朱慈勉结构力学第三章 静定结构

结构力学STRUCTURALMECHANICS基本要求掌握结构的支座反力的计算，结构的剪力和轴力计算的两种方法，内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯矩图。理解恰当选取脱离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧。会根据几何组成寻找求解途径。Chapter3StaticallyDeterminateStructure截面内力计算多跨静定梁内力图静定刚架内力图静定平面桁架内力图组合结构三铰拱计算静定结构总论第3章静定结构的受力分析回顾和补充材料力学内容回顾杆件内力分析要点：

内力正负号规定：

MM

MM

FNFN

FNFN

FQFQ

FQFQ结构力学与材料力学内力规定的异同

轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明AB杆的A端弯矩结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧4.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图【例4-2】图示简支梁受均布载荷q作用，

求

(1)剪力方程和弯矩方程；

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程(3)画出剪力图和弯矩图剪力图斜直线弯矩图二次抛物线52021/6/27

求内力的基本方法：截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利用平衡方程求解）

内力的叠加与分解：

假设：材料满足线弹性、小变形。截开、代替、平衡例：求截面1、截面2的内力FN2=50FN1=141×0.707=100kNFQ1=M1=125(下拉）=－50kN－141×cos45o=812.5kNm+141×0.707×10－50×5－5/2×5²FQ2=－141×sin45°＝－100kNM2＝5m5m5m5m215kN/m50kN141kN125kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓M2＝375kN.m（左拉）45°50×5－125－141×0.707×5＝－375kN.m+5×5－141×0.707=－25kN50++124.4载荷、剪力和弯矩之间的关系4.4.1分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系如图所示受任意载荷的直梁建立坐标系取其中一微段dxq(x)为连续函数，规定向上为正将该微段取出，加以受力分析92021/6/274.4载荷、剪力和弯矩之间的关系4.4.1分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系由（1）式可得:（2）式中略去高阶微量注意在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立102021/6/274.4载荷、剪力和弯矩之间的关系4.4.1分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。q图的面积Fs图的面积112021/6/274.4载荷、剪力和弯矩之间的关系4.4.1分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格122021/6/27微分关系给出了内力图的形状特征1）微分关系qy↓↓↓↓↓↓↓QQ+dQNN+dNqx→→→→→dxyxMM+dMqy向下为正

荷载与内力之间的关系：NN+ΔNFxΔN=－FXQQ+ΔQFyΔQ=－Fy增量关系说明了内力图的突变特征2）增量关系mMM+ΔMΔM=m3）积分关系由微分关系可得右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力；右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积。内力图形状特征无何载区段

均布荷载区段集中力作用处平行轴线斜直线

Q=0区段M图平行于轴线Q图

M图备注↓↓↓↓↓↓二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P＋－出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义集中力偶作用处无变化

发生突变两直线平行m集中力偶作用面弯矩无定义＋－零、平、斜、抛q、Q、Mq、Q、Mq、Q、Mq、Q、M在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。第3章静定结构§3-1概述按几何构造特点求解几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：又如：第3章静定结构§3-1概述

按几何构造特点求解几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：有些静定结构的几何构造可区分为基本部分和附属部分由附属部分向基本部分推进

