《格林公式的证明及应用研究》8100字（论文）

格林公式的证明及应用研究目录1引言 （5）2格林公式的证明 （5）2.1问题的提出 （5）2.2预备知识 （7）2.2.1单连通区域、复连通区域 （7）2.2.2有界闭区域D的边界曲线L的正向 （8）2.3积分区域为X-型区域、Y-型区域的证明 （8）2.4积分区域为非X-型区域、Y-型区域的证明 （10）2.5积分区域为复连通区域的证明 （11）3格林公式的应用 （12）3.1格林公式在计算平面图形的面积方面的应用 （12）3.2格林公式在计算曲线积分方面的应用 （15）3.3格林公式在计算二重积分方面的应用 （16）3.4格林公式在证明积分与路径无关方面的应用 （17）3.5格林公式在二元函数中的全微分求积问题方面的应用 （18）4小结 （19）参考文献 （21）1引言在高等数学的内容中，曲线积分占有着不可或缺的重要位置。而格林公式则同样地在曲线积分的领域内占有着不可或缺的重要位置，其主要的一个原因就是格林公式表达了在一个平面二维区域D上沿其边界范围封闭曲线L上的曲线积分和区域D上的二重积分之间的内在关联，它也表明，平面区域D上的二重积分的值可以被等价地定义为沿其边界范围封闭曲线L的曲线积分值。目前，对于格林公式的应用已经有了很多研究，并且提出的许多方法是非常值得学习借鉴的。格林公式的出现创建了一个平面二维区域D上的二重积分和其边界范围L上的曲线积分之间的内在关联，并且表明二者可以相互转化数值，根据这个结论，我们就可以用格林公式的方法来解决很多复杂的数学问题，比如：求解一个平面图形的面积，求解一个曲线积分的值、以及简化二重积分的计算、证明积分和路径不相关等等，因此格林公式的应用十分广泛。研究格林公式能够进一步奠定曲线积分的数学里程碑。本文主要从两个方面着手，一是格林公式的相关性证明，给出了为什么我们可以在一个平面二维区域D上创建二重积分与在该闭区域的边界范围L上创建曲线积分之间的等式；二是运用格林公式来解决数学问题中的一些实例。其实，不论是在数学的领域，还是在物理的领域内，格林公式都拥有着不可或缺的重要位置。所以，理解运用好格林公式对解决数学问题和物理问题都有着很为关键的作用，这就是格林公式所拥有的独特价值。2格林公式的证明2.1问题的提出牛顿-莱布尼茨公式的提出给出了定积分与不定积分的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则有abfxdx=Fb−Fa，它的提出使得定积分的计算更加简单化，该公式说明，一个函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分可以用它的原函数F(x)在区间端点处的值来表示。由此可以提出猜测：牛顿-莱布尼茨公式这种把整体运算转换为边界运算的方法是否同样也可以适用于二重积分呢？不言而喻的是二重积分它的积分区域是一个平面区域，区域的边界也就是一条曲线，那么该平面区域的积分是否同样和边界曲线上的积分有着某种联系呢？那么该区域的二重积分是否可以表示成呢，也就是说，是否可以表示成，如果上述等式猜想成立，那么在函数f(x,y),P(x,y),Q(x,y)一定存在着某种联系。以下从等式左右两端分别计算，来寻找这些函数之间的关系。（1）假设平面区域D是X-型区域，即D=(x,y)|a≤x≤b,ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)，D=ab而当曲线L分段光滑时，此时，ϕ1LP(x,y)dx=−综合（1），（2）可得：当Px,y=−F(x,y)时，即D（2）假设平面区域D是Y-型区域，即D=x,y|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2D=cd而当曲线L分段光滑时，换句话说，即ψ1LQ(x,y)dy=综合（3），（4）可得：当Qx,y=F(x,y)，即D综上所述，如若二重积分的一个积分区域D既为X-型的区域，又为Y-型的区域，且都具有f(x,y)=∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y，那么当P(x,y)，Q(x,y)在D上满足了拥有一阶连续偏导这一条件时，并且当这个有界闭区域D2.2预备知识2.2.1单连通区域、复连通区域定义：设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。