专题03 二次函数的实际应用（解析版）

第三讲二次函数的实际应用

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一运用二次函数求最大利润.................................................................................................................1

考点二二次函数与几何图形.......................................................................................................................7

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必备知识点

知识点1二次函数的应用

1.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定

出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此

在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的

最值的讨论．

考点一运用二次函数求最大利润

1．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经

过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数

关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

第1页共21页.

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由所给函数图象可知：，

解得：，

故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；

（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x2+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）2+720，

∵﹣20＜0，

∴当x＜19时，w随x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，

∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．

2．如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面

如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处

点E到地面AB的距离为8米．

（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．

第2页共21页.

（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不

能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运

汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．

【解答】解：（1）建立的平面直角坐标系如右图所示，

由题意可得，点E的坐标为（0，8），点D的坐标为（﹣8，6），

设抛物线的解析式为y＝ax2+8，

∵点D在该函数图象上，

∴6＝a×（﹣8）2+8，

解得a＝﹣，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+8；

（2）这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞，

理由：将x＝3.7+0.3＝4代入y＝﹣x2+8，

得：y＝﹣×42+8＝7.5，

∵7.5＞6.6+0.6，

∴这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞．

3．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月

销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35

元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为w元．

每台售价（元）303132…30+x

月销售量（台）180170160…y

（1）上述表格中，y＝180﹣10x（用含x的代数式表示）；

第3页共21页.

（2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？

（3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）由表格数据可得，y与的函数解析式为：y＝180﹣10x，

故答案为：y＝180﹣10x；

（2）由题意得：1920＝（30﹣20+x）（180﹣10x），

即x2﹣8x+12＝0（0≤x≤5，且x为整数），

解得：x＝2或x＝6，

∵0≤x≤5，

∴x＝2，

∴当x＝2时，y的值为1920；

（3）由题意得：w＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；

∵﹣10＜0，

∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；

∴每件商品的售价为34元．

答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．

4．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产

品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万

元/台）与签约后的月份数x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y＝．

估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．

（1）求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式；

（2）请估计这一年中签约后的第几月实际销售利润W最高，最高为多少万元？

【解答】解：（1）由题意得p＝，

（2）①当1≤x＜4时，

W＝（﹣0.05x+0.4﹣0.1）×（﹣5x+40）

第4页共21页.

＝（x﹣6）（x﹣8）＝x2﹣x+12

∵a＝＞0，﹣＝7＞4，

∴当1≤x＜4时，W随x的增大而减小，

∴当x＝1时取得W的最大值为：

×12﹣×1+12＝8.75（万元）．

②当4≤x≤12时，

W＝（0.2﹣0.1）×（2x+12）＝x+，

∵k＝＞0，

∴当4≤x≤12时，W随x的增大而增大，

∴当x＝12时取得W的最大值为3.6：

×12+＝3.6（万元）．

综上得：全年中1月份的实际销售利润W最高为8.75万元．

5．某大型农贸市场新建了100个固定摊位，经调查分析发现，去年1月至12月，每个固定摊位的

租金y（元）与月份x之间满足关系式如下表，每月租出的固定摊位的个数p（个）与月份x之间

的函数图象如图所示．每个固定摊位租用者支付月租金给市场管理公司，由市场管理公司为每个

摊位支付管理费，管理费m（元）与月份x之间关系满足m＝20x（1≤x≤12，且x为正整数）．

x（x为正整数）1≤x≤67≤x≤12

y/元400﹣40x+820

（1）试求p与x之间的函数关系式；

（2）分别时算3月份和8月份市场管理公司的收益（收益＝租金﹣摊位管理费）；

（3）请你通过计算说明市场管理公司哪个月的收益最大？

【解答】解：（1）当1≤x≤6时，图象过（0，100），（6，40），

第5页共21页.

设函数解析式为y＝kx+b，

则，

解得：，

∴p＝﹣10x+100；

当7≤x≤12时，图象过（12，100），（6，40），

设函数解析式为y＝k1x+b1，

则，

解得：，

∴p＝10x﹣20．

综上所述，p＝；

（2）当x＝3时，市场管理公司的收益为：（400﹣20×3）×（﹣10×3+100）＝23800（元），

当x＝8时，市场管理公司的收益为：（﹣40×8+820﹣20×8）×（10×8﹣20）＝20400（元）；

（3）设市场管理公司某月的收益为W元．

当1≤x≤6时，

W＝（400﹣20x）（﹣10x+100）

＝200x2﹣6000x+40000

＝200（x﹣15）2﹣5000，

∵200＞0，

∴W随x：的增大而减小，I≤x≤6，且x为整数，

∴当x＝1时W最大，W＝200×1﹣6000×1+40000＝34200；

当7≤x≤12时，

W＝（﹣40x+820﹣20x）（10x﹣20）

＝﹣600x2+9400x﹣16400，

∵x＝﹣＝＝7，

∵﹣600＜0，7≤x≤12，且x为整数，

∴当x＝8时W最大，

第6页共21页.

