2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.11.4.2全称量词存在量词作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE第一章1.41.4.11.4.2A级基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为(C)①平行四边形的对角线相互平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是(D)①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(A)A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B．存在实数x0，使sinx0＝eq\f(π,2)C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ[解析]选项A，B为特称命题，故解除C、D．因eq\f(π,2)>1，则不存在实数x0，使sinx0＝eq\f(π,2)，故解除B，故选A．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对随意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对随意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有(B)A．1个 B．2个C．3个 D．0个[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中为特称命题的是(C)A．全部的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．已知命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(A)A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]假设p为真，Δ＝a2－4a>0即a>4或a<0∵p为假，∴0≤a≤4∴实数a的取值范围[0,4]．二、填空题7．命题“有些负数满意不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为__∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.[解析]依据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±eq\r(2)时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．用符号表示下列全称命题：(1)对随意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；(2)对全部实数m，都有eq\f(2,－m2－1)<0；(3)对每一个实数x，都有cosx<1.[解析](1)∀a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．(2)∀m∈R，eq\f(2,－m2－1)<0.(3)∀x∈R，cosx<1.B级素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数[解析]选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是(D)A．∀x∈R，(x－eq\r(2))2>0B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x0＝812D．∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0[解析]A中当x＝eq\r(2)时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满意3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．3．(多选题)已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值可以是(BC)A．－2 B．－1C．－eq\f(1,2) D．1[解析]p真：m<0.q真：Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2.∵p∧q为真命题，∴p、q均为真命题，∴－2<m<0，故选BC．4．(多选题)已知命题p：∃x0∈N，xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则下列说法错误的是(BCD)A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真[解析]由xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)，得xeq\o\al(2,0)(x0－1)<0，解得x0<0或0<x0<1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对随意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．故选BCD．二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.①有些不相像的三角形面积相等；②存在一实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不肯定相像；②中对随意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以不存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①全部的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x－1|<2；④对随意的实数x>5，都有x>3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)[解析]①④是全称命题，②是特称命题，③不是命题．三、解答题7．推断下列命题的真假：(1)任给x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；(2)存在α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．[解析](1)∵x∈Q，∴eq\f(1,3)x2与eq\f(1,2)x均为有理数，从而eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝eq\f(π,3)时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，∴(2)真；(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真