职教高考 不等式的基本性质

2.1不等式的基本性质[知识整合]基础知识1．不等式的概念用符号“≠、>、<、≥、≤”表示数量之间不等关系的式子叫作不等式．如实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0.2．实数大小的基本性质(1)a－b>0⇔a>b(2)a－b＝0⇔a＝b(3)a－b<0⇔a<b3．比较实数大小的方法(1)观察数轴上对应点的位置进行直观比较．(2)作差法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.(3)作商法：若b＞0，则eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；eq\f(a,b)＜1⇔a＜b.若b<0，则eq\f(a,b)>1⇔a＜b；eq\f(a,b)<1⇔a＞b.4．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c(3)加法性质：a>b⇒a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d即不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变．(4)乘法性质：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd(5)倒数性质：a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(6)乘方性质：a>b>0⇒an>bn(n∈N＋)(7)开方性质：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N＋)基础训练1．a、b∈R且a>b，则()A．a2>b2B.eq\f(b,a)>1C．lg(a－b)>0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq\s\up12(b)2．下列关系成立的是()A．a＋4>0⇔a>4B．a＋4<0⇔a<4C．a－4>0⇔a>－4D．a－4<0⇔a<43．下列说法中不正确的一项是()A．若a>b，则a＋c>b＋cB．如果a>b>0，则－2a＜－2bC．ac2>bc2，则a>bD．如果a>b，c>d，则ac>bd4．比较大小(1)2eq\r(3)________eq\r(13)；(2)(eq\r(3)＋1)2________3＋2eq\r(3)；(3)(eq\r(3)－1)2________3－2eq\r(3)；(4)eq\f(1,\r(5)－2)________eq\f(1,\r(6)－\r(5))；(5)(x＋1)(x＋2)________(x－3)(x＋6)．5．已知a＜b＜0，c＜0，在下列横线上填上适当的不等号或等号：(1)ac________bc；(2)a＋2c________b＋2c；(3)(a－1)c2________(b－1)c2；(4)eq\f(1,a)________eq\f(1,b)；(5)|a＋b|________2eq\r(ab).[重难点突破]考点1比较实数大小的方法例1比较大小(1)eq\f(1,9)________eq\f(2,9)；(2)eq\f(3,4)________eq\f(3,7)；(3)eq\f(4,5)________eq\f(5,6)；(4)－eq\f(1,2)________－eq\f(1,3)【解析】应用作差法比较实数大小，答案是(1)<；(2)>；(3)<；(4)<.反思提炼：本题考查对比较实数大小的方法的应用，计算此类题时要注意分子分母的大小以及正负数的关系．【变式训练】比较大小：(1)(eq\r(3)＋eq\r(2))2________6＋2eq\r(6)；(2)(eq\r(3)－eq\r(2))2________(eq\r(6)－1)2.考点2不等式的基本性质例2下列选项中正确的是()A．若a>－b，则c＋a>c－bB．若a>b，c>d，则a>cC．若a>b，则eq\r(a)>eq\r(b)D．若a>b，则ac2>bc2【解析】根据不等式的加法性质，A显然正确；选项B中，不能得到a、c之间的任何关系，则B错；选项C中，因为没有已知a、b的符号，eq\r(a)、eq\r(b)可能没有意义，则C错；选项D中，当c＝0时，ac2＝bc2，则D错．故选A.反思提炼：本题考查不等式的基本性质，此类题可通过不等式的性质推证得结果，亦可通过特殊值代入法，排除某些选项，得出结果．【变式训练】若a，b，c是实数，且a＞b，则下列不等式正确的是()A．ac＞bcB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－b)))c2>0D.eq\r(3,a)>eq\r(3,b)例3a、b、c、d为实数，下列命题正确的是()A．a＞b⇒ac＞bcB．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b，c＞d⇒ac＞bdD．a＞b，c＞d⇒a－d＞b－c【解析】∵c＞d，∴－d＞－c，∵a＞b，∴a－d＞b－c.故选择D.【变式训练】下列命题中，正确的是()A．a>b，c<d⇔a＋c>b＋dB．a>b，c>d⇔eq\f(a,d)>eq\f(b,c)C．a2>b2⇔|a|>|b|D．a>b>0⇔eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)例4已知a，b，c∈R，则下列推理：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)⇒a>b；②a2>b2，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a>b⇒a·c2>b·c2；④a＋c>b＋c⇒a>b.