九年级寒假数学培优讲义(二)

元二次方程——

解法、判别式

模块一课前检测

1.代数式万工在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x<2B.烂2C.x<_2D.x<-2

2.下列函数中，y随x的增大而减小的是（）

6

A.y=2xB.y=2x-3C.y=3-2xD-J=--

X

3.已知直线y=H+b经过一、二、四象限，则直线），=以+攵-2的图像只能是（）

4.如图，在四边形ABCD中,ZB=90°,AB=1,BC=73,AD=3,CD=V5,则四边形ABCD

的面积为（）

.A.8-472B.3

5.武汉市梅苑学校规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占

20%,期中考试成绩占30%,期末成绩占50%,小明的三项成绩依次为95,90,86,则小明这

学期的体育总评成绩为分。

6.如图，四边形ABCD是菱形，且AC=8,BD=4,DH_LAB于H,则AH=

D

模块二一元二次方程的概念

知识点睛

1.一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0;②最高次数为2;③整式方程

2.一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0(a^0),a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

3.一元二次方程根的考察：

关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。

例：(1)ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因为没有强调awO；

(2)(x-2)(x+3)=x2j不是一元二次方程，因为二次项抵消

(3)3x2-f+6=0不是一元二次方程，因为不是整式方程。

x

注：检醛是否是一元一次方程：第一步看是否为整式方程；第一步将方程化为最简，看是否存

在二次项。

典型例题

【例1】(1)已知关于X的方程6+1)x2.ax=2x2」是一元二次方程，则〃的取值范

(围•

(2)若一元二次方程(m-1)x2+3(m2-1)x+m-5=0一次项不存在，则m的值

为；

【巩固】(1)机为何值时，关于x的方程(m-2)xn/-2.mx=4是一元二次方程.

(2)已知关于x的方程(a+1)x2-2x+(a2-l)=0的常数项等于0,则a的值为

【例2】(1)关于x的一元二次方程(a-拒)x2+(a+3)x+a-2=0的一个根是0,则。

的值为_______

0

(3)若加是方程_x2・2x-l=0的一个根，那么代数式4m2・12m+3的值为

3

(4)已知。是方程f+x—JO的一个根，贝ij代数式a3+2a?+3的值为

【巩固】(1)若两个方程x2+(a-l)x+(b+D=O和x2+(b+l)x+a-l=O只有一个公共

根，则()

A.a=bB.〃+b=OC.a+b=\D.a+/>=-1

⑵已知a是方程X2-3X+1=0的一个根，则代数式2a3-3a2-7a+2019的值为

模块三一元二次方程的解法

知识点睛

1.直接开平方法

如(av+〃)2=〃？(/??>0)转化为ov+〃=±J^,即转化为or+〃=新^或or+〃=一^^进行

2酒已方法

用配方法解一元二次方程的步骤如下：

(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边

(2)根据等式的性质把二次项的系数化为“1”

(3)把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。

-b+田2_4ac2

3.公式法*二———,此法的前提是b-4ac>0

2a

4.分解因式法：一般采取十字相乘法分解因式。

典型例题

【例3】（直接开方法）（1）（2X-1）2=9；（配方法）（2）以2—&叶1=0：

（公式法）（3）X2+2V3X+3=D：（因式分解法）（4）4x2-12x+5=0

【巩固】用适当的形式解下列方程:

(1)2(x-2)2=50；(2)x(x+2)=5(x-2)(3)x2+2x=2—4x—x2

2

(4)2x-Vi7x+1=0(5)3X2-2X-1=0(6)3x2-4x-2=0

模块四一元二次方程的判别式

知识点睛

1.一元二次方程6x+c=0(〃。0)只有当系数4、b、。满足条件△=4〃c20时

才有实数根.这里6-4ac叫做一元二次方程根的判别式.

2.判别式与根的关系：

(1)当△=/一4加、>0时,方程有两个不相等的实数根.

(2)当△=/-44c=0时,方程有两个相等的实数根.

(3)当A=82-<0时，方程没有实数根.

典型例题

[例4](1)已知关于x的一•元二次方程(a・l)x2+(2-3a)x+3=0.求证：当aw1时，此

方程总有两个实数根；

(2)当。、力为何值时，方程/+2(1+〃户+3/+4"+4"+2=0有实根?

