2025年湖北省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖北省高考数学模拟试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（5分）设集合力={£€N|y=生有eN},则集合4的真子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

-1

2.(5分)若复数Z满足-=-i,则闾等于（）

Z

1V2

A.-B.一C.V2D.2

22

TTTT,TT

3.(5分)已知向量Q=（1，t），b=(—3,1),且(2a+b)lb,贝“a—口=(

A.5B.2V5C.D.2V6

1

(5分-

-，

4.2

117

ABC

一--

•639D.

5.（5分）如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出

来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体

积之比为（）

（—2ax—1♦xV2

6.（5分）已知函数/（%）=，贝！1。三2”是“/（x）在R上单调递增”的（）

\loga（x-1）+2a,x>2

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

7.（5分）已知函数/（x）=sinx（xG[O,Tt]）和函数g（x）=■Itanx的图象相交于B,C三点，则△48C

第1页（共16页）

的面积为（)

8.（5分）已知函数>=/（x）（x=0）满足f（xy）=/（x）+f（y）-1,当x>l时，/（x）<1,贝lj（）

A./（x）为奇函数

B.若/（2x+l）>1,贝

C.若-2）=.，则/（1024）=-4

11

D.若/弓）=2,财八壶）=10

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂

交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究

所调查某地水稻的株高，得出株高F（单位：cm）近似服从正态分布N（100,IO?）.已知x〜N（H，O

2）时，有P（区-TW。）-0.6827,P（|X-N|W2。）七0.9545,P（因-国（3。）处0.9973.下列说

法正确的是（）

A.该地水稻的平均株高约为100cm

B.该地水稻株高的方差约为100

C.该地株高超过110cm的水稻约占68.27%

D.该地株高低于130cm的水稻约占99.87%

（多选）10.（6分）设函数/（x）=2x3-3ax2+l,贝I］（）

A.当a>l时，f（x）有三个零点

B.当。<0时，x=0是/G）的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在°,使得点（1,/（1））为曲线y=/（x）的对称中心

（多选）11.（6分）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加

量为S=/（x）,则下列说法正确的是（）

第2页（共16页）

图I图2

A兀、1

A-"6）=4

B./（x）的图像关于直线x=多寸称

C.S的最大值为6-4a

D.S的最大值为3—2近

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知函数/（x）=2%-。・2一”是偶函数，则〃=.

13.（5分）若双曲线a—y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线6x-3y+l=0垂直，则该双曲线的离心率

为.

14.（5分）在概率论中，全概率公式指的是：设。为样本空间，若事件/1,Ai,4,两两互斥，/1U/2

U…U/”=Q，则对任意的事件BUQ,有尸（2）=P（出）P（⑹/1）+P（如）P（为血）+---+P（4,）

P（引也）.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球（xCN）、3个红球、2个黑

球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒

中取出的球颜色相同的概率大于等于静，则x的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）在△/3C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,S为△/3C的面积，且4百S=a?-（b-c）2.

（1）求角4

（2）求生二的取值范围.

a

/v21

16.（15分）已知椭圆C：7■+记=1（。＞6＞。）的右顶点为4（2,0）,离心率为

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点/的直线/与椭圆。交于另一点3,若|/同=竽，求直线/的方程.

17.（15分）如图，在三棱锥S-48c中，底面/2C是正三角形，AB=4,SA=SC=2®侧面S/CL底

面48C,D,£分别为S3的中点.

第3页（共16页）

(I)求证：ACLSB-,

(II)求直线SC与平面ECD所成角的正弦值;

(III)求二面角E-CD-B的余弦值.

(1)若/'(x)，。恒成立，求a的最小值；

,、e~x

(2)求证：---+x+Inx-1>0；

X

(3)已知左(/工+一)恒成立，求人的取值范围.

19.(17分)若数列｛斯｝的各项均为正数，对任意“CN*,有延+12册+2即，则称数列｛即｝为“对数凹性”

数列.

(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

(2)若函数/(无)=%++为/+/炉有三个零点，其中历>0(z=l,2,3,4).

证明：数列加，bl,b3,b4为“对数凹性”数列；

(3)若数列｛Cn｝的各项均为正数，C2>C1，记｛Cn｝的前〃项和为S”Wn^^Sn,对任意三个不相等正

整数0,q,r,存在常数使得(p-q)Wr+(q-r)Wp+(r-p)Wq=t.

证明：数列｛S〃｝为“对数凹性”数列.

第4页(共16页)

2025年湖北省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.(5分)设集合4={xeN[y=]geN},则集合/的真子集个数为()

A.7B.8C.15D.16

17

【解答】解：由y=^eN且X6N可知，x+3可以取3,4,6,12,则x可取0,1,3,9,

即/={0,1,3,9},故集合/的真子集个数为24-1=15.

