744．

总结提升：本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，

再结合其他已知条件求解．

类型二数式规律中的猜想归纳思想

3．（2022•达州）人们把0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应

5−1

≈

用了黄金比．设a2，b，记S1，S2，…，S100，

5−15+11122100100

===+=2+2=100+100

则S1+S2+…+S100＝52050．21+�1+�1+�1+�1+�1+�

思路引领：利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝2，S100＝100，…，利用规律求解即可．

解：∵a，b，

5−15+1

==

∴ab212，

5−15+1

=2×2=

∵S11，

112+�+�

=1+�+1+�=1+�+�+��=

S22，

22

222(1+�+1+�)

=2+2=2222=

…，1+�1+�1+�+�+��

S100100，

100100

100100100(1+�+1+�)

=100+100=100100100100=

∴S1+S12++�…+S1001＝+1�+2+…+11+0�0＝5+0�50，+��

故答案为：5050．

总结提升：本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．

类型三图案规律中的猜想归纳思想

4．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是49．

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思路引领：从数字找规律，进行计算即可解答．

解：由题意得：

第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，

第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，

第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，

..．

∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，

故答案为：49．

总结提升：本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．

5．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连

接方式，50节链条总长度为91cm．

思路引领：先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计

算即可解答．

解：由题意得：

1节链条的长度＝2.8cm，

2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，

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3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，

..．

∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），

故答案为：91．

总结提升：本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．

类型四点的坐标中的规律探究与猜想归纳思想

6．（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针

旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，

再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点

D2022的坐标是（﹣2023，2022）．

思路引领：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过

点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，可得D1（1，2），D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），

D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），

D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），由2022＝505×4+2，推出

D2022（﹣2023，2022）．

解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4

作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，

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∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），

∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，

∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），=2

∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，

∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD，

∴AE＝AD1•cos∠D1AEcos45°＝1，D1E=＝A2D1•sin∠D1AEsin45°＝1，

∴OE＝OA+AE＝1+1＝2=，B2D1＝AB+BD12，=2

∴D1（1，2），=2+2=2

∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，

∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝2，

∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝2sin45°＝2，BF＝BD2c2os∠D2BF＝2cos45°＝2，

∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，22

∴D2（﹣3，2），

再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时

针旋转90°得点D5……

同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，

观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3

（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），

∵2022＝4×505+2，

∴D2022（﹣2023，2022）；

故答案为：（﹣2023，2022）．

总结提升：本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会

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探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．

7．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），

B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，

0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（﹣1011，）．

2023

2

思路引领：根据题意得点n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可

求得该题结果．∁

解：由题意可得，点n的位置按4次一周期的规律循环出现，

∵2022÷4＝505……2∁，

∴点C2022在第二象限，

∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，），

3

点C6的坐标为（﹣3，），2

7

点C10的坐标为（﹣5，2），

11

……2

∴点n的坐标为（，），

��+1

∁−

∴当n＝2022时，221011，，

�2022�+12022+12023

−2=−2=−==

∴点C2022的坐标为（﹣1011，），222

2023

故答案为：（﹣1011，）．2

2023

总结提升：此题考查了点2的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．

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模块二2023中考押题预测

8．（2022•涟源市校级模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是

11

=−

，−1的差倒数是．已知．a2是a1的差倒1−数�，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒1−数2，…，