(3)若关丁x的元二次方程(in2-l)x2-(2H1+1)x+1=0有实根，则山的取值范围是什

么？

(4)若关于x的方程(m」)x2-(2m+l)x+1=0有两不相等实根，则m的取值范围是什

么？

(5)若关于x的方程(n?/)x2-(2m+|)x+l=0有实根，则m的取值范围是什么？

【巩固】(1)关于x的方程kx2-4x-2=0有实数根，贝IJk的取值范围是什么？

3

2八

(2)关于x的一元二次方程kx2«x-二°有实数根，则k的取值范围是什么？

3

2

(3)关于x的方程kxJ4x・二°有两个实数根，则k的取值范围是什么？

3

能力提升

7009

［例5］已知a是方程*一200%+1=0一个根，求42―2008〃t2_的值.

a2+\

［例6］(1)已知：a、b、c为AABC的三边，当m>0时，关于x的方程

c(x2+/n)+Z?(x2-/n)-2痂x=()有两个相等的实数根。求证：AABC为直角三角形。

(2)已知。、b、c是三角形的三边长，求证：62/+(/+/一/求+°2=0没有实数根

真题解析

【例7】已知关于x的方程x2-(2k+l)x+4(k-b=0

2

(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根

(2)若等腰4ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求4ABC的周

长

［例8］己知关于X的方程(〃/一6)^-2/3:+1=0有两个不相等的实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)若“为整数，且“<3,。是上述方程的一个根，求代数式2。2-3。一初±1+3的值.

4

课后作业

【习题1】若0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则m值为（)

A.1B.0C.1或2D.2

【习题2】方程x2+ax+l=O和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（）

A.0B.1C.2D.3

21

【习题31已知a是方程x2+x-2015=0的一个根，则———J的值为（)

a2-la2-a

1D.]

A.2014B.2015C.-------

20142015

【习题4】若关于x的方程0^+2（。+2）]+。=0有实数解，那么实数a的取值范围是什

么？

【习题5]关于工的一元二次方程0有两个不相等的实数根，求出的

取值范围.

【习题61若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，求实数a的取值范围.

【习题7](1)(x+1)2=5(2)(2x+l)2=49

【习题8](1)x2-3x+l=0(2)5x2-8x+2=0

（2）

【习题91(1)2X2-V3X-3=0产-小+必。

【习题10](1)5X2-8X-4=0(2)x2-x-m2+3m-2=0

元二次方程

根与系数的关系

模块一课前检测

1.方程a+i）a—2）=（x+i）的解是（）

A.2B.3C.-1,2D.-1,3

2.已知x=2是方程第=。（存0）的解，则它的另一根为（）

A.2B.0C.-2D.不能确定

3.一元二次方程炉一级一1=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.已知（加+〃2）（62+/+2）=15,则加+〃2的值为（）

A.3B.-5C.-3或5D.-5或3

5.用配方法解关于x的方程/+/+乡=0时，此方程可变为（）

A.（%+/=令"B.a+g2="L

C.（J）2=丘丝D.（。）2=/1

2424

6.（2014.武汉）在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表:

成绩（/«）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

那么这些运动员跳高成绩的众数是

7.若方程x2-9x+18=0的两根伶好是一个等腰三角形的两边长，则此三角形的周长为

8.已知关于彳的一元二次方程（冽+1）好一2（w一1次+〃?=0有实根，则，〃的取值范围是

模块二根与系数关系(韦达定理)

知识点睛

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：

若西，不是关于X的一元二次方程ax2+bx+c=O(a^0)的两个根，则方程的两个根

和系数有如下关系：x+x=-_,xx=.c_

1212a]2a

EG:先阅读，再填空解题：

(1)方程e一X一12=0的根是：汨=一3,4=4,则》+x2=1勺刈%2=-12；

(2)方程Zv2—7x+3=0的根是：汨=1，^2=3,则即+e=一；

222

(3)方程X2—3x+l=0的根是：X1=,X2=.则即+12=,X\-X2

=•

(4)根据以上(1)(2)(3)你能否猜出：

如果关于X的一^二次方程相/+/1¥+〃=0(〃用0且小、小〃为常数)的两根为X1、X2,那

么即十检、为与系数〃?、小〃有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.