（简单来说，就是平面区域D内如果有“洞眼”，则为复连通区域）如下图所示。单连通区域复连通区域DDDDD2D2D1图1单连通区域图图2复连通区域图如：D1=x,y|2.2.2有界闭区域D的边界曲线L的正向LL=L1+L2xxyL1LL=L1+L2xxyL1L2y图3单连通区域正向图图4复连通区域正向图由此可以看出，沿着边界范围曲线的逆时针方向而取是平面单连通区域的正方向；但平面复连通区域区别于前者的单连通区域，对于复连通区域边界范围曲线的最外圈来说，逆时针方向是该区域的正方向，而复连通区域的里圈相反，顺时针方向是它里圈的正方向。欲证：D只须证：D只须证：D∂Q∂xdxdy=2.3积分区域为X-型区域、Y-型区域的证明证明：若D既是X-型区域，又是Y-型区域，如下图所示，则D可以表示为：D：ϕ1（x）≤y≤ϕ2(x)D：a≤x≤bc≤y≤d图5X、Y-型区域图分析：由D是Y-型区域可以令它的左侧边界范围线为L1，方程表示为x=ψ1(y)，右侧的边界范围线为L2，方程表示为x=ψ2(y),那么D的边界范围线L就是由L1和L2组合而成的，并且是每段均为光滑的闭曲线，如果函数P（x,y）Q（x,y）则：D====即：D∂Q∂xdxdy=同理：由D是X-型区域可以令它的上侧边界范围线为L1，方程表示为y=ϕ2x，下侧的边界范围线为L2，方程表示为y=ϕ1(x),那么D的边界范围L是由L1和L2组合而成的，并且是每段均为光滑的闭曲线，如果函数P（x,y）Q（x,y）D=−[===L即：D(−∂P∂y)dxdy=（5）、（6）两式相加得：D2.4积分区域为非X-型区域、Y-型区域的证明若区域D不满足以上条件，则可将其分割为有限个既是X-型又是Y-型区域，如下图所示：图6非X、Y-型区域图则有：D===LPdx+Qdy2.5积分区域为复连通区域的证明DL1DL1L2L3图7复连通区域图那么对于一个复连通的区域D来讲，格林公式右侧的是曲线积分，这里的曲线指的是概括沿区域D的所有曲线，需要注意的是方向问题，每条曲线都要选正向。此时可以适当地添加辅助线AB，CE，把图形转化为如图8所示，连接了AB，CE后，D的边界曲线就是由AB，AFC，CE，L2，L3，EC，CGA组合而成。图8辅助线图证明：D={=（=格林公式在本质上就是创建了一个平面二维区域的二重积分与该区域范围内在边界上的曲线积分这二者中间的关系，是公式——牛顿-莱布尼茨对于一个平面的扩推，格林公式的结论能够轻易地实现曲线积分、二重积分二者之间的转化，故而在解题过程中，经常利用格林公式这一解题纽带，来将复杂繁琐的曲线积分进行转变，或是将二重积分化曲线积分来更轻松地解决问题。这里需要我们注意的是：注意公式的使用条件：L是D的正向边界范围曲线（即是有方向的），L是封闭曲线（即是封闭的），P（x,y），Q（x,y）在D上有一阶连续偏导数（即是连续的）。对于一个复连通的区域D而言，格林公式右端的每一条曲线进行积分时值得我们特别注意，（这里的每一条曲线指的是所有概括区域D的边界）并且，每条曲线的方向对该区域D来讲都要选取正向。