职教高考 集合之间的关系及运算含答案

集合之间的关系及运算[知识整合]基础知识1．集合与集合间的关系(1)子集：对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作A包含于B或B包含A.任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.子集的性质：①任何一个集合A是它本身的子集，即A⊆A.②空集是任何一个集合A的子集，即∅⊆A.③子集个数：一个集合A的子集个数为2n，其中n是指集合A中的元素个数．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集且B中至少有一个元素不属于A，则集合A是集合B的真子集，记作AB或BA，读作A真包含于B或B真包含A.(3)集合相等：如果两个集合的元素相同，则称这两集合相等．集合A与集合B相等记作A＝B.(4)子集、真子集、相等的关系①如果A⊆B，则AB或A＝B.②如果A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.2．集合的运算(1)交集①定义：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作A交B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．如图中阴影部分所示：A∩BA∩B＝BA∩B＝AA∩B＝∅②性质：a.A∩A＝A；b.A∩∅＝∅；c.A∩B＝B∩A；d.A∩B⊆A，A∩B⊆B；e.如果A⊆B，则A∩B＝A；反之，如果A∩B＝A，那么A⊆B.(2)并集①定义：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．如图中阴影部分所示：A∪BA∪B＝AA∪B＝BA∪B②性质：a.A∪A＝A；b.A∪∅＝A；c.A∪B＝B∪A；d.A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；e.如果A⊆B，则A∪B＝B；反之，如果A∪B＝B，那么A⊆B.(3)补集①全集：在研究集合间的关系时，如果每一个集合都是某一个给定集合U的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集，通常用符号U表示．②补集定义：如果A是全集U的一个子集，那么由全集U中所有不属于A的元素构成的集合叫作A在全集中的补集，记作∁UA，读作A在U中的补集．如图中阴影部分所示：③补集的性质：a.A∩∁UA＝∅；b.A∪∁UA＝U；c.∁U(∁UA)＝A.基础训练1．下列关系式①0∈{－1，0，1}；②0＝{x|x2＝0}；③A∈A∩B；④{奇数}⊆{整数}；⑤{偶数}⊆{合数}；⑥∅∩{0}＝∅，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．42．设集合A＝{3，4，5，6}，B＝{1，3，5，7}，则集合A∩B的元素的个数为()A．1B．2C．3D．43．已知集合M＝{0，1，3，5}，N＝{－2，3，4}，则M∪N＝()A．{－2，0，1，3，4，5}B．{－2，1，3，4，5}C．{3}D．{0，1，2，3，4，5}4．设全集U＝R，集合M＝{x|x>5}，则∁UM＝________．5．若集合A＝{a1，a2，a3，…，an}，则集合A的子集共有________个，真子集共有________个，非空子集有________个，非空真子集有________个．[重难点突破]考点1集合之间的关系例1若a＝1，集合A＝{x|x<eq\r(2)}，则下列关系中正确的是()A．aAB．{a}AC．{a}∈AD．{a}∉A【解析】由于元素a＝1<eq\r(2)，故a∈A，{a}A，故选B.反思提炼：元素与集合的关系是从属关系，只能用“∈”或“∉”表示；集合与集合间的关系是包含关系，用“⊆”、“”或“＝”等符号表示．【变式训练】用适当的符号(＝，，，⊆，⊇)填空：(1){0}________∅(2){a，b}________{a}(3){1}________{1，2，3}(4){a，b，c}________{c，a，b}(5)R________Z(6){正方形}________{矩形}(7)A∩B________A(8){x|x<3}________{x|－2<x<1}(9){0，2}________{x|x2－2x＝0}例2设集合A＝{x|－x2－x＋2＜0}，B＝{x|2x－5＞0}，则集合A与B的关系是()A．B⊆AB．B⊇AC．B∈AD．A∈B【解析】集合A＝{x|－x2－x＋2＜0}＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|2x－5＞0}＝{x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A.【变式训练】已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{－1，0，2a－3}，且A⊆B，则a的值是________．例3已知集合B⊆{1，2，3}，求满足条件的集合B的个数．【解】满足条件的集合B为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴集合B共有8个．【变式训练】已知集合B满足{1，2}⊆B⊆{1，2，3，4，5}，求满足条件的集合B的个数．反思提炼：本题给出集合B的一个子集，同时它又是另一集合的子集，求满足条件集合B的个数，考查了子集的含义，属于基础题．写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏．考点2集合的运算例4设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}，则A∩B等于()A．