故选：C.

2.(5分)若复数2满足一=-3则团等于()

z

A.-B.—C.V2D.2

22

1

【解答】解：若复数Z满足-=«-i，

Z

[H|i1乃+i

则2=石=丁

米甲4

故选：A.

TTTTTTT

3.(5分)已知向量a=(l,t),b=(—3,1),且(2a+b)lb,贝!||a—b|=()

A.5B.2V5C.2V7D.2V6

【解答】解：由题意，2a+b=(2,2t)+(—3,=2t+1),(2a+b)_L匕=(2a+b)•b=

3+21+1=21+4=0,解得t=-2,

tTT

故a-b-bIa-—»b

(43p)

故sir

选h4

i,

1

分

1)若)-

)?-2"

1172

Bc

一--

A.6-39D.3

,1

【解答】解：因为sin(a+p)=sinacosB+sin0cosa=2,

又tana=5tanP，

第5页(共16页)

sinaSsinp

所以----=-----,BPsinacosB=5sinBcosa,

cosacosp

51

所以sinacosP=迪，sin0cosa二诵，

贝Usin(a-p)=sinacosP-sin0cosa=亍

故选：B,

5.(5分)如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出

来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体

【解答】解：设半球的半径为八圆锥的母线长为/,则圆锥的高〃=62一

・・,圆锥形脆皮筒的侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，

/.^7=2X271^,.*./=4r,.\h=V15r,

^7rr2xV15r在耳

...此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为一^—=—

铲了乙

故选：B.

_%22ax_1x<^2

'，则“aN2”是“/(x)在R上单调递增”的()

loga(x-1)+2a,x>2

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

【解答】解：因为/(x)在R上单调递增，

a>2fa>2

所以，a>l=><CL>1=2<a<

-4+4a—1<logJ+2a<|-

第6页(共16页)

所以是2WaW擀的必要不充分条件，即a22是“/(X)在R上单调递增”的必要不充分条件.

故选：C.

7.(5分)已知函数/(x)=sinr(xG[O,TT])和函数g(x)=Itanx的图象相交于N,B,C三点，则△4BC

的面积为()

TT2TT37r47r

A,gB-TC.=D.M

【解答】解：•函数/(x)=sinx(xE[O,n])和函数g(x)=的图象相交于4,B,C三点，

由sinx='tanx,可得sinx=O,或cosx=.

即sinx=O,或sinx=引

..4

・・x=0,x=ir,x~~arcsin~»

…44

・••可设/(0,0),B(arcsin-,-C(TT,0),

142TT

则△45C的面积为,

故选：B.

8.(5分)已知函数(x)(xWO)满足f(盯)=f(x)+f(y)-1,当x>l时，/(x)VI,贝!J()

A./(x)为奇函数

B.若/(2x+l)>1,则-l<x<0

C.若f(2)=.，则/(1024)=-4

D.若f©)=2,则f(表)=10

【解答】解：令x=l,y=~1,则/(I)=1；

令x=-1,y=-1,则/(-1)=1.

令^=-L得/(-x)=f(x),

故>=/(x)(xWO)为偶函数，故4不正确；

%2

任取XI，X2G(0,+°°),X1<X2，则一>1,

.%?

则f(X2)=f(XI)+f(—)-l<f(xi),

故(x)(xWO)在(0,+8)上为减函数.

由已知/(2x+l)>1,可得/(|2x+l|)>/(1),

第7页（共16页）

1

故|2x+l|<l,解得且xK-之，故2不正确；

若/(2)=去则/(1024)(210)=/(29)+f(2)-l=10f(2)-9=-4,故C正确；

1,1111

若/(5)=2,则/(豆)=2f(-)-1=3,/(-4)=2/(-2)-1=5,

乙乙乙乙乙

11111

/(k)=f<7)V<^5)-1=6,所以/(而工)="(k)-1=11，故。不正确・

ZZZJ.UZ4Z

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂

交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究

所调查某地水稻的株高，得出株高F(单位：cm)近似服从正态分布N(100,102).已知X〜N(p,。

2)时，有尸(|X-n|W。)^0.6827,P(|X-n|W2。)仁0.9545,P(因-川・3。)^0.9973.下列说

法正确的是()

A.该地水稻的平均株高约为IOOC/M

B.该地水稻株高的方差约为100

C.该地株高超过110cm的水稻约占68.27%

D.该地株高低于130cm的水稻约占99.87%

【解答】解：由题意可知，四=100,o2=102=100,故/,8正确，

11

P(X>110)=|x[l-P(90<JT<110)(1-0.6827)=0.15865处15.865%,故C错误，

P(XV130)=1-J[1-P(70<JV<130)]=1-^0.99865^99.87%,故。正确.

