专题22 全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（全国）（解析版）

专题22全等与相似模型之对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°） 1模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°） 7模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α） 13模型4.对角互补模型（相似模型） 18 31模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。对角互补模型（90°—90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，.例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）图1图2图3【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析.【分析】（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论；（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC．【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）；②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）PB＝PE还成立(3)PB＝PE还成立【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，则四边形PMCN是矩形，根据角平分线的性质可得PM=PN，根据四边形的内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据AAS证明△PBM≌△PEN，则可证明；（2）连接PD，根据正方形的性质和角平分线的性质，由“SAS”以及四边形的内角和得证；（3）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“AAS”可证.试题解析：(1)如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE(2)如图2，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE(3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE例3．（2024·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点.（1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）先证四边形为矩形，再证矩形为正方形，由正方形性质可得；（2）过点作于点，于点，证四边形为正方形，再证，可得；（3）根据，可得.【详解】解：（1）∵，，，∴四边形为矩形.∵是的角平分线，∴，∴，∴矩形为正方形，∴，.∴.（2）如图，过点作于点，于点，∵平分，，∴四边形为正方形，由（1）得：，在和中，，∴，∴，∴.（3），，∴.∵，，∴，∴，∴，的长度为.【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）对角互补模型（60°—120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。3）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。结论：PB+PC=PA；证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。例1．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键.例2．（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）是的角平分线在中，，同理：（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于由（1）知，，且点是的平分线上一点（3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．例3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB【分析】（1）如图1中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30度角性质即可解决问题．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题．（3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣CF=AB，证明方法类似（2）．【详解】解：（1）如图1中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“α对180°-α模型”条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正确，，定值，故③正确，定值，故②正确，的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是．【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解．【详解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)，【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）．【详解】（1），，证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°，同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；（2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；（3）成立，，，证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键．模型4.对角互补模型（相似模型）四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴，∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴，∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（）【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；（2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解．【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，，，，，，，，∴∠EDF，，在和中，，∴，，，即；（），理由如下：过点作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，，，设，则，，，，，，，四边形是矩形，，，又，，，，；如图4，当点在射线上时，过点作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，设，，，，，，，，四边形是矩形，，，又，，，，；当点在的延长线上时，如图5，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，设，，，，，，，，四边形是矩形，，，又，，，，；综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，；（3）解：连接，，，如图（1），的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动，∵点D为靠近B的四等分点，∴，由（2）得，∴当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图，∴，∴，∴∴，∴，∵，代入得，∴；当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴，∴如图，点M的运动轨迹即为的长，∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点E，交线段于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是的中点．理由如下：∵于点D，．∵点E是的中点，．，．是等边三角形．，．．又，．．即若点E是的中点，则点F也是的中点．反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是的中点．请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）若点E是的中点，则点F也是的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解．【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论；（2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；（3）由题意证明，，，由相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）于点D，，∵点E是的中点，，，，，，又，，，，即点F是的中点；（2）旋转过程中，若，那么等式成立．理由如下：，∴四边形是矩形，，，，；（3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立．理由如下：，，，，同理证得，则，，同理证得，则，，即．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．例3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：当时，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如图3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如图4图5图6，连接EF．在中，，，，如图4，当E在线段AC上时，在中，，，根据勾股定理得，，，或舍如图5，当E在AC延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或舍，③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或（舍），综上：或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．例4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持.(1)若，求证：①，②；(2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程；②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积.【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3)【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；②根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出；（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；②分类讨论，根据①的方法证明即可；（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度，进而即可求解．【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，∵是等边三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴，，∴，∴，∴，即，在中，，∴，∴；②证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，

当时，，即，是的中点，，，，，，，是等边三角形，，，根据（1）中的结论可得，；故线段之间的数量关系为；②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，同①，可得，，，，，同①可得，，即线段之间数量关系为；（3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，当与重合时，，则，∴是等边三角形，当与重合时，同理可得是等边三角形，∵，∴，∴，∵分别为的中点，∴则∴，则又∵∴∴∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，，，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点，∴∵是等边三角形，∴，∴，∴，过点作于点，则，∴，∴，即线段扫过的图形的面积为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．1.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，设BE=a，则DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

内剪取一个直角，点，，分别在，，边上．请完成如下探究：（1）当为的中点时，若，

（2）当，、时，的长为

【答案】/度【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有；（2）过点分别作于点，作于点，易证，可得，即，根据，有，，即；根据，得到，即，可得，即有，即．【详解】解：（1）如图1，连接，∵为的中点，∴，∴，∴，∵，，∴四点在同一个圆上，∴；

（2）如图2，过点分别作于点，作于点，则有：，∴，∴，∵∴，∴，∵，，∴又∵，∴，则有，即．∵，∴，即，∵，∴，即．【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