典型例题

【例1】(1)设XI，X2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则三+三的值为

X2X1

JaJb...

(2)己知实数a、b(aWb)分别满足a2-3a+=0,b2-3b+^=0,试求-尸+〒的值z;

VbJa

(3)设方程4d-7x-3=0的两个根为修、x2,不解方程求下列各式的值

①区一3)(应-3)；③跖一忌

【巩固】（1）己知一元二次方程y2・3y+l=0的两个实数根分别为yi、yz，则（yrl）（y2-l）

的值为；

（2）已知关于x的方程x?・（a+b）x+ab-2=0.x,.x?是此方程的两个实数根，现给出三个

结论：①X#X2；②X[X2>ab；③X』+X22>a2+b2,则正确结论的序号是

模块三判别式与韦达定理

■知识点睛

判别式与韦达定理的应用主要体现在含参一元二次方程中，含参一元二次方程处理办法：

①二次项系数不为0;②判别式大于或者等于0;③根与系数的关系参与计算；④结合

实际情况进行答案的取舍。例如：（a-DX2-2X+1=0,首先awl,接着△NO,之后进行根

与系数关系的应用。实际情况一般指根必须为非负数，或者三角形三边需要满足三边关系。

典型例题

【例2】（1）设x、x是方程2（2+1.+1+2=0的两个不同的实根，且

I2

（%+1）（毛+1）=8,则々的值是.

（2）如果关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-l=0有两个实数根xHx2,且它们满足不等式

X]X2

VI,则实数m的取值范围是

X]+X2-3

(3)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+(k2-l)x+(k-l)2=0的两根分别为a,且

a2+6=4,求k的值.

(4)若关于x的一元二次方程x2-(a+3)x+a2+8a=0的两个实数根分别为4和b,求ab的

值.

(5)己知关于x的一元二次方程x2-2x+m+2=0有两个不等的实数根X1和x2

①求m的取值范围；②若|X「X2|=2,求m的值.

【巩固】⑴若方程f+px+l=0的一个根为1-也，则它的另一根等于,〃等

(2)关于x的方程x2+(m-1)x+m2-3=0的两个实数根互为倒数，求m的值.

(3)已知关于x的方程x2+2(a-l)x+a2-7a-4=0的两根为xi、X2，且满足XJX2-3X『3X2-2=0.求

a的值.

•_能力提升

［例3］已知m,n是方程x2+3x+l=0的两根

⑴求(m+5-16)Jm独_，值；

5-m3-mm

求的值。

\xi+y2-2x=0①

【例4］己知方程组…(X、y为未知数)

［履-)，-女=0②

①求证：不论％为何实数，方程组得有眄个不蚂的实数解

2

②设方程组的两个不同的实数解为『।和乜一/求证：(x-x)+(y-y)2是一个常数

y=yy=y।2।2

［例5］已知关于x的方程①x2-2mx+3m=0的两个实根是x、x且(x-彳尸16。如果

12I2

关于1的另一个方程寸-2/松+&〃-9=0的两个实数根都在1、%之间，求机的值。

真题解析

［例6］已知xi,X2是关于x的一元二次方程X2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数

根.

(1)若(xi-1)(X2-1)=28,求m的值；

(2)已知等腰AABC的一边长为7,若xi，X2恰好是AABC另外两边的边长，

求这个三角形的周长.

【例7】已知关于x的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+2k=0有两个实数根xi,

X2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k使得加•也-占2_必2之0成立？若存在，请求出k的值；若不

存在，请说明理由.

课后作业

【习题1】方程f—5x+2=0的两个解分别为工、x,MX+X-X-A的值为()

121212

A.-7B.-3C.7D.3

【习题2】设x,x是一元二次方程/一3工一2二0的两个实数根，则工2+3工工+工2的

12I122

值为.

【习题3］已知关于x的方程/-(4+1)1+力+2-0的两个实数根的平方和等于6,求友的

值.

