2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE5-1.1.3集第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简洁集合的交集和并集．(重点、难点)2．能运用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培育直观想象的素养．某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.问题(1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？(2)问至少读过一本书的有哪些同学？1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的全部元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言eq\a\vs4\al(（1）A与B相交,（有公共元素，,相互不包含）)eq\a\vs4\al(（2）A与B相离,（没有公共元素，,A∩B＝∅）)eq\a\vs4\al(（3）AB，则,A∩B＝A)eq\a\vs4\al(（4）BA，则,A∩B＝B)eq\a\vs4\al(（5）A＝B，则,A∩B＝B＝A)[拓展](1)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的公共元素都属于A∩B.这就是文字定义中“全部”二字的含义，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}．(2)随意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝.(3)当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的全部元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种状况(阴影部分即为A与B的并集)：eq\a\vs4\al(①AB，,A∪B＝B)eq\a\vs4\al(②BA，,A∪B＝A)eq\a\vs4\al(③A＝B，A∪B＝,A且A∪B＝B)eq\a\vs4\al(④A与B有公共元,素，相互不包含)eq\a\vs4\al(⑤A与B无,公共元素)思索：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种状况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？[提示](1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种状况：x∈A，但xB；x∈B，但xA；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．(2)不肯定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．[拓展]对概念中的“全部”的理解，不能认为A∪B是由A的全部元素和B的全部元素组成的集合，即简洁拼凑，还要留意满意集合中元素的互异性，相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素．例如，A＝{1，2，4}，B＝{1，4，5，7}，A∪B＝{1，2，4，5，7}，而不能写成A∪B＝{1，2，4，1，2，4，5，7}．3．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪＝AA∩＝1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A∪B＝A∪C，则B＝C. ()(2)若A∩B＝，则A，B均为空集． ()(3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素． ()(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材P20习题1－1A⑥改编)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M},则M∪A．{0} B．{0，3}C．{1，3，9} D．{0，1，3，9}D[易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}．]3．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1，2} D．{0，1，2}C[由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}．]4．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．4[∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2},A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，故a＝4.]交集的概念及其应用【例1】(教材P15例1改编)(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.(2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，∴8∈A，14∈A，∴A∩B＝{8，14}，故选D.]1．求集合交集的运算的方法(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要留意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝()A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}A[由题意知A∩B＝{0，2}．]2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1D[因为A∩B≠，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]并集的概念及其应用【例2】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}(2)(教材P17例3改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，干脆视察求并集；②借助维恩图写并集．(2)两集合用描述法给出：①干脆视察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①干脆视察，找出并集；②借助图形，视察写出并集．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知集合A＝{0，2，4}，B＝{0，1，2，3，5}，则A∪B＝________．{0，1，2，3，4，5}[A∪B＝{0，2，4}∪{0，1，2，3，5}＝{0，1，2，3，4，5}．]集合交、并运算的性质及综合应用[探究问题]1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？[提示]A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？[提示]若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[思路点拨]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up9(等价转化))eq\x(B⊆A)eq\o(→,\s\up9(分B＝∅和B≠∅))eq\x(建立k的不等关系)eq\o(→,\s\up9(求交集))eq\x(得k的范围)[解](1)当B＝，即k＋1>2k－1时，k<2，满意A∪B＝A.(2)当B≠时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．[解]由A∩B＝A可知A⊆B.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈.所以k的取值范围为.2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值为3.,1．集合运算常用的性质(1)A∪B＝B⇔A⊆B.(2)A∩B＝A⇔A⊆B.,(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.2.利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，经常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解．(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的状况，否则易漏解．学问：1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要留意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区分，它们是“相容”的．A∪B是由全部至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．2．集合的交、并运算中的留意事项(1)对于元素个数有限的集合，可干脆依据集合的“交”“并”定义求解，但要留意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要留意端点值取到与否．3．通过对交集、并集的运算，培育抽象素养，提升数学运算素养．方法：数形结合法：借助维恩图或数轴求交集和并集．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1，0，1} B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}A[集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．]2．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0，1} B．{0}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}D[由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P，因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D.]3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝()A．{1}B．{2}C．{－1，2}D．{1，2，3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1，2}，A＝{1，2，3}，∴A∩B＝{2}．]4．已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3B[法一(利用并集的性质及子集的含义求解)∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝eq\r(m).由m＝eq\r(m)得m＝0或m＝1.但m＝1不满意集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.法二(利用解除法求解)∵B＝{1，m}，∴m≠1，故可解除选项C、D.又当m＝3时，A＝{1，3，eq\r(3)}