故选：ABD.

(多选)10.(6分)设函数f(x)=2?-3°『+1,贝!]()

A.当a>\时，f(x)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(1))为曲线y=/(x)的对称中心

【解答】解：由/"(x)=2x3-3ax2+l,得/(x)=6x(x-a),

对于4当。>1时，/(x)在(0,。)上单调递减，在(-8,0)和(d+oo)上单调递增；

/(x)的极大值/(0)=1>0,/(x)的极小值/(a)=1-a3<0,所以/(x)有三个零点，故/正确；

第8页(共16页)

对于8,当a<0时，/（x）在（a,0）上单调递减，在（-8,。）和（o,+8）上单调递增，x=0是

极小值点，故2错误；

对于C,任何三次函数不存在对称轴，故C错误；

对于。，当。=2时，f（x）=2x3-6^+1=2（x-1）3-6（x-1）-3,关于点（1,-3）中心对称，

故。正确.

故选：AD.

（多选）11.（6分）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转xG为锐角），记表面积增加

量为S=/（x）,则下列说法正确的是（）

黜

图1

A£f兀、1

A."G）=4

B./（x）的图像关于直线x=多寸称

C.S的最大值为6-4鱼

D.S的最大值为3—2近

【解答】解：图中阴影部分表面积增加量S,假设斜边长为a,

则acosx+asinx+a=1①，

所以S=/（%）=2-acosx•asinx-8=26z2sin2x,

对于选项当％=看时，由①式得，a=乡3G

所以S=/（x）=2x（与1）2义:=包注，故力错误；

对于选项5,sin2x的对称轴为2%=5+/CTT=>%=与+苧兀，脏Z,

当左=0时，x=争

即/G）的图像关于直线汽对称，故5正确;

对于选项。、D,S=4a2siwccosx,

第9页（共16页）

因为sinxcosx<⑸,当且仅当sinx=cosx时，等号成立，

又由①可得，sinx+cosx=V2sin(x+*)=

所以SW4a2x(S成丁SX)2=〃x(m)2=(i)2,

因为x为锐角，所以xe(0,1),

――>TT7T37r

所以1十工€(―,—

444

所以&sin(x+/=(1,V2],

1

所以tzG[V2-1,-),

1

所以(1-Q)G(-,2-V2],

所以(1-Q)2<(2-V2)2=6-4近,

即SW6-4鱼，故。正确，。错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知函数/(%)=2%-。・2一”是偶函数，则4=-1.

【解答】解：・・•函数/(%)=2%-〃・2汽xCR是偶函数，

11

.*./(-1)=f(1),则5-2a=2--a,解得Q=-1,

当a=-1时，f(x)=2%+2%,

(-x)=2~x+2x=f(x),故/(%)是偶函数.

综上所述，a=-1.

故答案为：-1.

13.(5分)若双曲线葭一丁=1(口>0)的一条渐近线与直线6x-3y+l=0垂直，则该双曲线的离心率

*V5

为一1■一.

【解答】解：双曲线7―y2=i(a>0)的渐近线方程为y=±《x,直线6x-3尹1=0斜率为2,

由一条渐近线与直线垂直得-/x2=-1,解得。=2,

所以离心率为e=耳比=等^=卓.

故答案为：y.

第10页(共16页)

14.（5分）在概率论中，全概率公式指的是：设。为样本空间，若事件〃，A2,4两两互斥，/1U/2

U…0/“=。，则对任意的事件8UQ,有P（8）=P（小）P（用小）+P（血）P（8出）+---+P（A„）

P（耳/〃）.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球（xCN）、3个红球、2个黑

球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒

中取出的球颜色相同的概率大于等于卷，则x的最大值为6.

【解答】解：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为/1，A2,A3,

从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为2,

则尸⑻=尸（出）尸⑷4）+尸。2）尸的2）+尸（出）尸（即3）=£浜+|•象+1磊=靠卷,

因为P(B)>

〜,2%+135

所以充拓-五’

解得xW6,

则X的最大值为6.

故答案为：6.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）在△/3C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,S为△/3C的面积，且4百S=a?-（b-c）2.