111

1=�1=

以此类推，则a20212−＝(−1﹣)22．3

思路引领：通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则a2022＝a3＝﹣2．

解：∵，

1

�1=

∴a23，a32，a4，……，

13111

=1==3=−==

∴每31次−运3算2结果循环1−出2现一次，1+23

∵2022÷3＝674，

∴a2022＝a3＝﹣2，

故答案为：﹣2．

总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．

9．（2022•渭源县模拟）观察下列一组数：，，，，…，根据这组数的排列规律，可推出第9个

1157

−−

数是．32912

17

思路引领2：7通过观察所给的数可得第n个数是（﹣1）n+1•，将n＝9代入求值即可．

2�−1

解：∵，，，，…，3�

1157

−−

∴，3，2，9，1…2，

1357

−−

∴3，69，12，，…，

1357

−−

∴第1×3n个数2是×3（﹣3×1）3n+1•4×3，

2�−1

∴第9个数是，3�

17

故答案为：2．7

17

总结提升：本27题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子与分母的规律是解题的关键．

﹣

10．（2022•运城二模）一组按规律排列的式子a2，a5，a8，a11，…，则第n个式子是a3n1．

思路引领：通过观察发现，所给式子中每个单项式的指数的规律为3n﹣1，由此求解即可．

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解：∵a2，a5，a8，a11，…，

﹣

∴第n个式子为a3n1，

﹣

故答案为：a3n1．

总结提升：本题考查数字是变化规律，通过观察，找到式子的指数的规律是解题的关键．

11．（2022•丹江口市模拟）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分

精彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他

把写的杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字：1，10，45，120，210，让

同桌小聪说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是252．

思路引领：通过观察，找到所给数所在行的数之间的关系，可得第6个数是252．

10×9×8×7×6

=

解：∵45，120，210，5×4×3×2

10×910×9×810×9×8×7

=2=3×2=4×3×2

∴252，

10×9×8×7×6

=

故答5案×为4×；3×2252．

总结提升：本题考查数字的变化规律，能够通过所给的杨辉三角形，找到各行数字之间的关系是解题的

关键．

12．（2022•烟台模拟）如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是

313．

思路引领：通过观察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．

解：由题可知，25＝a+b，b＝a+1，

∴a＝12，b＝13，

∵x＝25a+b，

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∴x＝25×12+13＝313，

故答案为：313．

总结提升：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的图中的数，找个各数之间的联系是解题的关键．

13．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）

；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3

�8

＝=2（），，＝（）．以此规律，得到一列数、、，，=2，=则这个数之和

fx2⋯xnfxn﹣1x1x2x3⋯x20222022x1+x2+x3+

等于．

⋯+x2021+x20224725

思路引领：通过计算发现从开始每次的运算结果循环一次，由此可知、，，循环次，

x23x2x3⋯x2019673

并且x2021＝4，x2022＝2，再计算即可．

解：∵x1＝8，

∴x2＝f（x1）＝f（8）＝4，

x3＝f（x2）＝f（4）＝2，

x4＝f（x3）＝f（2）＝1，

x5＝f（x4）＝f（1）＝4，

⋯

∴从x2开始每3次的运算结果循环一次，

∵（2022﹣1）÷3＝673…2，

∴、，，循环次，＝，＝，

x2x3⋯x2019673x20214x20222

∵x2+x3+x4＝7，

∴＝×＝，

x1+x2+x3+⋯+x2021+x20228+6737+4+24725

故答案为：4725．

总结提升：本题考查数字的变化规律，根据所给的运算规律，找到结果的循环规律是解题的关键．

14．（2022•龙口市一模）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，

返回进行第二次运算，输出的是﹣4，…，则第2022次输出的结果是﹣3．

思路引领：分别求出第1次到第9次的运算结果，从而发现规律：从第二次的结果开始，每6次运算结

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果循环一次，即可求解．

解：当x＝2时，

第一次的输出结果为2＝1，

1

×

第二次的输出结果为21﹣5＝﹣4，

第三次的输出结果为（﹣4）＝﹣2，

1

×

第四次的输出结果为2（﹣2）＝﹣1，

1

×

第五次的输出结果为﹣21﹣5＝﹣6，

第六次的输出结果为（﹣6）＝﹣3，

1

×

第七次的输出结果为﹣23﹣5＝﹣8，

第八次的输出结果为（﹣8）＝﹣4，

1

×

……2

∴从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次，

∵（2022﹣1）÷6＝336…5，

∴第2022次的结果与第7次的结果一样，

∴第2022次输出的结果是﹣3，

故答案为：﹣3．

总结提升：本题考查数字的变化规律，由所给的运算流程图，通过计算，探索输出结果的循环规律是解

题的关键．

15．（2022•湖口县二模）有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意

大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，

每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是34．

思路引领：直接根据每项等于其前相邻两项的和计算即可．

解：∵该数列从第三项开始，每项等于前两项的和，

∴第九项等于第七项与第八项的和，

即第九项的数值＝13+21＝34．

故答案为：34．

总结提升：本题考查了新定义，正确理解新定义是解答本题的关键．

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16．（2022•楚雄州一模）下面是按一定规律排列的代数式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，﹣9a10，…则第13个