组成静定结构的构件主要有二力杆和受弯杆。二力杆仅承受轴向力的作用；受弯杆一般同时承受弯矩、剪力和轴力的作用。

如何求解？从构建联结、制作特征找突破先对整体取矩M(Ⅰ,Ⅲ)，再对局部取矩M(Ⅰ,Ⅱ)§3-2静定梁和静定平面刚架⑴单跨静定梁：简支梁伸臂梁悬臂梁一端为滑动支座，一端为简支的梁⑵多跨静定梁：272021/6/27⑵多跨静定梁：282021/6/27⑶静定刚架：292021/6/273-2-1刚架式杆件的内力以及与荷载的关系内力正负号规定：﹡轴力以拉力为正，压力为负；﹡剪力以使微段隔离体顺时针方向转动为正，逆时针方向转动为负；﹡弯矩的正负号不作硬性规定，弯矩图应画在受拉一侧。302021/6/273-2-1刚架式杆件的内力以及与荷载的关系应用静力平衡条件，并略去高阶微量，可得以下关系式：由这些微分关系可知：312021/6/27由这些微分关系可知：⑴在无横向荷载(qy=0)的区段，杆件剪力保持为常数,对应的剪力图形为与杆件轴线平行的直线,弯矩图形为倾斜的直线，其斜率就等于杆中的剪力。⑵在杆件剪力为零处,弯矩图的切线与杆件轴线平行,此时弯矩取得极值;在无剪力的区段,杆件的弯矩保持为常数,对应的弯矩图为与杆件轴线平行的直线。⑶在有横向均布荷载的区段,剪力图为倾斜的直线,弯矩图为二次抛物线。⑷在无轴向荷载(qx=0)的区段,杆件的轴力保持为常数;在有轴向均布荷载的区段,轴力图为倾斜直线。322021/6/27例如：332021/6/27区段叠加法做弯矩图熟记简支梁弯矩图MFPqMAMB1）简支梁情况＝几点注意：弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的拼合，竖标M°，如同M、M′一样垂直杆轴AB，而不是垂直虚线。利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值，少求甚至不求支座反力。而且对以后利用图乘法求位移，也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。

＋MAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qM'M°MAMBM'M°M做法：先在梁端绘弯矩竖标过竖标顶点连直虚线以虚线为基础叠加相应简支梁弯矩图FPMM注意:合成内力图是竖标相加,不是图形的简单拼合。2）直杆情况QAQB

1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线；

2、然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓MAMBNANB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABYA°YB°MAMB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMBM'M°对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩叠加法均适用。

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图3m3m4kN4kN·m3m3m8kN·m2kN/m2m4kN·m分析步骤

确定控制点分析各段内力图走势（利用微分关系）求控制截面内力绘控制截面间内力图（弯矩图、剪力图）确定弯矩最大点位置及最大值ql/2l/2qM0FAyFByFAyM0FOyl/2ll/2ql2/2ql2/4ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlqABDFE↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qLqL＋－M图Q图qlql2/4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlql↓↓↓↓↓↓↓10kN/m15kN60kN.m2m2m2m2m↓↓↓↓↓↓↓20M图(kN.m)305553030m/2m/2m30303030303030303030↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8kN4kN/mABCGE↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓DF1m16kN.m1m2m2m1m1779－＋Q图（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kN4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓88M图（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN1m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8kN4kN/mABCGE↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓DF1m16kN.m1m2m2m1m1779－＋Q图（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kNCE段中点D的弯矩MD=28+8=36kN.m，并不是梁中最大弯矩，梁中最大弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。

均布荷载区段的中点弯矩与该段内的最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！M图（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN由QH=QC－qx=0可得：

x＝QC/q＝9/4＝2.25(m)

MH＝MC+(CH段Q图的面积）＝26+9×2.25÷2＝36.1（kN.m)1m力偶不影响剪力1m1m4m1m1m2m不可简称K截面剪力斜率相等剪力等于零处弯矩为极值点相切x=17/846.062529171510

Q图(kN)181128321720M图(kN·m)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m8kN/mK51m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相/p>

Q图(kN)340130210280160M图(kN·m)310kN130kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll’简支斜梁计算q+q03-2-2静定梁2222qxxqlMqlYA-==ooq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lYA°斜梁x↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qYAYAo2ql=YA=222qxxqlM-=

=M°由整体平衡：YA↓↓↓↓↓↓xMNQaasinsin)2(oQxlqN-=--=aacoscos)2(oQxlqQ=-=由分离体平衡可得：

斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同，斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。0l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMAMBMBMAql2/8

斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。3-2-2静定梁q为沿梁水平投影长度上均布荷载的集度,在工程上对应如屋面活载、楼梯活载和积雪荷载等以水平投影面积计算的均布荷载。q为沿梁自身长度上均布荷载的集度,在工程上对应如结构自重、装饰重量等均布荷载。均布荷载q垂直于杆件轴线,在工程上对应如流体压力形成的均布荷载。其内力可由以下隔离体的平衡条件求得：502021/6/273-2-2静定梁512021/6/273-2-2静定梁522021/6/273-2-2静定梁532021/6/27542021/6/27552021/6/27562021/6/27572021/6/27例3-1绘制图示多跨静定梁的内力图。582021/6/27例3-1绘制图示多跨静定梁的内力图。592021/6/27例3-2绘制图示多跨静定梁的弯矩图。602