∴W＝﹣600×82+9400×8﹣16400＝20400，

∵34200＞20400，

∴市场管理公司的收益在1月份收益最大．

考点二二次函数与几何图形

6．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的

底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设

EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，

并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，

∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，

FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，

矩形EFGD的面积y＝x（20﹣2x）

＝﹣2x2+20x，

由0＜20﹣2x＜20，

解得0＜x＜10，

∴y关于x的函数关系式是y＝﹣2x2+20x，

定义域是0＜x＜10，

当x＝4时，y＝﹣2×42+20×4＝48，

即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．

7．问题探究

（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四边形ABCD＝72，求△ABC

的面积；

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问题解决

（2）如图2，有一个菱形广场ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，连接AC．现计划对这

个广场进行绿化．在△DMP和△DNP区域种植绿植，且满足点P、M、N分别在AC、AB、CB

上，PM∥AD，PN∥CD，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问△DMP与△

DNP的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，

∵AD＝CD＝10，AC＝12，

∴AE＝EC＝6，

∴DE＝8，

∴S△ACD＝•AC•DE＝×12×8＝48，

∴S△ABC＝S四边形ABCD﹣S△ACD＝72﹣48＝24．

（2）存在，理由如下：

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC＝30°，

∵PM∥AD，PN∥CD，

∴PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，且∠APM＝∠DAC＝30°，

∴S△AMP＝S△DMP，S△CPN＝S△DPN，四边形MBNP是平行四边形，

∵PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，

∴∠APM＝∠DAC＝30°，∠NPC＝∠DCA＝30°，

第8页共21页.

∴△APM和△CPN是等腰三角形，

设AM＝a，米则PM＝BN＝a米，CN＝（60﹣a）米，

22

∴S△AMP＝•a•a＝a，S△CPN＝•（60﹣a）•（60﹣a）＝（60﹣a），

222

∴S△AMP+S△CPN＝a+（60﹣a）＝（a﹣30）+450，

∵＞0，

∴当a＝30时，△AMP与△CNP的面积之和最小为450平方米．

∴当a＝30时，△DMP与△DNP的面积之和最小为450平方米．

8．问题提出：（1）如图①，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一点，过点D作DEꓕAB，

垂足为E，设线段AE的长度为x，Rt△EBD的面积为y，求y与x的函数关系式．

问题解决：（2）某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空

地上给广大来往群众搭建一个既能遮阳又能避雨的遮阳棚．经过勘测发现，在如图②所示的五边

形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根据该路

口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且△FGH的顶点F、G、H分布在边AB、

CD、DE上，点F为AB中点，DH＝DG，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可

能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的△FGH？若存在，求△FGH面积的最大值，若

不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设线段AE的长度为x，则BE＝1﹣x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

在Rt△EBD中，tan60°＝，

∴，

第9页共21页.

∴DE＝（1﹣x），

∴Rt△EBD的面积为y＝BE•DE＝（1﹣x）•（1﹣x）＝x2﹣x+；

（2）存在，理由如下：

如图2，过点B作BI⊥CD，过点F作FJ⊥CD，过点A作AK⊥CD，过点E作EL⊥CD，过点H

作HM⊥CD，过点B作BN⊥AK，

则四边形AKLE是矩形，四边形FJMH是直角梯形，

∵∠C＝∠D＝60°，且DE＝2AE＝8，

在Rt△ELD中，DL＝DE＝4，EL＝LD＝4，

设BC＝a，则AB＝a，

在Rt△BCI中，CI＝BC＝a，BI＝a，

在Rt△ABN中，AN＝AB＝a，

∴a+a＝4，

解得：a＝4，

∴BC＝4，AB＝4，CI＝2，IK＝BN＝6，

∴JD＝11，

设DG＝DH＝b，

∴△DGH是等边三角形，

∴DM＝GM＝b，

∴S梯形FGMH＝（FJ+HM）•JM

＝（b+3）（11﹣b）

＝﹣b2+2b+，

第10页共21页.

2

S△HMG＝GM•HM＝×b×b＝b，

S△FJG＝JG•FJ＝×7×3＝，

22

∴S△FGH＝﹣b+2b+﹣b﹣

＝﹣b2+2b+6

＝﹣（b﹣4）2+10，

∵﹣＜0，

∴当b＝4时，S△FGH有最大值为10．

9．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点E在边AD上，点P从点C出发沿CB运动到

点B停止，点Q从点A出发，沿折线AE→EC运动，它们同时出发，运动速度都是1cm/s，点P

运动到点B时同时停止，设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点E

时，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝4cm，CE＝10cm；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得，

6×（12﹣t）＝24，解得t＝4，

∴AE＝PB＝t＝4cm，DE＝AD﹣AE＝8cm，

∴CE＝＝10（cm），

故答案为：4，10；

（2）分两种情况：

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①如图1，

当0≤t≤4时，过点Q作QF⊥BC于点F，

矩形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，

∴QF＝6，

∵BC＝12，PC＝t，

∴BP＝12﹣t，

∴S＝BP×QF＝（12﹣t）×6＝﹣3t+36；

②如图2，

当4＜t≤12时，过点Q作QM⊥BC于点M，

∴∠QMC＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠D＝90°，

∴∠DEC＝∠QCM，∠D＝∠QMC，

∴△QMC∽△CDE，

∴，

∵CQ＝14﹣t，CD＝6，DE＝8，

∴QM＝（14﹣t），

∴S＝BP×QM＝×（12﹣t）×（14﹣t）＝t2﹣t+．

综上，S＝．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个

单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当

第12页共21页.

