《完全信息静态博弈综述》2900字

完全信息静态博弈综述1.1纳什均衡纳什（JohnForbesNashJr，1928年6月13日—2015年5月23日）是一位著名的美国数学家以及经济学家，他不仅仅在博弈论做出了巨大贡献，也在微分几何以及偏微分方程等领域成就非凡。在他的下半生任教于普林斯顿大学时，他的博弈理论随着时代的发展在经济学中得到了广泛的应用，这也使他获得了1994年诺贝尔经济学奖。2015年，他又因在非线性偏微分方程方面的工作而与路易斯·尼伦贝格（LouisNirenberg）共同获得了阿贝尔奖。纳什是迄今为止唯一同时获得过诺贝尔经济学奖和阿贝尔奖的人。1959年，纳什开始明显出现精神病迹象，随后花了数年在精神病院接受相关的精神治疗。上世纪70年代之后，他成功克服病魔。并在在1980年代中期重返学术领域。这些传奇经历后来成为了《美丽心灵》的原型。对于博弈论，纳什所做出的巨大贡献主要表现在两方面：在合作博弈方面，他于1950年发表的论文

《TheBargainingProblem》中提出了讨价还价模型；在非合作博弈方面，他贡献非常巨大。他在1950所发表的论文《EquilibriumPointsinN-personGame》以及1951年所发表的论文《Non-cooperativeGames》中明确定义了非合作博弈，也随之提出了非合作博弈的均衡解，并且使用数学方法严格证明了非合作博弈均衡解的存在性。这些巨大的贡献奠定了非合作博弈的基础，也使得他在论文中所定义的均衡被后世的数学家、经济学家以及各种运用博弈论的学者称之为纳什均衡（Nashequilibrium）。下面，我们主要介绍纳什在非合作博弈相关的理论，即纳什均衡。首先需要介绍的是纳什均衡的定义：不妨设博弈的参与者有n个，在明确其他任意博弈参与者的策略下，每一个参与者决定出自己的最优策略，需要指明的是每个人的最优策略可能与其他参与者的策略相关，也可能与其他参与者的策略无关，这样所有参与者所选择的策略一起构成了一个策略组合(StrategyProfile)。纳什均衡指的就是这样一种策略组合，每一个参与者都采用的是最优策略，即对于每个参与者来说，如果其他人不主动改变自身的策略，他就无法取得更大受益。换句话说：没有人有积极性改变自己所选择的策略。1.2纳什均衡的例子及应用介绍纳什均衡，其实不应该避开艾尔特.W.塔克所提出的囚徒困境，但考虑篇幅有限，本文主要介绍纳什均衡的另外两个例子：古诺寡头博弈模型与豪泰林博弈模型，这两个模型都是典型的纳什均衡在经济学中的应用，但又早于纳什均衡的提出，则这两者既可以阐释纳什均衡，又可以揭示博弈论思想萌芽的出现。首先介绍古诺寡头博弈模型，古诺（AntoineAugustinCournot，1801年8月28日—1877年3月31日）是法国著名的哲学家、数学家以及经济学家。1838年，他出版了不朽的巨作《财富理论的数学原理研究》（ResearchesontheMathematicalPrinciplesoftheTheoryofWealth），在这本书中，他首次将数学公式和符号应用到了实际的经济分析中，巧妙地给出了许多数学模型。但其超前的思想在当时不为当时的大多数经济学家所接受，甚至还受到批评。但这不妨碍多年后的今天，古诺的理论被广泛应用，甚至被许多经济学家是现代经济分析的起点。下面我们要介绍的是这本著作中最广为流传的模型：古诺寡头博弈模型。古诺寡头博弈模型来源于古诺对两个矿泉水生产企业的描述，基于如下的假设：（1）企业数量大于等于2，所有企业都生产一样的产品，即产品没有实质性差异。（2）企业之间不合作，即企业之间不沟通产量。（3）企业都具有市场影响力，即每个企业的产量多少都会影响产品的价格，（4）企业的数目是固定的，即不存在新企业进入。（5）企业在数量上竞争并且同时选择数量。