专题10 二次函数-将军饮马求最小值（平移）（原卷版）

第十讲二次函数--将军饮马求最值（平移）

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一平移.....................................................................................................................................................2

考点二平移+对称...........................................................................................................................................3

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必备知识点

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求

P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q

即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：

过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ

长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

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考点一平移

1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线

的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上

运动．

（1）直接写出A，B，C三点的坐标；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．点M为抛物线的顶点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，点Q为抛物线y＝ax2+bx+c第四象限上的一点，若△ACQ与△ABC的面积相等，求点Q

的坐标；

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上的点，过点P作y轴的平行线，分别与x轴、直线y＝2交于

点K、N，连接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值时，若存在，求出点P的横坐标并直接写

出这个最小值；若不存在，请你说明理由．

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考点二平移+对称

3．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把

△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF的

周长最小，求出E、F两点的坐标．

4．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴

的另一个交点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；

（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周

长的最小值．

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5．如图1，抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求线段AC的长；

（2）如图2，E为抛物线的顶点，F为AC上方的抛物线上一动点，M、N为直线AC上的两动点（M

在N的左侧），且MN＝4，作FP⊥AC于点P，FQ∥y轴交AC于点Q．当△FPQ的面积最大时，连接

EF、EN、FM，求四边形ENMF周长的最小值．

6．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，

点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．

（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值

时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的

最小值；

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7．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与

y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点，连接

CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；

（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小时，线

段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长最小时点N的

横坐标；

8．如图，抛物线y＝x2+x﹣交x轴于点A、B．交y轴于点C．

（1）求直线AC的解析式，

（2）若P为直线AC下方抛物线上一动点，连接AP、CP，以PC为对角线作平行四边形ACDP，当平

行四边形ACDP面积最大时，作点C关于x轴的对称点Q，此时线段MN在直线AQ上滑动（M在N的

左侧），MN＝，连接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四边形ACDP的最大面积；

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9．如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，

﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AD的

最小值；

10．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点

D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F．

（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；

（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，

N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；

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11．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，

点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．

（1）求a、b的值；

（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；

（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的

上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN

的周长最小时点Q、M、N的坐标．

12．如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）已知E（0，），点