代数式是﹣25a26．

思路引领：通过观察排列的单项式可以看出，其系数都是连续的奇数，且第奇数个代数式是负数；字母

指数都是连续的偶数，根据此规律可以得出第13个代数式．

解：通过排列的单项式可以看出，其系数与它的序号之间的关系是（﹣1）n（2n﹣1）；

而字母指数与序号之间的关系为2n，

所以第n个代数式可表示为（﹣1）n（2n﹣1）a2n，

所以第13个代数式是﹣25a26．

故答案为：﹣25a26．

总结提升：本题考查了根据单项式排列的规律，求未知单项式，解题的关键是找出变化规律，然后把这

种变化规律用代数式的序号表示出来．

17．（2022•兴庆区校级一模）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过

点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；

过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6……

1010

按此规律进行下去，则点A2021的坐标为（3，0）．

﹣

思路引领：由题意得点An到原点的距离是（）n1，且其位置按x轴的正半轴、y轴的正半轴、x轴的

负半轴、y轴的正半轴的规律循环出现，即可求3得此题的规律．

解：由题意得，点A2到原点的距离是，

∴其坐标为（0，）；3

2

点A3到原点的距离3是（）＝3，

∴其坐标为（﹣3，0）；3

3

点A4到原点的距离是（）＝3，

∴其坐标为（0，﹣3）；33

4

点A5到原点的距离是（3）＝9，

3

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∴其坐标为（9，0）；

5

点A6到原点的距离是（）＝9，

∴其坐标为（0，9）；33

……3

n﹣1

∴点An到原点的距离是（），且其位置按x轴的正半轴、y轴的正半轴、x轴的负半轴、y轴的正

半轴上4次一循环的规律出现3，

∴当n＝2021时，

﹣

（）20211＝31010，2021÷4＝505…1，

1010

∴点3A2021的坐标为（3，0），

故答案为：（31010，0）．

总结提升：此题考查了点的坐标规律问题的解决能力，关键是能准确观察、猜想、归纳并运用相应规律．

18．（2022•桑植县模拟）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜边在

x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，

﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（2，1010）．

思路引领：根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，

纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定

出第2020个点的坐标即可．

解：∵各三角形都是等腰直角三角形，

∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，

∵2020÷4＝505，

∴点A2020在第一象限，横坐标是2，纵坐标是2020÷2＝1010，

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∴A2020的坐标为（2，1010）．

故答案为：（2，1010）．

总结提升：本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2020是偶数，求出点的脚码是偶数时的变化规律是

解题的关键．

19．（2022•成县校级模拟）按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是（﹣1）

3�8�15�24�

−3−57

n•．����

�(�+2)�

2�−1

思路�引领：观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可．

解：3b，8b，15b，24b…，分子可表示为：n（n+2）b．

﹣

1，3，5，7，…分母可表示为a2n1，

则第n个式子为：（﹣1）n•．

�(�+2)�

2�−1

故答案是：（﹣1）n•�．

�(�+2)�

2�−1

总结提升：本题考查了�单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律．

20．（2022•凉州区校级一模）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a4+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个

﹣

式子是an+（﹣1）n+1•2b2n1．

思路引领：根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇

数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．

﹣

解：观察代数式，得到第n个式子是：an+（﹣1）n+1•2b2n1．

﹣

故答案为：an+（﹣1）n+1•2b2n1．

总结提升：本题考查了探索规律，根据所排列的代数式，总结出规律是解题的关键．

21．（2022•云冈区二模）将一组数按如下规律排列：

则第10行的第3个数是：48．

思路引领：先观察发现题中各数据之间的关系，即每个数字为连续正整数的特征，且每行数字的个数等

于行数，即可确定答案．

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解：由图可得，第一行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，前9行的数字有：