【答案】【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案．【详解】∵∴∴∵四边形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．设，则，，；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键．4．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则．【答案】6【分析】过点作，设与交于点，证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，即可获得答案．【详解】解：∵是等边三角形，边长为4，∴，，如图，过点作，设与交于点，又∵，，∴，又∵点为的中点，且，∴是的中位线，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键．5．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想，，之间的关系为________．（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；（2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】（1）如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵OC是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案为：=；（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH，∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对，故答案为：3；②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2；（4）如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知是中的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为．(1)当，，时，如图1，若，，则______，______；(2)如图2，当时，①求证：；②直接写出与，的数量关系；(3)如图3，当，，，时，请直接写出的大小．【答案】(1)，9；(2)①证明见解析；②；(3)．【分析】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．（1）证明，都是等腰直角三角形即可解决问题；（2）①如图中，过点作于点，于点证明；②由推出，把绕点逆时针旋转得到右边，连接，延长至点P，使，连接，证明，,可得,即可求解；（3）如图中，过点作于点，于点证明，推出，把绕点顺时针旋转得到，，，，过点作于点，利用含角的直角三角形性质和勾股定理求出，可得结论．【详解】（1）解：如图中，，，，，平分，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，故答案为：，；（2）①证明：如图中，过点作于点，于点．

，，平分，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，，；②解：，，，把绕点逆时针旋转得到右边，连接，延长至点P，使，连接，则，，，又，，，，，，，，，，；（3）解：如图中，过点作于点，于点．，，平分，，，，，，，，，，把绕点逆时针旋转得到，则，，，过点作于点，,，．7．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，，平分，点P为上一个动点，过点P作射线交于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点F．(1)根据题意补全图1；(2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系．【答案】(1)补图见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）作，得到，证明，得到，即可得出结论；（3）证明方法与（2）类似．【详解】（1）补图如下图：（2）作交于，，，，，平分，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）作交于，，，平分，，，，，，，，，在和中，，，，，，，．【点睛】本题属于几何变换综合体，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【分析】（1）因为是的平分线，所以，因为，所以，因为，可得，即证得；（2）作，垂足分别为点M和点N，证，可得，，，因为，，可得，证，可得，因为，所以，即，，可得的长；（3）证，可得，因为，所以，证，可得，已知，平分，可得，，求得，根据四边形的面积=四边形的面积、的面积的面积=2个的面积，求得的面积，可得四边形的面积．【详解】解：（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）作，垂足分别为点M和点N，∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：5；（3）作，垂足分别为点M和点N，由于绕点E旋转，点C的对应点F落在边上，即，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∵，∴四边形的面积，故答案为：．9．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．【答案】（1）将图1补全见解析；（2）证明见解析；（3）数量关系：当点F在AC边上时，；,当点F在AC延长线上时，．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可；（3）本题分点F在AC边上，点F在AC延长线上，两种情况分析即可.【详解】解：（1）如图1，

（2）想法1：证明：如图2，过D作，交AC于G，∵点D是BC边的中点，∴DG=AB．∴△CDG是等边三角形．∴∠EDB+∠EDG=120°．∵∠FDG+∠EDG=120°，∴∠EDB=∠FDG．∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，∴△BDE≌△GDF．∴DE=DF．想法2：证明：如图3，连接AD，∵点D是BC边的中点，∴AD是△ABC的对称轴．作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∴△ADE≌△ADP．∴DE=DP，∠AED=∠APD．∵∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°．∵∠APD+∠DPF=180°，∴∠AFD=∠DPF．∴DP=DF．∴DE=DF．想法3：证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC．∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM=DN．∵∠A=60°，∴∠MDE+∠EDN=120°．∵∠FDN+∠EDN=120°，∴∠MDE=∠FDN．∴Rt△MDE≌Rt△NDF．∴DE=DF．（3）当点F在AC边上时，；证明：如图5中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，在△BDM与△CDN中，，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=AB；当点F在AC延长线上时，．如图6，∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB【点睛】本题的关键是等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质得出结论，虽然本题的内容较多但是题目难度并不大，所以要认真读题，第三问的问题要画出两种情况的图形，利用三角形全等的出结论即可.10．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________．问题探究（2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积．问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由．

【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】（1）如图①中，作于．证明，推出，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题．（2）如图②中，作于，于，连接．，推出，，再利用面积法求出，的长即可解决问题．（3）存在．如图③中，作于，于．利用全等三角形的性质证明是角平分线，求出的值，由中，是角平分线，，是定值，可知当是的高时，的面积最小，由此即可解决问题．【详解】解：（1）如图①中，作于．

在中，，，，，，平分，，，，，，，平分，，，设，在中，，，解得：，，故答案为：4．（2）如图②中，作于，于，连接．，四边形是矩形，，，，，，，，，在中，，，，，，，，解得：，；（3）存在．如图③中，作于，于．，，，，，，，，，，，平分，，设，则，，，，，，，中，是角平分线，，是定值，当是的高时，的面积最小，此时．的面积的最小值．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E．(1)如图①，当时，则的值是________．(2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2【分析】（1）由等腰三角形的性质和为斜边的中点可知，，所以的值可求；（2）结论成立．连接，通过证明≌．可得，所以；（3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，通过证明≌，得到．所以．【详解】（1）连∵P是的中点，，∴∵，∴∴四边形是矩形，∴又∵∴∴；故答案为：2；（2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点，，，．，．．又，．≌．，．（3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③，由（2）可知：，，，，．，又，≌，．，，，．的周长是2．【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目．12．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：；（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可；（2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可．【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点，，，，即，在和中，；（2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，

四边形和四边形都是矩形，，，，，，，，，，，，，即，，；（3）如图，过点作的垂线交于点，设，则，设，则，，，，又，，，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形∴，(有公共角且都有直角)，，∴，∵，即，∴，，设，则，∵，即，∴，与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，，即，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特