点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．

（1）当P，Q两点相遇时，t＝3秒；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，

∴AB＝＝10，

∴5t+3t＝24，解得t＝3．

∴当P，Q两点相遇时，t＝3秒，

故答案为：3；

（2）当0≤t＜2时，当2≤t＜时，

在△ABC中，过点P作PH⊥BC于点H，

∴∠PHB＝∠C＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△PBH，

∴，

∵BP＝5t，AC＝6，AB＝10，

∴PH＝3t，

∵BQ＝3t，

∴S＝3t×3t＝t2；

当2≤t＜时，如图，

第13页共21页.

PC＝16﹣5t，

S＝PQ×PC＝3t×（16﹣5t）＝﹣t2+24t；

当≤t≤3时，如图，

PQ＝24﹣8t，

S＝．

综上，S＝．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣

BC＝2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线

向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变

为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设

运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并

指出自变量t的取值范围．

第14页共21页.

【解答】解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48；

（2）作PH⊥BC，垂足为H，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝＝10．

又∵D为AB的中点，

∴CD＝AB＝5．

当0＜t≤2.5时，由PH∥AC得＝，即＝，

解得PH＝（10﹣2t），

S＝×CQ×PH＝（6﹣2t）×（10﹣2t）＝1.6t2﹣12.8t+24，

当2.5＜t≤3.5时，CQ＝1﹣（t﹣2.5），PD＝5﹣3（t﹣2.5），PH＝（12.5﹣3t），

得S＝1.2t2﹣t+．

12．问题探究

（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，

第15页共21页.

且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；

问题解决

（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边

形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、

Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，

其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此

要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的

长；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，过点P作PM⊥AD于点M，

延长MP交BC的延长线于点N，

∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，

在菱形ABCD中，AB＝4，点P为边CD的中点，

∴DP＝CP＝2，

∵DP+DQ＝5，

∴DQ＝3，

∴AQ＝1，

在Rt△ABE中，BE＝AB•sin60°＝2，

在Rt△CPN中，PN＝CP•sin60°＝，

在Rt△DPM中，PM＝DP•sin60°＝，

∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

第16页共21页.

＝4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×

＝．

（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，

设DP＝x米，则CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，

∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

＝40×60﹣×40（20+x）﹣×60×（40﹣x）﹣x（40﹣x）

＝x2﹣10x+800

＝（x﹣10）2+750．

∴当x＝10时，S△BPQ的最小值为750．

∴按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）存在最小面积，最小面积为750平方米，此时DP

的长为10米．

13．问题提出：

（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，点E在线段BC上，且

BE＝5，连接DE，作EF⊥DE，交AB于点F，求四边形ADEF的面积；

问题解决：

（2）精密仪器厂要生产一种特殊的四边形ABCD金属部件，如图②所示，部件要求是：BC＝4cm，

点D到BC的距离为5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生产这种金属部件的材料每平方厘米

造价60元，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，请你帮忙求出一个这种四

边形金属部件的最低造价．

【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于H，

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∴四边形ADHB是矩形，

∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝11，

∵BE＝5，

∴HE＝6，

∵∠B＝∠DEF＝90°，

∴∠BFE＝90°﹣∠BEF＝∠DEH，

又∵∠B＝∠DHE＝90°，

∴△BFE∽△HED，

∴＝，即＝，

∴BF＝，

∴S四边形ADEF＝S四边形ADHB﹣S△BFE﹣S△DHE

＝8×11﹣×5×﹣×6×8

＝，

答：四边形ADEF的面积是；

（2）过点D作EF∥BC，过点A作EF的垂线交EF于点E，交CB的延长线于点H，过点C作

CF⊥EF于点F，

∵点D到BC的距离为5cm，

∴FC＝EH＝5cm，

同（1）可得△EDA∽△FCD，

第18页共21页.

∴＝＝＝，

∴ED＝cm，

设AE＝xcm，则DF＝2xcm，HA＝（5﹣x）cm，HB＝ED+DF﹣BC＝+2x﹣4＝（2x﹣）cm，

∴S四边形ABCD＝5×（+2x）﹣×5•2x﹣x×﹣×（5﹣x）•（2x﹣）

＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2+，

∴当x＝1时，S四边形ABCD最小为，

∴四边形金属部件的最低造价为×60＝915（元），

答：这种四边形金属部件的造价最低是915元．

14．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，

某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小

矩形，已知房屋外墙长9m．

（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？

（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？

【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，

x（27﹣3x）＝42，

解得x1＝2，x2＝7，

当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；

当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；

答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；

（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，

S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，

∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝，

∵，

第19页共21页.

解得6≤a＜9，

∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，

答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54m2．

15．如图