1+2+3+4+…+9＝45个数，

∴第9行最后一个数是45，

∴第10行第3个数是：45+3＝48，

故答案为：48．

总结提升：本题考查了数字的排列规律，观察发现数字间的排列规律是解答本题的关键．

22．（2022•武威模拟）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，……通

过观察，用你所发现的规律确定22022的个位数字是4．

思路引领：根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．

解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，

可知，2n的个位数字以“2，4，8，6…”重复出现，

∵2022÷4＝505……2，

所以22022的个位数字是4；

故答案为：4．

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，根据已知确定数字的周期规律是解题的关键．

23．（2022•乐业县二模）观察一列数：0，，，3，，，，…，按此规律，这列数的第22

个数是3（结果需化简）．36231532

思路引领：观7察所给数字的规律，找到一般表达式进而求解即可．

解：观察这列数，

得到，第n个数，

∴这列数的第22=个数3�是−33，

故答案为：3．3×22−3=63=7

总结提升：本题7考查了数式规律中的猜想归纳，解题关键在于写出一般形式．

24．（2022•武功县模拟）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出如图所示的表，此表揭

示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：

（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；

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（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五项，系数分别为1，4，6，4，1；

根据以上规律，计算（a+b）5展开式各项系数的和等于32．

思路引领：根据数字的变化得出系数和与次数的关系即可．

解：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1，系数和为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五项，系数分别为1，4，6，4，1，系数和为16；

∴（a+b）5展开式各项系数的和为32，

故答案为：32．

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出系数和与次数的关系是解题的关键．

25．（2022•来凤县模拟）将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左

到右第m个数，如（4，2）表示奇数15，则表示奇数2021的有序实数对是为（45，25）．

思路引领：观察所给数，求出前n排共有个数，进而确定2021是这列数的第1011个数，从而确

�(�+1)

定其在第45排，再由第45排的数从右向左增2大，则可确定2021在45排，从左到右第25个数．

解：根据数的排列可知，第一排1个数，第二排2个数，第三排3个数，……，

前n排共有个数，

�(�+1)

∵2021是这列数2的第1011个数，前44排有990个数，前45排有1035个数，

∴2021在第45排，

∴前44排共有990个数，

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再通过观察，奇数排的数，从右向左增大，偶数排的数，从左向右增大，

∴第45排的数从右向左增大，

∵1011﹣990＝21，

∴2021在45排，从左到右第25个数，

故奇数2021的有序实数对是为（45，25）．

故答案为：（45，25）．

总结提升：本题考查数字的变化规律；能够通过所给数的排列特点，逐步确定2021的位置是解题的关键．

26．（2022•肃州区模拟）按一定规律排列的多项式：﹣x+2y，x2+4y，﹣x3+6y，x4+8y，﹣x5+10y，…，根据

上述规律，则第n个多项式是（﹣x）n+2ny．．

思路引领：从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．

解：按一定规律排列的多项式：﹣x+2y＝（﹣x）1+1×2y，

x2+4y＝（﹣x）2+2×2y，

﹣x3+6y＝（﹣x）3+3×2y，

x4+8y＝（﹣x）4+4×2y，

﹣x5+10y＝（﹣x）5+5×2y，

…，

则第n个多项式是（﹣x）n+2ny，

故答案为：（﹣x）n+2ny．

总结提升：此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中

的规律．

27．（2022•宁远县模拟）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第64行第6列．

思路引领：根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可

以得到2022在图中的位置．

解：由图可知，

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第一行1个数字，

第二行2个数字，

第三行3个数字，

…，

则第n行n个数字，

前n行一共有个数字，

�(�+1)