（1）求角4

（2）求生二的取值范围.

a

【解答】解：（1）由余弦定理知*a2=Z>2+c2-IbccosA,

所以『-（b2+c2）=-2bccosA,

因为4百S=a2—（b—c）2,

1

所以4V3•—&csiiL4=6Z2-（b2+c2）+2bc=-2bccosA+2bc,

整理得V^siiU+cosZ=1,

所以2sin（/+看）—b即sin（—+卷）=）

因为4c（0,ii）,所以即4=

663

2IT

（2）由Cl）知/=等

所以8+C=

第11页（共16页）

b2+c2sin2B+sin2C4

由正弦定理知,=~(sin25+sin2C),

a2sin2,A3

rc兀,V3

而sin25+sin2Csin25+sin2(——Bsin95+(z—cosB—isinB)2

32

%出+*(1-sin25)一字sinScosB

31l—cos2BV331TT

'COS8+4=2•---~~s;in25+4=--^sin(25+石)+1,

__7T,TT7157rTT1

因为t(0,]),所以25+石6N-),sin(25+石)E(5,1],

113

所以sin25+sin2c=—Rn(25+,)+16[—,—

房+。242

所以--n-=—(sin25+sin2C)€[二,1),

a433

b2+c22

即一厂的取值范围为仁，1).

a乙3

%2y21

16.(15分)已知椭圆C：9+会=1(a>b>0)的右顶点为4(2,0),离心率为了

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点/的直线/与椭圆。交于另一点3,若|/同=衿@，求直线/的方程-

【解答】解：(1)由题意可得，。=2.

因为e=W=*，所以c=l，b=Va2—c2=V3,

x2y2

故椭圆C的方程为,+—=1;

43

(2)由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为夕=后(x-2).

身工艺_1

联立43，得(4乒+3)--16庐x+16F-12=0,

y=k(x-2)

易知△>0,设8易2,”)，

则加=璞青,

8k2—6-12k

所以％2=y2=

因为|4切2=(小-2)2+%=(,2

由[、“8k2—621c-12k、2

所以(际—2)2+(许)2=f(2

即(F-l)(32F+31)=0,解得左=土1,

所以直线/的方程为＞=土(x-2),BPx+y-2—0.

第12页(共16页)

17.(15分)如图，在三棱锥S-/8C中，底面/3C是正三角形，4B=4,SA=SC=2^,侧面“C，底

面NBC,D,E分别为48,S2的中点.

(I)求证：ACLSB-,

(II)求直线SC与平面ECD所成角的正弦值;

(III)求二面角E-CZ>-B的余弦值.

【解答】(I)证明：取/C的中点，连接02,0S.

'：SA=SC,AB=CB,

：.ACLSO,ACLBO.

又•.•平面S/C_L平面ABC,

且zC是平面与平面的交线，

；.S0_L平面N3C.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.…(1分)

由已知得/(2,0,0),B(0,2V3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2四)，D(1,V3,0),E(0,

V3,V2).

/.AC=(-4,0,0),SB=(0,2V3,-2V2).

—>—»

：.AC-SB=(-4,0,0)•(0,2V3,-2V2)=0,

C.ACLSB.…(5分)

->T->

(II)解：CE=(2,V3,V2),DE=(-1,0,V2).SC=(-2,0,-2夜).

设平面ECD的法向量为臣=(x,y,z),

T—TT

\*n*CE=0,n9DE=0

.(2x+V3y+V2z=0

I—%+V2z=0

令z=l,则x=a,y=-V6.

故7=(V2,-V6,1)为平面ECD的一个法向量.…(8分)

第13页(共16页)

-4722V6

则a>=

cos<n,3X275--

|n|-|5C|

直线SC与平面ECD所成角的正弦值为一半.…(10分)

y

(III)解：由(II)可知蔡=(V2,-V6,1)为平面ECD的一个法向量,

―>

而。S=(0,0,2V2),为平面8c。的一个法向量.

设二面角E-CD-B的大小为。，易知二面角E-CD-B是锐角,

->T

.n「OS2V21

••cos。-1TTI=二=3

171110sl3X2,2J

1

工二面角的余弦值等于］…(13分)

(1)若/(%)20恒成立，求。的最小值；

e~x

(2)求证：---+%+Inx-1>0；

x

(3)已知左(/%+/)2%-动吠恒成立，求左的取值范围.

【解答】解：(1)因为函数/(x)=ax-lnx-1,x>0,所以不等式/(x)20等价于a2

X

人1、Znx+1口m.1,,、％©+0)-(伍％+1)Inx甘出

令g(x)=---,且x>0,贝Ijg(x)=—-----p----------二一转，其中

当(0,1)时，g'(x)>0,当(1,+°°)时，gr(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+°°)上单调递减，

所以g(%)max=g(1)=1，

所以。21,即。的最小值为1.

(2)证明：当。=1时，由(1)得12配什1,即£2历什1,其中>0.

x

第14页(共16页)

e~x

所以--->—x—Inx+1,

x

口L

即---+%+Inx—1>0.

x

(3)因为左(e%+/)三%-》瓦广恒成立，即+%)21—仇久恒成立,

p—X..

所以仁置一

p—X

e~x一、

由(2)知一+x+Znx-1>0恒成立,

x

p—X.y

—^—\-x+lnx—l

所以1—p-X<1,

所以后21,