∅B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{0，1，2，3}【解析】∵A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}，故选B.【变式训练】已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x－1<2}，则A∩B＝()A．{0，1}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}例5设集合A＝{0，1}，B＝{－1，0}，则A∪B＝()A．∅B．{0}C．{－1，0，1}D．{0，1}【解析】因为A＝{0，1}，B＝{－1，0}，所以A∪B＝{－1，0，1}，故选C.【变式训练】已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________．例6设全集U＝{0，1，2，3，5}，A＝{0，1，2，3}，B＝{0，3，5}，则A∩∁UB＝()A．{2，5}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2，3}【解析】全集U＝{0，1，2，3，5}，则∁UB＝{1，2}，A∩∁UB＝{0，1，2，3}∩{1，2}＝{1，2}，故选B.【变式训练】已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，5}，N＝{2，5}，则∁U(M∪N)＝(){2，4}B．{4}C．{1，2，3，5}D．{1，3}[课堂训练]1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，则下列关系成立的是()A．－1∉AB．{－1，0}∈AC．0AD．{0，1}A2．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，4，5))，则A∩B＝()A．∅B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))3．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}4．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4，5}．则∁UA∩∁UB等于()A．{1，2，3，4，5}B．{6}C．{3，5}D．{2，4，6}5．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，4}，∁UA的所有子集的个数是()A．3B．6C．7D．86．集合M满足{1}⊆M⊆{1，2，3，4}，那么这样的不同集合M共有________个．7．设集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＝5}，则A∩B＝__________．8．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．9．写出满足{0，1}A⊆{0，1，2，3，4}的所有集合A.10．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．集合之间的关系及运算答案知识整合基础训练1．C【解析】①0∈{－1，0，1}正确；④{奇数}⊆{整数}正确；⑥∅∩{0}＝∅正确．2．B【解析】A∩B＝{3，5}，有两个元素，故选B.3．A【解析】M∪N＝{－2，0，1，3，4，5}，故选A.4．{x|x≤5}【解析】由补集的定义可得．5．2n，2n－1，2n－1，2n－2【解析】若一个非空集合A＝{a1，a2，…，an}，则该集合的子集数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2，这些公式要注意区分．重难点突破【例1】【变式训练】，，，＝，，，⊆，，＝【例2】【变式训练】2【解析】∵A＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，A⊆B，∴2a－3＝1，a＝2.【例3】【变式训练】【解】满足条件的集合B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，∴集合B共有8个．【例4】【变式训练】C【解析】由题可知：B＝{x|x－1<2}＝{x|x<3}，故A∩B＝{0，1，2}．【例5】【变式训练】{x|x>－1}【例6】【变式训练】B【解析】M∪N＝{1，2，3，5}，则∁U(M∪N)＝{4}，故选B.课堂训练1．D【解析】－1∈A，{－1，0}A，0∈A，故选D.2．B【解析】∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3}．3．B【解析】根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，(2，3)与(3，2)是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合；对于B：M、N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x＋y＝1上所有的点，而N是数集，表示函数x＋y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合；对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M、N是不同的集合，故不符合；故选B.4．B【解析】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4，5}，∴∁UA＝{3，5，6}，∁UB＝{1，6}，∴∁UA∩∁UB＝{6}，故B为正确答案．5．D【解析】∁UA＝{2，3，5}，则其所有子集的个数为23＝8个，故选D.6．8【解析】{1}、{1，2}、{1，3}、{1，4}、{1，2，3}、{1，2，4}、{1，3，4}、{1，2，3，4}．7.eq