∵＜2022＜2，20222022﹣2016＝6，

63×6464×6563×64

−=

∴20222是表中第64行2第6列，2

故答案为：64，6．

总结提升：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前n行的数字个数．

28．（2022•乌海一模）一组按规律排列的式子，，，，则第n个式子是（n为正

24682�

�����

⋯2

整数）．251017�+1

思路引领：根据式子中分子分母的变化得出第n个式子为即可．

2�

�

2

解：由题知，第1个式子为，�+1

2

�

2

第2个式子为，1+1

2×2

�

2

第3个式子为2+1，

2×3

�

2

•••，3+1

第n个式子为，

2�

�

2

故答案为：�+．1

2�

�

2

总结提升：�本+题1主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第n个式子是解题的关键．

29．（2022•十堰模拟）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记

作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作（45，4）．

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思路引领：观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，第44行第一个数是

1936，则可求得2022位置．

解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，

∴第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，

∵2025﹣2022＝3，

∴2022在第45行第4个数，记作（45，4）．

故答案为：（45，4）．

总结提升：本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．

30．（2022•禄劝县一模）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，按此规律，则第8个等式

为15＝82﹣72．

思路引领：根据所给的等式的形式，不难得出第n个等式为：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，从而可求解．

解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，

∴第n个等式为：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，

∴第8个等式为：2×8﹣1＝82﹣72，

即15＝82﹣72，

故答案为：15＝82﹣72．

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．

31．（2022•灞桥区校级四模）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左边数第6个数是

22．

思路引领：根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第5行从左边数第6个数，本题

得以解决．

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解：由图可得，

第一行有1个数，

第二行有3个数，

第三行有5个数，

…，

则第5行有9个数，

前4行一共有：1+3+5+7＝16个数字，

则第5行从左边数第6个数的绝对值是16+6＝22，

∵图中的奇数都是负数，偶数都是正数，

∴第5行从左边数第6个数是22，

故答案为：22．

总结提升：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数

字．

32．（2022•诏安县校级模拟）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末

9162536

公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第6个数5据是12213．2

64

思路引领：由题意得第n个光谱数据可表示为，可求得此题结果．60

2

(�+2)

2

解：，，，(�+2)−，4…，

2222

93164255366

=2=2=2=2

∴第5n个光3−谱4数据12可表4示−为4215，−4326−4

2

(�+2)

2

∴第6个数据是(�+2)−4，

22

(6+2)86464

2=2==

故答案为：．(6+2)−48−464−460

64

总结提升：6此0题考查了数字规律问题的解决能力，关键是能通过观察、猜想、验证归纳出此题规律．

33．（2022•迎泽区校级模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小

正方形涂有阴影，依此规律，第2022个图案中有8089个涂有阴影的小正方形．

思路引领：根据图形的变化发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1，进而求得第2022

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个图案中涂有阴影的小正方形个数．

解：观察图形的变化可知：

第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5＝4×1+1；

第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9＝4×2+1；

第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13＝4×3+1；

…

发现规律：

第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1；

∴第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数为：

4n+1＝4×2022+1＝8089．

故答案为：8089．

总结提升：本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，

运用规律．

34．（2022•黄冈模拟）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f（a）＝3a+1：若a为偶数，则f（a），

�

=2

例如f（15）＝3×15+1＝46，f（10）5，若a1＝8，a2＝f（a1），a3＝f（a2），a4＝f（a3），…，依

10

==

此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，2a4，…，an，…，（n为正整数），a1+a2+a3+…+a2022＝4725．

思路引领：按照规定：若a为奇数，则f（a）＝3a+1；若a为偶数，则f（a），直接运算得出a2、

�

=

a3、a4、a5、a6…，进一步找出规律解决问题．2

解：a1＝8，a24，a32，a41，a5＝1×3+1＝4，a62，…，

8424

========

这一列数按照除a21外，按照24、2、1三2个数一循环，2

∵（2022﹣1）÷3＝673……2，

∴a1+a2+a3+…+a2022＝8+（4+2+1）×673+4+2＝8+4711+4+2＝4725．

故答案为：4725．

总结提升：此题考查数列的规律，通过运算得出规律：这一列数按照除a1外，按照4、2、1三个数一循

环是解题的关键．

35．（2022•庆云县模拟）德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分

母为正整数的分数），又称为莱布尼茨三角形，根据前5行的规律，写出第6行的第三个数：．

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