【习题4］已知关于x的方程x2+2(a-l)x+a2-7a-4=0的两根为xi、X2，且满足X|X2-3xi-3x2・2=0.求

(1+」-)的值.

a2-4a

【习题5］已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)

x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.试问：k取何值时，△ABC是以

BC为斜边的直角三角形？

【习题6］己知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0,有两个不相等的实数根.

（1）求实数m的最大整数值；

（2）在（1）的条下，方程的实数根是X1,X2,求代数式X/+X22-XIX2的

值.

【习题7］已知xi，X2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根.

（1）是否存在实数a,使・X|+xiX2=4+X2成立？若存在，求出a的值；若不存在,

请你说明理由；

（2）求使（xi+1）（x2+l）为负整数的实数a的整数值.

元二次方程

模块一课前检测

1.若关于X的一元二次方程(切-11+版+加-1=0有一根为0,求另一根及机的值

2.已知关于x的方程X*2—(2左+1)工+4仅=।)=0

2

(1)求证：无论々为何值，方程总有实数根

(2)若等腰4ABC的一边长。=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求4ABC的周

长

3.如图，在四边形ABCD中，AD=5,CD=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则对角线BD

的长为____________

B

模块二利润、销售问题

知识点睛

1.进售价问题：（售价-进价）X销售量=利泄

2.折扣问题：标价x折扣=售价

3.利润率：售价一进价xlOO%=利润率。

进价

典型例题

【例I】（1）奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千

克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平

均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少

库存，每千克脐橙应降价多少元？

（2）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%,

若每件商品售价定为x元，则可卖出（170-5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的

售价应定为多少？

【巩固】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天

可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价

0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，

该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元.

A.0.2或0.3B.0.4C.0.3D.0.2

模块三传播、增长率、循环问题

知识点睛

1.传播问题包括病毒传播和枝干、短信、微博传播；病毒传播关系式一般为a(1+x)2=b,

需注意感染源在一次传播和二次传播中都是传染体；枝干、短信、微博的传播关系式为a

(x2+x)=b,传播主体在第二次传播中不再发挥作用。

2.增长率问题，第n个月和第n+2个月之间关系式为a(1+x%)2=b;第n个月和三个月总

共的量的关系为a+a(1+x%)a(1+x%)2=c<»

3.循环问题有单循环与双循环问题：例如比赛、握手是单循环问题，每两个个体进行一次互

动，即x(I):送贺卡、短信互相祝福属于双循环问题，个体间互动两次，即x(x-1)。

2

典型例题

【例2】(1)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支,

主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出多少根小分支？

(2)有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了

x人，则x的值为多少？

【巩固】(1)流感传染性很强，在一天内一人可传染x人，若先有2人同时患上流感，两

天后共有128人患上流感，则x值为多少？

【例3】(1)某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元.如果

每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率是多少？

(2)武汉市改善空气质量，开展"绿色家园”活动，加快了绿化荒山的速度，2013年市政府

共投资4亿元人民币绿化荒山160万平方米，预计到2015年这三年共累计投资19亿元人民

币绿化荒山.若在这两年内每年投资的增长率相同.

①求每年市政府投资的增长率；

②若这两年内的绿化成本不变，预计2015年能绿化多少万平方米荒山？

【巩固】我市为打造“国家文明卫生城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、

已知2012年投资1000万元，预到2014年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的

百分率相同.

(1)求平均每年投资增长的百分率；

(2)如平均每年投资增长的百分率不变，则2016年我市的投资能否突破1500万元？

【例4】(1)一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有

多少人？

(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排

15场比赛，则参加比赛的球队应有；

【巩固】某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为()

A.8支B.9支C.10支D.II支

模块四面积、几何问题

知识点睛

1.面积问题：需要结合实际情况，进行几何图形的平移割补；计算的结果必须为正数;

2.动点问题注意未知数表示的线段长度，再结合面积处理方法解决问题。

典型例题

[例5](1)某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条

宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一

种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示(阴影部分为草坪).

请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.

①甲方案设计图纸为图1,设计草坪的总面积为600平方米.

②乙方案设计图纸为图2,设计草坪的总面积为600平方米.

③丙方案设计图纸为图3,设计草坪的总面积为540平方米。

(2)如图，在aABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B

同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，

点P也随之停止运动.下列时间瞬间中，能使4PBQ的面积为15cm2的是()

A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟

【巩固】如图1,某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区

是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%,南北

空地等宽，东西空地等宽.