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】①由eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)可知c2>0，∴eq\f(a,c2)·c2>eq\f(b,c2)·c2，即a>b，故①正确．由a2>b2，ab>0可得a>b>0或a<b<0，当a>b>0时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，但当a<b<0时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故②不正确．c2≥0，∴a·c2≥b·c2，故③不正确．a＋c>b＋c⇒a＋c－c>b＋c－c⇒a>b，故④正确．故选B.【变式训练】已知a＞b，不等式：①a2＞b2；②eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)；④a3＞b3中能成立的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个例5比较a2＋b2与2(a－b－1)的大小．【解】因为(a2＋b2)－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2，而(a－1)2≥0，(b＋1)2≥0，则(a－1)2＋(b＋1)2≥0所以a2＋b2≥2(a－b－1)．反思提炼：比较代数式的大小的两种方法：作差法、特殊值法．作差比较法是证明不等式和比较两代数式，两数大小最常用的方法，运用该方法关键是如何把差做适当的变形(如配方、因式分解等)以判断出差的符号．特殊值法直观、省时，但不能直接证明，多用于选择题．【变式训练】已知a>b>c，比较eq\f(1,a－c)和eq\f(1,b－c)的大小．[课堂训练]1．如果x>y>0，那么下列不成立的是()A．x2>y2B．ax>ayC．x＋5>y＋5D．x＋2y>3y2．如果a>0，ab≥0，那么下列各式成立的是()A．b>0B．b≥0C．b<0D．b为任意实数3．已知a<b<0，则下列不等式中不正确的是()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b)))C．a2>b2D.eq\r(－a)<eq\r(－b)4．已知a>b，那么()A．a3>b3B．a2>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D.eq\r(a)>eq\r(b)5．已知a＋b>0，b<0，那么()A．a>b>－a>－bB．a>－a>b>－bC．－a>－b>a>bD．a>－b>b>－a6．若－1<a<b<1，则()A．－2<a－b<0B．－2<a－b<－1C．－1<a－b<0D．－1<a－b<17．比较大小：(1)a－3________a－1；(2)(x－1)(x＋2)________(x－2)(x＋3)．8．若a>b，c>d，则a(c－d)________b(c－d)．9．若－2<x<5，1<y<4，则x－2y的取值范围是________．10．比较3x2－x＋1和2x2＋x－3的大小．2.1不等式的基本性质知识整合基础训练1．D【解析】当b<a<0时，a2<b2；当b<0<a时，eq\f(b,a)<1；当a>b且a－b<1时，必有lg(a－b)＜0；∵y＝(eq\f(1,2))x为单调递减函数，∴D正确．2．D【解析】a＋4>0⇔a>－4，a＋4<0⇔a<－4，a－4>0⇔a>4，a－4<0⇔a<4，故选D.3．D【解析】若a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－4，则ac<bd.4．(1)＜(2)＞(3)＞(4)＜(5)>【解析】(5)(x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6)＝x2＋3x＋2－(x2＋3x－18)＝x2＋3x＋2－x2－3x＋18＝20>0，所以(x＋1)(x＋2)>(x－3)(x＋6)．5．(1)>(2)<(3)<(4)>(5)＞重难点突破【例1】【变式训练】(1)＜(2)＜【解析】由作差法可得．【例2】【变式训练】D【解析】∵a，b，c是实数，且a＞b，∴eq\r(3,a)>eq\r(3,b).故D答案正确．【例3】【变式训练】C【例4】【变式训练】B【解析】①中当b＜a＜0时，0＜a2＜b2；②中当b＜0＜a时，eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b)；③中当b＜0＜a时，a－b＞a＞0，此时eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)；④中函数y＝x3是在定义域R上单调递增的奇函数，又a＞b，所以a3＞b3.综上可知，①②③错误，④正确，故选B.【例5】【变式训练】【解】解法一：eq\f(1,a－c)－eq\f(1,b－c)＝eq\f(b－c－a＋c,（a－c）（b－c）)＝eq\f(b－a,（a－c）（b－c）)，因为a＞b＞c，所以a－c>0，b－c>0，b－a<0，可得eq\f(1,a－c)－eq\f(1,b－c)<0，所以eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c).解法二：∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－c).课堂训练1．B【解析】B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．2．B【解析】因为a>0，ab≥0，所以b≥0.3．D【解析】因为a<b<0，所以－a>－b>0，故eq\r(－a)<eq\r(－b)不正确．4．A【解析】a>b只能推出a3>b3，只有当a>b>0时，B、D项才成立；当a>b且ab>0时C才成立．故选A.5．D【解析】∵a＋b>0⇒a>－b，b>－a.又b<0，则－b>b，所以a>－b>b>－a.故选D.6．A【解析】∵a<b，则a－b<0，排除B、D，又b<1，则－b>－1，∵a>－1，∴a＋