公式的记忆方法：D4）L3格林公式的应用3.1格林公式在计算平面图形的面积方面的应用格林公式：D取P=0，Q=A=取P=−y，Q=A=取P=−y,2闭区域D的面积：A=推论：由正方向且为封闭的曲线L所包围构成的区域D的面积表达式为：A=例1：用格林公式求星形线x=acos3y=a解：用L表示该星形线，选取正方向，用D表示该星形线所包围的区域，θ的范围在：0≤θ≤2π由格林公式推导出的面积公式为：S=======例2：如果一个平面且方向为正的多边形O1O2O3…O解：令P=0，D即S=则多边形O1S=对于线段O1O2k则有：dy=O将k12O同理，当xiO当xi=xO∴S=事实上，这个公式在解决计算领土面积问题中发挥了重要作用，GPS测量仪的工作原理就是如此，先记录多边形各顶点的坐标，再将这些点坐标带入公式中即可获得多边形区域的面积，我国领海的面积就是这么计算得来的，在这里，对于不规则的图形而言，我们都把它分割成无数个直线段，这里运用了以直代曲的思想。3.2格林公式在计算曲线积分方面的应用分析：由于运用格林公式需要满足两个条件，一是曲线L封闭，二是函数Px,y,Qx,y在D上具有一阶连续偏导，但是若题目中不满足L例1：计算曲线积分Cxy2dy−x解：P=−x2设曲线C所围成的区域为D,并且P，Q在D上有一阶连续偏导数。由格林公式有：C例2：求解曲线积分I=Lxdy−ydxx解：P=−yxDLy当原点(0,0)∉D时，如图所示：xDLy图9(0,0)∉D则∂P∂yI=由格林公式立即可得。xDlLy②当原点(0,0)∈D时，如图所示：xDlLy图10(0,0)∈D图此时取曲线l：x2记L和l围成D，而l围成D则I====−==2π3.3格林公式在计算二重积分方面的应用分析：在求解较为复杂的二重积分时，可以运用格林公式，把繁杂难以计算的二重积分变换为较为简洁的该区域边界范围曲线的曲线积分，这里我们只需要找清楚P与Q的函数表达式即可进行运算。例1：计算I=De−y2dxdy，其中D图11D型区域图解：如上图所示，令P=0,Q=xe−y2D====3.4格林公式在证明积分与路径无关方面的应用定义：设D为一平面区域，取D内任意两点A、B并且任意取两条D内从A到B的曲线L1，L2恒有L1Pdx+Qdy=L等价定义：设D为一平面区域，若对D内任意一条闭曲线C，恒有CPdx+Qdy=0成立，则称LPdx+Qdy定理：设D是一单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内有连续一阶偏导数，则曲线积分LPdx+Qdy在D内与路径无关∂Q∂x=∂P∂y，由上述知：当有∂Q∂x=∂P图12积分路径图x0=（或）=分析：在解决积分和路径是否有关这方面的问题时，首先要明确找出P和Q的函数表达式，再运用格林公式的推论，只要满足∂Q∂x例1：设f(x)在−∞，+∞内满足有着连续一阶偏导数这一条件，并且在上半平面y>0的范围内，L是由每段均为光滑且有向的曲线组合而成，起始点是a,b，终止点是c,d，记I=证明：曲线积分I的值和路径不相关当ab=cd时，求I的值解:（1）证明：∵∂Q则LPdx+Qdy在(2) L===1=c例2：设L是任意一条有向闭曲线，证明：L2xydx+x证明：（1）这里P=2xy,Q=x∂P则有：∂Q设L围成区域D，由格林公式有：L2xydx+这里P=f(x),Q=0,故∂P设L围成区域D，由格林公式有Lf(x)dx=03.5格林公式在二元函数中的全微分求积问题方面的应用定理：设D是一个单连通区域，函数P（x,y）,Q(x,y)在D内有连续一阶偏导，则Pdx+Qdy在D内为某一函数u(x,y)的全微分（此时也称u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数）∂Q∂x=∂P∂y，分析：在应用格林公式求原函数这种问题时，需要先明确找出P与Q的函数关系式，然后运用相应的结论，看题目中是否有关系∂P∂y=∂Q例1：验证：在一个右半平面x＞0的领域内，某个函数的全微分为xdy−ydxx解：由x＞0有该区域是单连通区域，这里，P=−yx∵∂P∂y∴则Pdx+Qdy在x＞0上是u(x,y)的全微分，即du=以下求u(x,y)：u(x,y)===0+=例2：试用曲线积分求2x+sin解：由于∂∂y因此可以取x0u(x,y)=4小结在定积分的学习过程中，我们掌握了一个基本的公式——牛顿-莱布尼茨公式a