(1)求该小区四周的空地的宽度；

(2)如图2,该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之

间为小区道路，小区道路宽度一致.已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，

南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度.

图1

^是升

［例6］卫生部门为了控制前段时诃红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人

患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病.若按这样的传染速度，第三轮传染后我

们统计发现有2662人患了该病，则最开始有多少人患了该病？

【例7】如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相

距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上卜底之间有两条纵向甬道，各甬

道的宽度相等.设甬道的宽为x米.

(1)用含x的式子表示横向甬道的面积；

(2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的

宽度成正比例关系，比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么

当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？

真题解析

[例8](2014-2015一初8月月考)西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元

/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这

种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成木共24元.

(1)该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

(2)该经营户每天的最终盈利能否达到220元，若能，求降价多少元？若不能，请说明理由

课后作业

【习题1】有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均

一个人传染人的个数为（）

A.10B.11C.60D.12

【习题2】某制药厂生产的某种针剂，每支成本3元，由于连续两次降低成本，现在的成本

是2.43元，则平均每次降低成本的百分率是（）

A.10%B.20%C.7%D.8%

【习题31股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫

做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌停，要想在2天

之后涨回到原价，试估计平均每天的涨幅（）

A.一定为5%B.在5%〜6%之间C.在4%〜5%之间D.3%〜4%之间

【习题4】一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形，

则原菜地的长是（）

A.10mB.IlmC.12mD.13m

【习题5］受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品

住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2014年前两个月，某

房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300

平方米.

（1）求2014年1、2月份各销售了多少平方米；

（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的

方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%,

则销售面积将增加（a+10）%,结果3月份总销售额为3456万元，求a的值.

【习题6］某商场在“五・一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售.这样每天所获

得的利润恰是销售收入的20%,如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都

有增长，第三天的利润是1.25万元.

(1)求第三天的销售收入是多少万元？

(2)求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？

【习题7】如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，

四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.

(1)如图2,《思维游戏》这本书的长为21cm,宽为15cm,厚为1cm,现有

一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示.求折叠进去的

宽度；

(2)若有一张长为60cm,宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，

书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示.问折叠进去的宽

度最大是多少？

（图1）（图2）

二次函数

概念与性质

模块一课前检测

1.用配方法解方程f—4x+2=0,下列配方正确的是（）

A、々-2)2=2B、(X+2)2=2C、(x-2)2=-2D、(x-2)2=6

2.新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年

卡共72张，此小组的人数是（）

A、7B、8C、9D、10

3.关于x的一元二次方程b2+3x7=0有实数根，则k的取值范围是（）

9Q9Q

A、kS--B、乙且心0C、kN--D、

4444

4.某企业今年3月份的产值为a万元，4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了

15%,则5月份的产值为（）

A、（。一10%）（。+15%）万元B、〃（1一10%）（1+15%）万元

C、（。一10%+15%）万元D、〃。一10%+15%）万元

5.已知美于x的一元二次方程』+2（〃2-2）%+52+4=。的两实数根是xi和x2o

（1）求m的取值范围；

（2）如果x2+x2-xx=21,求m的值。

1212

模块二二次函数的概念

课堂导入

问题1：若圆的半径为X厘米，圆的面积为y平方厘米，试写出y关于X的函数解析式;

问题2：甲、乙两数的和为20,设甲数为x,甲、乙两数的积为y,试写出y关于x的函数

解析式；

问题3：矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将它的长与宽都增加x厘米，记现在的矩

形面积为y平方厘米，试写出y关于工的函数解析式；

知识点睛

一、二次函数的定义

1.一般地，形如yud+bx+c力,c,为常数，的函数称为"的二次函数，其中工

为自变量，y为因变量，a,b,c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.

2.任何二次函数都可以整理成y=a/+bx+c（a,b,c为常数，。工0）的形式.

3.判断函数是否为二次函数的方法：

①含有一个变量，且自变量的最高次数为2;②二次项系数不等于0;③等式两边都是整

式.二、二次函数图象的画法：五点绘图法

1.利用配方法将二次函数），=加+队+。化为顶点式y=a（x-h）2+k

2.确定其开口方向、对称轴及顶点坐标

3.在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与3'轴的交点（0,。）、以

及（0,c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与工轴的交点（再，0）,（而，0）（若与x轴没有交点,

则取两组关于对称轴对称的点）.

