2024-2025学年北京市宣武区高二上册11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市宣武区高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共1小题）1．若向量，，则向量与A．不共线 B．垂直 C．平行 D．以上都不对二、多选题（本大题共1小题）2．直线的一个方向向量（

）A． B．C． D．三、单选题（本大题共8小题）3．直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．4．圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．5．已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（

）A．4 B．2 C． D．6．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（

）A．1 B． C．4 D．7．如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（

）A． B．C． D．8．圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．49．定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（

）A． B．C． D．10．已知曲线，则下列说法正确的有几个（

）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A．1 B．2 C．3 D．4四、填空题（本大题共5小题）11．直线与直线之间的距离为.12．已知椭圆的一个焦点为，则.13．如图，空间四边形中，6条棱长都为，且，，则（用，，表示）.

14．如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则.15．已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．五、解答题（本大题共6小题）16．已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点.(1)求出圆C的标准方程；(2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程.17．如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，.(1)求证：平面；(2)若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）.①直接写出，的坐标；②求异面直线与所成角的余弦值.18．在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B.(1)求轨迹C的方程；(2)求斜率k的取值范围；(3)当时，求A，B两点坐标.19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，.(1)若为棱的中点，求证：直线平面；(2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值.20．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上不同于，的一个动点.①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值；②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明.21．设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．(1)若，，且，求，，及；(2)若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；(3)若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．

答案1．【正确答案】C【详解】，所以向量与平行.2．【正确答案】CD【详解】由直线方程可得直线斜率，故直线的一个方向向量为.由向量与向量平行，可知也是直线的方向向量.故选：CD.3．【正确答案】C【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距.【详解】由题意可知，直线方程为，令，解得，所以直线在轴上的截距为.故选C.4．【正确答案】B【详解】圆的圆心为，半径.设点关于直线的对称点为，则，解得，故，圆方程为.故选：B.5．【正确答案】A【详解】椭圆方程可化为，故，长轴长为4.故选：A.6．【正确答案】C【详解】长方体，平面，平面，，，.故选：C.7．【正确答案】C【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为，由题意得，，则，，，由，得，，故.解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，由此可得.故选：C.8．【正确答案】A【详解】由题意得，圆心，半径，点和在变化过程中，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，圆心到直线的距离为，由得，，故，当时，.故选：A.9．【正确答案】B【详解】由题意知，，三个向量共面，则的一个充分条件即为三个向量不共面，对于A，与共线，所以，，三个向量共面，故A错误；对于B，由空间直角坐标系易知，，三个向量不共面，故B正确；对于C，，所以，，三个向量共面，故C错误；对于D，与共线，所以，，三个向量共面，故D错误.故选：B.10．【正确答案】C【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.11．【正确答案】【详解】两直线方程化成一般式得：，距离为.故12．【正确答案】【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且，所以，，则，.故答案为.13．【正确答案】【详解】.故答案为.14．【正确答案】15【详解】设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，.由图形对称得，.由椭圆定义得，，故，所以.故15.15．【正确答案】②③④【详解】设由中点坐标公式得,所以,因为在圆上,所以,即,即,所以点的轨迹是一个圆,方程为,是以为圆心,为半径的圆,所以点到原点的最大距离是,故①错误；因为，所以,若为等腰三角形，若,则,此时三点共线，不满足题意，若,则,满足题意，所以的周长等于，故②正确；由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,所以③正确；设，当时，，不是最大角，不为时，中，,当且仅当,即时取得等号，所以，故④正确.故②③④.16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）圆的圆心在y轴上且与切于点，可设圆心坐标为，则，解得，.所以圆心，半径，故圆的方程为.（2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为，根据圆的弦长公式，可得，即，解得，当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，可得，解得或，所以直线方程为或.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)①，；②.【详解】（1）证明：在菱形中，，又，，所以平面，平面，所以，侧面为菱形，对角线，相交于O，所以O为的中点，因为，所以，又，所以平面.（2）由（1）可知，，所以，，，所以，又，所以为等边三角形，所以，的中点为D，，所以，，，，，，故，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.18．【正确答案】(1)；(2)或；(3)或.【详解】（1）设，则，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故，故轨迹C的方程为；（2）过点且斜率为k的直线l的方程为，联立与得，，，解得或，故斜率k的取值范围是或；（3）时，，联立得，，解得或，当时，，当时，，故或.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连结，，因为为的中点，所以，，由，得，又，所以，，则四边形为平行四边形，有，又平面，平面，故平面；（2）平面平面，由已知得，设，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，，BC=0,1,0，设，则，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，即，取，则，，所以.易知底面的一个法向量为，由于二面角的大小为，所以，解得或（舍去），则，设直线与底面所成的角为，则，所以直线与底面所成角的正弦值为.20．【正确答案】(1)(2)①证明见解析；②过定点【详解】（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为；（2）①设，所以，则，由（1）可得，，则直线的方程为，令，解得，则，则直线的方程为，令，解得，则，所以，所以为定值1；②由①知直线的方程为，令，得，则，则直线的方程为，令，解得，则，又，所以的中点，又，所以圆的半径为，所以以线段为直径的圆的方程为，令，得，所以，故以线段为直径的圆经过定点.21．【正确答案】(1)，(2)4(3)见解析【分析】（1）根据和即可求解，（2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解，（3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解.【详解】（1）根据和可得，故，（2）设使得，则，所以．所以至少有3个元素个数相同的非空子集．当时，，其非空子集只有自身，不符题意．当时，，其非空子集只有，不符题意．当时，，元素个数为1的非空子集有，元素个数为2的非空子集有．当时，，不符题意．当时，，不符题意．当时，，令，则，．所以的最小值为（3）由题可知，，记为