专题30代数中的新定义问题（原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题30代数中的新定义问题

【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m

整除，则称N是m的“和倍数”．

例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．

又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．

（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；

（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中

任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出

�(�)+�(�)

满足条件的所有数．

A16

【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…tn），其中，

t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．

例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）

不是任何完美数组．定义以下两个新运算：

新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，

新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），MN（x1*y1+x2*y2+…

1

⊗=

+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有MN（0+0+22）＝1．

1

（）在（，，），（，，），（，，，），（，，）中是元完美数组的有：；

100020111111103⊗=2

（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则AB＝；

（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0）求出所有⊗4元完美数组N，使得MN＝2；

（4）现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两⊗个完美数组C，D满足CD＝0；

则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．⊗

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【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）（其中a，b是非零常

22

��+��

=

数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）�+�，T（m，﹣2）．

222

�×3+�×19�+���+4�

（）填空：（，﹣）＝（用含，的代数式表示）；

1T41ab=3+1=3+1=�−2

（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；

②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．

【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，

1），（，），（，），……都是和谐点．

11

（）判断函数−＝2−的2图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

122y2x+1

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．

55

求，的值；

①ac22

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．

1

+4

【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶

方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．

1112

=

（1）在①（﹣2，3）3；②（﹣1，﹣1）；③（21，1）三点中，是反比例函数y�图象的“1阶方点”的有

11

（填序号）；

−2=�

（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

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一．解答题（共20题）

1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；

材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上

的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为

m'，，例如：m＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，

�−�′+1818

�(�)=999．�(8424)=

8424−4248+1818

（）判断，是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算（）的值；

199913146=5366Fm

（2）若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值．

�

�=��𝑏

�(�)

2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数

字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：

m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；

m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；

（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．

（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8

时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上

的数字之差的绝对值为R（m），令G（m），当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”

�(�)

m．=�(�)

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3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．

材料二：一个四位数N满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以

及十位数字与个位数字组=成��的𝑏两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p，q��，

则记F（N）＝q﹣p．𝑏=��−𝑏=𝑏−��

（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；

（2）若s，t都是“双巧数”，其中s＝3010+100x+10y+z，t＝1100m+400+10n+2r，（1≤x，z，n≤9，1≤y≤8，

1≤m≤5，1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定K（s，t），当F（s）+F（t）＝12时，求

�(�)

K（s，t）的最大值．=�(�)

4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位

数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m＝7431，满足1+3＝4，2

×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和

谐数”．

（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；

（2）若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m．

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5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），

由这种运算得到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正

整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．

（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝，L（，）＝；

31

−

（2）已知L（5，），L（2，）＝8．22

1502

若（﹣，）=为正格线性数，求满足＜（﹣，）＜的正格数对有哪些？

①Lm1m3+23566Lm1m+299

②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，

请说明理由．

6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常

数．如：当a＝1，b＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．

（1）当a，b满足时，计算E（x）；

12

（2）已知(�−2)+|�+6|=，0请求出的值；

3216�

�(2−3�)=�−2�−

（3）若当a＝3，b＝22时，关于x的3不等式组�恰好有5个整数解，求k的取值

＜

�(�)−2�(6�+3)≤2�

范围．4�(2+�)−�(2�−1)228

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7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a＜b时T（a，b）＝a+b；

当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；

根据以上材料，回答下列问题：

（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝；

（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．

8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：

方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．

（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；

（2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；

�

+

（3）若关于x方程2x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6

111

的解．

202220222022

9．（2022春•岳麓区校级期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（2a﹣b）（ax﹣by）（其中x，y

均为非零实数）．例如：T（1，1）＝x﹣y．

，

（1）已知关于x，y的方程组，若a≤﹣1，求2x﹣y的取值范围；

，

�(13)=�+3

（2）在（1）的条件下，已知平�(面2直0角)坐=标8�系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2

个单位，得线段O'A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为15，请直接写出点B的坐标．

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10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸

福”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，

把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，

（1）判断方程3x+5y＝8“幸福”方程（填“是”或“不是”）；

（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，求k的值；

（3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求4p+7q的值．

�=���+(�+1)�=�−1

�=���+2��=�

11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青

一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．

（1）①判断：函数y＝2x+3“青一函数”（填“是”或“不是”）；

②函数的图象上的青一点是；

8

（2）若�抛=物�线上有两个“青一点”，求m的取值范围；

21

（3）若函数�=(�−1)�+��+4�的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最

2��

小值为，求的值．

k�k=�+(�−�+2)�+4−2

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12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述

第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会

主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A

（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，

称这个函数为“高水平函数”．

（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的

值；

（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如

果不是，请说明理由；

2

（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax+bx+c（a、b、c为常数，

且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：

2

w＞x0﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．

11

+3−4

13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：

22

定义：如果二次函数y＝a1x+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常

2

数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x﹣3x+1的“旋转函数”．

2

小组同学是这样思考的，由函数y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2

＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参照小组同学的方法解决下面问题：

（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是；

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的

对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．

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14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，

2

3），（2，6），（1，33），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x﹣4上存在两个“一中点”P1（4，

12），P2（−1，−3）−．3−

（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存

在“一中点”的打“×”．

①y＝2x﹣1；②y＝x2−1；③y＝x2+4．

22

（2）若抛物线y＝−x+（m+3）x−m﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B

122

22

（x2，y2），令t＝x12+x2，求3t的最小9值；

（3）若函数yx2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小

1

值为，求的值．

cc=4

2

15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2如

（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

（1）若方程为x2﹣3x＝0，求出该方程的衍生点M的坐标；

（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条

垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；

（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2

（k+3）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．

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16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象

的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，

﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．

23

（1）函数y＝x﹣8的图象上是否存在“2倍点−”2？如果存在，求出“2倍点”；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的

左侧）．当a＞1时，求：

①c的取值范围；

②直接写出∠EMN的度数．

17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点

（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．

（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为；

②函数y＝x2+2x−2图象上的“立信点”坐标为．

22

（2）若二次函数y＝x+2（k+2）x+k的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和1

11

+=−

且求k的值；�1�2

（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤

b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．

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18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，

令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．

（1）求一次函数y＝2x﹣3的零点；