（6）企业为理性的，追求最大利益。我们讨论两个企业的情形：企业1、企业2，同时明确每个企业的策略是选择生产多少数量的产品；支付是利润，是关于两个企业产量的函数。首先用表示企业的生产数量，其次用表示生产过程中的成本函数，最后用表示逆需求函数，需要说明的是是价格，表示原需求函数。则可以得到关于第个企业的利润函数为：如果用来表示纳什均衡的产量则有：在数学上寻找纳什均衡的方法之一：求导，并找出其一阶导数值为0的点：由此可以由上确定两个反应函数：纳什均衡即为的交点，如下图1：图1从模型的介绍中我们可以清晰感受到古诺寡头博弈模型中关于纳什均衡的萌芽，其可以说得上是纳什均衡有记载的最早版本。但遗憾的是古诺的工作被认作博弈论理论的先驱是在1955年才被Shubik发现，就如同《财富理论的数学原理研究》的认同来得迟一样，古诺对博弈论的贡献获得认可也姗姗来迟。下面开始介绍豪泰林（Hotelling）价格竞争模型，豪泰林（HaroldHotelling，1895年9月29日—1973年12月26日）是美国的数理统计学家和理论经济学家。他曾任教于斯坦福大学、哥伦比亚大学、北卡罗来纳大学教堂山分校等大学。他最杰出的成就是开发主成分分析方法，这种方法被广泛应用于金融、统计、计算机等领域。在去世前一年，因为其一生在各个领域杰出的贡献，其被授予了NorthCarolinaAward。本文将介绍的豪泰林价格竞争模型就来自于他1929的论文《StabilityinCompetition》。豪泰林价格竞争模型是基于如下假设的：（1）城市为一条长度为1的线段，所有的居民均匀分布在这条线段上；（2）这条线段的两端各分布着一家超市；（3）每家超市的商品是同质的，成本为；（4）居民购买商品的单位旅游成本为；（5）在线段上存在一点，两家超市对该点上居民无差异，该点往左的居民会选择商店1，往右反之。用与表示超市的商品价格和可售出商品数量。我们可以简化成如2图的位置关系：图2由假设（3）有：可解出：则商店分别售出的商品数量如下：可将两家商店的利润表示为:如古诺模型处理方法：则可得均衡价格：这两个模型都是纳什均衡在经济学中应用的典型案例，并且都早于纳什均衡出现，这说明了博弈论的出现与发展，并不是一个人的奇思妙想，而是来源于各种案例以及问题的积累。1.3相关均衡在纳什均衡中，每个人都是独立行动的，但在实际情况下，博弈策略的选择可能有相关性的。比如：参与者1、参与者2两位参与者，在博弈前一天约定根据明天的天气情况来选择策略。比如：晴天：参与者1选择策略1、参与者2选择策略2；阴天：参与者1选择策略3、参与者2选择策略4.这样通过天气的变化，他们之间的选择就出现相关了。这就要引出奥曼的相关均衡来解决问题了。奥曼(Robert

John

Aumann，1930年6月8日-)，是一位出生于德国的犹太人。在二战期间期间逃亡美国，后在美国取得数学的学士、硕士、博士学位，成为了一位数学家、经济学家，因其在博弈论领域做出的卓越贡献获得了2005的诺贝尔经济学奖。他一生致力于研究博弈论，在博弈论领域做出过许多重大成果，如：博弈论中关于常识的第一个纯形式的解释、与劳埃德·沙普利（Lloyd

Shapley）合作研究了Aumann–Shapley值等。但他最广泛传播的成果1974年发表论文《Subjectivityandcorrelationinrandomizedstrategies》中提出的相关均衡。

在这篇论文中，奥曼证明了如果博弈参与人根据某个可以共同观测的信号选择行动，就会出现相关均衡，相关均衡可以使所有的博弈者受益。同时其中更为重要的是，奥曼还证明了在每个人收到不同但相关的信号下，每个人都可以去获得更高的效用。为了解释相关均衡可以是所有人受益，下面简要介绍一个关于相关均衡的例子，假如博弈者1、2的支付矩阵如下：表1易得该博弈有三个纳什