精-品解析：广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（解析版）

第1页/共1页深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024-2025学年第一学期高一年级10月月考数学学科试题卷出题人：郭丹说明：1、本试卷满分150分；考试时间为150分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分，考试结束，只交答题卷．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集、补集的概念即可求解.【详解】由已知可得，又，∴．故选：D.2.设，，则与的大小关系为（）A. B.C. D.无法确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法分析判断.【详解】因为，所以.故选：A.3.分式不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解.【详解】由分式不等式可转化为且，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D.4.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可.【详解】由已知二次方程有解，所以，且，所以且.故选：D.5.满足条件的集合A的个数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用集合子集和真子集的定义求解.【详解】因为集合，所以集合A可以是,,共7个.故选:C.6.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出不等式的解，在判断是什么条件即可.【详解】由得，由得，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B7.在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案【详解】根据给出在上定义运算，由得，解之得，故该不等式的解集是．故选：B8.已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.【详解】解：由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，∴，∴故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）不等式的解集是，对于系数a,b,c，下列结论正确的是（）A.a>0 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断.【详解】因为不等式的解集为，所以，解得.所以.即.故选：BCD.10.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【详解】对A，若，则，两边同时除以，所以，A错误；对B，由可得，B正确；对C，因为，所以，即，C正确；对D，由可得，，所以，D正确．故选：BCD.11.已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误.【详解】集合且，，对于A，，即，则，A错误；由，得，即，由，得，即，则，对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以，又，所以.故答案为：.13.若，则__________．【答案】2【解析】【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为，所以或，若，，不满足互异性；若或2，又，所以，故答案为：2.14.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________．【答案】或【解析】【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围.【详解】令，解得或.当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得.综上，的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）当时，求和；（2）若，求实数a的取值的集合．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）当时，求出，即可根据交集和并集的定义求解．（2）根据，可得不等式组进而即得．【小问1详解】当时，，所以，,；【小问2详解】，，则，解得：．故实数取值的集合为.16.已知集合．（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，集合，当时，集合；（3）【解析】【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：是空集，且，，解得，所以的取值范围为：；【小问2详解】：①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所述，当时，集合，当时，集合；【小问3详解】中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得，时中至少有一个元素，即17.已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（其中）.【答案】（1）．（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解；（2）分类讨论求解即可．【小问1详解】不等式即为：，当,时，可变形为：，即,又，当且仅当，即时，等号成立，，即，实数的取值范围是：,．【小问2详解】不等式，即，等价于，即，当时，当时，因为，解不等式得：；当时，因为，不等式的解集为；当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．18.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？【答案】（1）300吨（2）35000元.【解析】【分析】（1）依题意写出每吨的平均处理成本与月处理量之间的函数关系，再用基本不等式即可求解；（2）设该单位每月获利元根，据题意写出的函数关系式，用一元二次函数求最值的方法求解.【小问1详解】由题意，每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【小问2详解】设该单位每月获利为元，则.因为，所以.故该单位每月获利，最大利润为35000元.19.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，，求证：．证明：原式．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：（1）已知，求的值．（2）若，解关于的方程．（3）若正数，满足，求的最小