抽象函数问题课件高三数学二轮复习

2025高考数学二轮复习抽象函数问题抽象函数是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数;抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径.抽象函数问题既是高考的难点,又是近几年高考的热点.赋值法的应用例1(1)(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点ABC解析

对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.(2)(2024辽宁抚顺一模)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)满足对任意x≠0,y≠0,有f(x+y)[f(x)+f(y)]=f(x)f(y),f(1)=2,且当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,则下列结论正确的是(

)A.f()=6B.f(2x)=2f(x)C.f(x)为奇函数D.f(x)在区间(0,+∞)是单调递增函数C假设存在x<0,使f(x)=0.把y用-2x代换,则有f(-x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)f(-2x)=0,又当x>0时,f(x)>0,所以产生矛盾,即x<0时,f(x)≠0,则f(x)≠0在函数f(x)的定义域内恒成立.令-x代换x,y,则f(-x-x)[f(-x)+f(-x)]=f(-x)f(-x),即2f(-2x)·f(-x)=f(-x)f(-x),所以2f(-2x)=f(-x),令-x代换x,所以2f(2x)=f(x),故B错误;令y=-2x,则f(x-2x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)·[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x).化简可得f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故C正确;令x=y=1,则f(2)[f(1)+f(1)]=f(1)f(1),解得f(2)=1,f(1)=2>f(2)=1,故D错误.故选C.特殊函数模型的应用ABD(2)(2024吉林模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),则

f(k)=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.1D解析(方法一)令x=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,可得f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数.因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,(方法二)由题意知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),f(0)=1,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数;又f(3x+1)=-f(-3x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0,又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,则f(2)=-f(0)=-1.f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x+2)=-f(-x),又结合f(x)为偶函数,则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4为f(x)的周期,故f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,故

f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2

024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1,故选D.抽象函数性质的综合应用例3(1)(多选题)(2024山东聊城一模)设f(x)是定义在R上的可导函数,其导数为g(x),若f(3x+1)是奇函数,且对于任意的x∈R,f(4-x)=f(x),则对于任意的k∈Z,下列说法正确的是(

)A.4k都是g(x)的周期B.曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称C.曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称D.g(x+4k)是偶函数BC解析

由f(3x+1)是奇函数,故有f(3x+1)=-f(-3x+1),即有f(x+1)=-f(-x+1),故f'(x+1)=f'(-x+1),即g(x+1)=g(-x+1),故函数g(x)的图象关于直线x=1对称,由f(4-x)=f(x),则-f'(4-x)=f'(x),即-g(4-x)=g(x).故函数g(x)的图象关于(2,0)中心对称.由-g(4-x)=g(x),则-g(3-x)=g(x+1),又g(x+1)=g(-x+1),故g(-x+1)=-g(3-x),即有g(x+1)=-g(3+x),则g(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+1),即g(x+1)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)的周期为4.对于A,当k=0时,4k=0,故A错误;对于B,由g(x)周期为4,故g(4k-x)=g(-x),又-g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),故g(-x)=-g(x)=g(4k-x),故曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称,故B正确;对于C,由g(x)的周期为4,故g(4k+2-x)=g(2-x),又g(x+1)=g(-x+1),故g(x)=g(-x+2)=g(4k+2-x),故曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称,故C正确;对于D,由选项B得-g(x)=g(4k-x),故-g(-x)=g(4k+x),又g(x)的周期为4,故有-g(-x)=-g(4k-x),故g(4k+x)=-g(4k-x),又x∈R,即g(x+4k)都是奇函数,故D错误.故选BC.(2)(多选题)(2024山东青岛期末)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)是奇函数,f(2)=-f(1)≠0,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则(

)ABD解析

因为f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1)f'(1),又因为f(2)=-f(1)≠0,所以f'(1)=-,故A正确;因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,且f'(x)为偶函数.令y=1,可得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1).①再用-x代替x,可得f(1-x)=f(-x)·f'(1)+f'(-x)f(1)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1),则f(x-1)=f(x)f'(1)-f'(x)f(1).②①+②,得f(x+1)+f(x-1)=2f(x)·f'(1),则f(x+1)=-f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x+1)-f(x),f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数,所以f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正确;针对训练1.(多选题)(2024安徽安庆二模)已知定义在R上的函数f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,则(

)A.f(0)=1B.f(1)+f(-1)=1C.函数f(x)为减函数D.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称ACD解析

(方法一)由f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,可以令f(x)=-x+1,则f(0)=1,A正确;f(1)+f(-1)=0+2=2,B错误;f(x)=-x+1为减函数,C正确;因为f(0)=1,所以D正确.故选ACD.(方法二)对于A,令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1,故A正确;对于B,令x=1,y=-1,则有f(0)=f(1)+f(-1)-1,故f(1)+f(-1)=2,故B错误;对于C,令y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1<0,令x1=x+y,x2=x,即有对∀x1,x2∈R,当x1>x2时,f(x1)-f(x2)<0恒成立,即函数f(x)为减函数,故C正确;对于D,令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,又f(0)=1,故f(x)+f(-x)=2,故函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确.故选ACD.D解析

由f(x+2)+f(x)=f(4),得f(x+4)+f(x+2)=f(4),则f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4.由f(2x+1)是R上的奇函数,得f(-2x+1)=-f(2x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0,于是

D正确.故选D.3.(多选题)(2024浙江宁波期末)已知函数f(x)满足:对∀x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+y),且f(0)≠f(2),则以下选项正确的是(

)A.f(1)=0 B.f(0)=0C.f(x)+f(2-x)=0 D.f(x+4)=f(x)ACD解析

对于A,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+[f(1)]2,令x=y=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2,所以[f(0)]2=[f(2)]2,因为f(0)≠f(2),所以f(0)=-f(2).令x=1,y=0,则f(1)=f(0)f(1)+f(1)f(2)=0,故A正确;对于B,结合选项A可得f(0)=[f(0)]2,所以f(0)=0,或f(0)=1.若f(0)=0,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=0,所以f(2)=0,此时与f(0)≠f(2)矛盾,舍去;若f(0)=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=1,解得f(2)=±1,因为f(0)≠f(2),所以f(2)=-1,故B错误;对于C,令x=0,则f(-y)=f(0)f(y)+f(1)f(1+y),因为f(1)=0,f(0)=1,所以f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数,令x=1,则f(1-y)=f(1)f(y)+f(2)f(1+y)=f(2)f(1+y)=-f(1+y),所以f(1-y)=-f(1+y),令y=1-x,则f(x)=-f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,故C正确;对于D,因为f(x)=-f(2-x),把x换成x+2,则f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x).把x换成x+2,则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x),故D正确.故选ACD.4.(多选题)(2024湖南衡阳二模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,y=g(x+4)-3是奇函数,且g(x)-f(x-2)=2,f(x)+g(x+6)=4,g(2)=4,则(

)A.g(4)=3 B.f(x)为奇函数C.g(x+2)为偶函数

ACD解析

由y=g(x+4)-3是奇函数,则g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即g(-x+4)+g(x+4)=6,令x=0,则g(4)=3,故A正确;由g(x)-f(x-2)=2,g(2)=4,令x=2,则f(0)=2≠0,故f(x)不是奇函数,故B错误;由g(-x+4)+g(x+4)=6,把x代换成x-2,则g(-x+6)+g(x+2)=