典型例题

【例1】（1）下列函数中是二次函数的是（）

A.丁=二4--B.y=3x-+2x2C.y=（x-2V-x2D.y=x-岳？

（2）下列说法正确的是（）

A.二次函数自变量的取值范围是非零实数B.圆的面积公式S=7/中，S是r的二次函数

C.y=L（x-l）（x+4）不是二次函数D.y=l-应V?中一次项系数为1

2

【巩固】已知关于x的函数产SF-2m-3）x2+（〃?+l）x+加.

（1）若它是关于x的二次函数，〃，要满足的条件是;

（2）若它是关于工的一次函数，加要满足的条件是.

模块三y=ax2（aw0）图像与性质

♦知识点睛

一、二次函数y="2（。/0）的性质

1.抛物线y=or2的顶点是坐标原点（0,0）,对称轴是x=o（y轴）.

2.函数了=以2的图象与。的符号关系.

①当4>0时<=>抛物线开口向上。顶点为其最低点；

②当。<0时O抛物线开口向下Q顶点为其最高点.

典型例题

【例2】在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：y=2x2；y=-2x2：y=3x2；y=-3x2；

回答问题：

（1）a的大小与图像的开口方向、开口大小有什么关系？v

（2）探究图像的顶点、对称轴、图像变化趋势。

【巩固】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①旷=/；②y=bf；③丁二以2；

®y=dx2^则。、h.C、d的大小关系为()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>d

D.b>a>d>c

模块四y=ax?+c(a00图像与性质

知识点睛

二次函数y=a?+c(a±0)的性质

1.抛物线y=ar。的顶点是坐标原点(0,q,对称轴是x=()(y轴).

2.函数丁="2+。的图象与。的符号关系.

①当a>0时。抛物线开口向上o顶点为其最低点；

②当。<0时=抛物线开口向下=顶点为其最高点.

3.函数y=⑪？+c的图象看做是由函数y=以？的图象向上或向下平移|c|个单位得到的.

=2x2；y="+2；y=lx2-3：

典型例题

【例3】在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象；y

并回答下列问题

①抛物线%、％、的形状是否发生改变？

②对称轴是否发生改变？

③将抛物线弘向平移单位得到力

④将抛物线必向平移单位得到必

【巩固】（1）二次函数y=5f-2的图象开口,当时，y随x的增

大而增大；

（2）二次函数y=-5^+7的图象开口,当时，），随x的增大而增大。

二次函数y=a(x-h)2+k(aw0)的性质

①对称轴：x=h②顶点坐标：（h,k）

③最值：a>0时有最小值k（如图1）,a<0时有最大值k:（如图2）

22

x+2)；y2=2(x-1)；

典型例题

【例3】在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：力=2（

【巩固】（1）抛物线y=2（x-l>+3的顶点坐标是,对祢轴是；

（2）抛物线y=-3（x+l/+4的开口方向,顶点坐标,对称轴是

,当时，y随x的增大而增大。

模块六y=ax2+bx+c(awO)图像与

知识点睛

二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的性质

bb4ac-b2

①对称轴：x=^—②顶点坐标：(-一,-------)

2a、2a4a

4ac-b14ac-tr

③最值：I.a>0时有最小值-------II.a<0时有最大值-------

4a4a

④单调性：二次函数y=ar2+&+c（〃。0）的变化情况（增减性）

I.当a>0时，对称轴左侧x<上，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧%>），

2a2a

y随x的增大而增大；

II.当a<0时，对称轴左侧上，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧

2a2a

y随力的增大而戒小：

---------------

典型例题

［例4］已知二次函数y==lf+x+41...........

2

（1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。

（2）工为何值时，y有最值？

（3）画出函数的图象，并说明一二二三二五七二二二二

当x取何值时，y随x的增大而增大;

当x取何值时，），随x的增大而减小

【例5】（1）二次函数），=〃2+队+C的图象如图所示，则下列关于4仇C之间的关系判断

正确的是（)

A.ab