高等数学教程（第4版）课件：导数与微分

问题1

平面曲线的切线及切线的斜率

3.1导数的概念

导数与微分设平面曲线Γ

的方程为Γ

上一定点,过点M,N的直线称为曲线的割线.上一动点,为曲线为曲线其中曲线Γ在点M处的切线.割线MN的斜率为如果当动点N沿曲线Γ

无限趋近于定点M时,割线MN无限的接近于某定直线MT,直线MT就称为切线MT的斜率为取极限得瞬时速度问题2

变速直线运动的瞬时速度

设物体沿直线作变速运动,变化规律为

已知位移随时间的平均速度如果极限存在,即定义3.1

(导数的概念)记为或导数也可写成也称导数不存在.如果极限不存在,注:是无穷大,记为关于导数的说明：记为处切线方程为法线方程为导数的几何意义:处的切线方程为处的切线斜率.解例3.1求处的导数.解练习求函数的导数.即例3.2设函数解即同理解例如,例3.3求函数即的导数.例3.4求函数的导数.解即特别地,例3.5求函数的导数.解即特别地,例3.6求曲线解所求切线斜率为所求切线方程为法线方程为和法线方程.即即处的切线方程例3.7求抛物线解设切点为,则切线方程为得把代入,

切线方程为的切线方程.解得解例3.8设因为函数在处连续，处的可导性处是否有切线?所以曲线在点处有切线

解练习设求2.右导数单侧导数1.左导数

都存在,则称在闭区间上可导.如果在开区间内可导,且及例3.9讨论函数处的可导性.解因定理3.1(可导与连续的关系)证所以连续函数不存在导数举例例如注意:

该定理的逆定理不成立.例如011/π－1/π例3.10设函数解由解例3.11讨论函数不存在,处的连续性与可导数性.定理3.2若函数3.2导数的计算3.2.1导数的四则运算法则则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处均可导,且证(2)由导数的定义及可导必连续,有

设(3)设由运算法则(2),有

则推论例3.12设求解故练习

求的导数.解例3.13设求解练习设解故3.2.2反函数的求导法则定理3.3设函数即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.内可导,且有证因为连续,于是,

反函数的导数为例3.14求函数的导数.解同理可得即:

因变量对自变量求导,等于因变量对中间变3.2.3复合函数的求导法则定理3.4若函数复合而成,量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则)证(1)式两边同时乘以,整理得令注意,(2)式对任意的都成立.

特别地,对任意的

则由产生的复合函数的增量为

由(2)式,有在(3)式中令

此时定理得证.

解解例3.15求函数的导数.例3.16求函数的导数.解例3.17

求函数的导数.解例3.18

求函数的导数.解例3.19求函数(n为常数)的导数.解因例3.20求函数的导数.即导数基本公式:特别地,特别地,注意:

初等函数的导数仍为初等函数.说明:任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出;解例3.21求函数

的导数.解例3.22求函数的导数.解练习求函数的导数.解练习求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数练习幂指函数的导数.解因求设问题:变速直线运动的加速度.3.2.4高阶导数变化率,因加速度a是速度v对时间

t的定义3.2

若导数存在,的二阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数,

二阶导数的导数称为三阶导数,记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

求函数的高阶导数就是多次连续地对函数求规定:导数,仍应用前面所学的求导方法计算高阶导数．1.由高阶导数的定义逐步求高阶导数.高阶导数求法举例例3.23证明下列函数的

阶导数公式：证明(1)直接求导有假定成立，则由数学归纳法知(2)直接求导有假定则由数学归纳法知练习设解则2.高阶导数的运算法则莱布尼兹公式设函数u和v

具有n阶导数,则解例3.24设,求.所以，当时，解例3.25设,求.由莱布尼兹公式得令则练习设解因练习设解由莱布尼兹公式我们并不需要将隐函数显化后求导.

1.隐函数的导数3.2.5几种特殊的求导法利用复合函数的求导法则即可.

而是方程两边对x求导,等式仍然成立,将

y视为x的函数,例3.26求由开普勒方程解解得方程两边对x求导,确定的隐函数的导数例3.27设由方程确定，解解得方程两边对x求导,求曲线上横坐标处的切线方程和法线方程.所求的切线方程为所求的法线方程为例3.28求由方程确定的隐函数解方程两边对x求导得解得的二阶导数.将代入上式，得故练习设曲线C的方程为解方程两边对x求导,所求切线方程为显然通过原点.法线方程为法线通过原点.练习设解方程两边对x求导,方程(1)两边再对x求导,得得得代入代入观察函数方法:

先在等式两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:2.对数求导法:多个函数相乘和幂指函数的情形.例3.29求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,例3.30设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,解练习设两边对x求导,得两边对x求导,得由复合函数及反函数的求导法则,得3.参数方程所确定函数的导数连续的函数在参数方程中,即若函数二阶可导,即例3.31已知抛射体的运动轨迹的参数方程为解求例3.32摆线的参数方程为解例3.33求心形线在处的切线方程.解心形线的参数方程为则有当时,实例:

正方形金属薄片受热后面积的改变量.3.3微分3.3.1微分的定义正方形面积定义3.3(微分定义)如果记作由定义知:定理3.7

证(1)必要性则(2)充分性称为函数的微分,对应的增量,增量时;就是切线纵坐标微分的几何意义当是曲线的纵坐标在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的运算法则

基本公式和微分法则.

特别地,

特别地,

由导数的基本公式和求导法则立即得到微分2.函数四则运算的微分法则特别地,

结论:无论u是自变量还是中间变量,一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则的微分形式总是例3.36解例3.35设解例3.37解3.3.3微分在近似计算中的应用当充分小时,利用微分可以将一些复杂的计算公式用简单的或近似公式来代替，使某些复杂计算得到简化.或解例3.38在附近求函数的一次近似式,并近似计算.解例3.39求的近似值.解例3.40求的近似值.例1设解1第三章导数与微分习题课典型例题例1设解2其中则故解例2若函数求例3问a何值时,抛物线解由题意所求切线方程为相切,求出切点与切线方程.解得切点为例4设解讨论不存在,故例5求过点解所求切线斜率为切点为所求切线方程为由解出即例6求曲线处的切线方程.解曲线的参数方程为所求切线斜率为所求切线方程为即解方程两边对x求导,有所求切线斜率为所求切线方程为即例7求曲线处的切线方程.解得例8设函数解因(2)求处曲线的法线方程.由(2)所求法线方程为即例9设解例10设解例11设解等式两边取对数,得例12设解求所确定,例13设函数解两边取对数所确定,求例14设函数由参数方程所确定,求解(1)练习题一、求下列函数的导数解答3.二、设

f(x),g(x)可导,求下列函数的导数解三、设

f(x)二阶可导,求函数

二阶导数.解解不一定存在,因