2024-2025学年高中数学第1章统计§8最玄乘估计教师用书教案北师大版必修3

PAGE8-§8最小二乘估计学习目标核心素养1.了解最小二乘法的思想及意义．(重点)2．会求线性回来方程并进行简洁应用．(难点)1.通过了解最小二乘法的思想及意义，培育数学抽象素养．2．通过求线性回来方程并进行简洁的应用，提升数据分析素养.1．最小二乘法利用最小二乘法估计时，要先做出数据的散点图．假如散点图呈现肯定的规律性，我们再依据这个规律进行拟合．假如散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回来方程；假如散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．2．线性回来方程用eq\x\to(x)表示eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，用eq\x\to(y)表示eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，由最小二乘法可以求得b＝eq\f(x1－\x\to(x)y1－\x\to(y)＋x2－\x\to(x)y2－\x\to(y)＋…＋xn－\x\to(x)yn－\x\to(y),x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2)＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x)\x\to(y),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回来方程，a、b是线性回来方程的系数．思索：任何一组数据都可以由最小二乘法得出回来方程吗？[提示]用最小二乘法求回来方程的前提是先推断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来推断)，否则求出的回来方程是无意义的．1．变量y对x的回来方程的意义是()A．表示y与x之间的函数关系B．表示y与x之间的线性关系C．反映y与x之间的真实关系D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合D[线性回来直线方程最能代表观测值x、y之间的线性相关关系，反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合．]2．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回来方程y＝bx＋a必过()x0123y1357A.点(2,2) B．点(1.5,2)C．点(1,2) D．点(1.5,4)D[回来方程必过样本点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，经计算得(1.5,4)．]3．对有线性相关关系的两个变量建立的回来直线方程y＝a＋bx中，回来系数b()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0C[当b＝0时，不具有相关关系，b可以大于0，也可以小于0.]4．正常状况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回来方程为y＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178cm，他的体重应当在________kg左右．69．96[用回来方程对身高为178cm的人的体重进行预料，当x＝178时，y＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．]线性回来方程的应用【例1】某地区2013年至2024年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2013202420242024202420242024年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回来方程；(2)利用(1)中的回来方程，分析2013年至2024年该地区农村居民家庭人均纯收入的改变状况，并预料该地区2024年农村居民家庭人均纯收入．附：回来直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)因为eq\x\to(t)＝eq\f(1＋2＋…＋7,7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9,7)＝4.3，设回来方程为y＝bt＋a，代入公式，经计算得b＝eq\f(3×1.4＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8,9＋4＋1×2)＝eq\f(14,14×2)＝eq\f(1,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝4.3－eq\f(1,2)×4＝2.3，所以y关于t的回来方程为y＝0.5t＋2.3.(2)因为b＝eq\f(1,2)＞0，所以2013年至2024年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预料到2024年，该地区农村居民家庭人均纯收入y＝0.5×8＋2.3＝6.3(千元)，所以预料到2024年，该地区农村居民家庭人均纯收入约6.3千元．用线性回来方程估计总体的一般步骤1．作出散点图，推断散点是否在一条直线旁边．2．假如散点在一条直线旁边，用公式求出a，b，并写出线性回来方程(否则求出回来方程是没有意义的)．3．依据线性回来方程对总体进行估计．eq\O([跟进训练])1．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发觉散点在一条直线旁边，经计算得到一些数据：eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝577.5，eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝82.5；某刑侦人员在某案发觉场发觉一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.脚长x20212223242526272829身高y141146154160169176181188197203185.5[回来方程的斜率b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(577.5,82.5)＝7，eq\x\to(x)＝24.5，eq\x\to(y)＝171.5，截距a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0，即回来方程为y＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5.]最小二乘法[探究问题]1．一个好的线性关系与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？提示：整体上最接近．2．设直线方程为y＝a＋bx，随意给定一个样本点A(xi，yi)，用什么样的方法刻画点与直线的距离更便利有效？提示：如图：法一点到直线的距离公式d＝eq\f(|bxi－yi＋a|,\r(b2＋1)).法二[yi－(a＋bxi)]2.明显法二比法一更便利计算，所以我们用它表示二者之间的接近程度．3．假如有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，怎样刻画这些样本点与直线y＝a＋bx的接近程度？提示：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2＋[y4－(a＋bx4)]2＋[y5－(a＋bx5)]2.4．任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回来方程吗？提示：用最小二乘法求回来直线的前提是先推断所给数据具有线性相关关系，否则求出的线性回来方程是无意义的．5．线性回来方程是否经过肯定点？提示：线性回来方程恒过定点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．【例2】关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的探讨中，得到如下一组数据：年龄x2327394145495053脂肪y9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)推断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线；(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回来方程．[思路探究](1)作出散点图，通过散点图推断它们是否具有相关关系，并作出拟合直线；(2)利用公式求出线性回来方程的系数a，b即可．[解](1)以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量(百分比)，画出散点图，如下图．进一步视察，发觉上图中的点分布在一条直线旁边，这说明这一正相关可以用这始终线来靠近，依据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系．(2)设回来直线为y＝bx＋a，那么结合题中数据，可得eq\x\to(x)＝40.875，eq\x\to(y)＝23.25，eq\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xiyi＝8092.8，eq\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝14195，则b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xiyi－8\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))x\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)，＝eq\f(8092.8－8×40.875×23.25,14195－8×40.8752)≈0.5912，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝23.25－0.5912×40.875＝－0.9153，所以所求的线性回来方程是y＝0.5912x－0.9153.1．最小二乘法的适用条件两个变量必需具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必需先对两个变量进行相关性检验．2．留意事项(1)利用求回来方程的步骤求线性回来方程的方法实质是一种待定系数法．(2)计算a，b的值时，用列表法理清计算思路，削减计算失误．同时，计算时，尽量运用计算机或科学计算器．eq\O([跟进训练])2．已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回来直线方程．[解](1)散点图如下图所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do9(i＝1))xiyi＝1＋6＋12＋20＝39，eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，b＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(13,10)，a＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，故所求回来直线方程为y＝eq\f(13,10)x.1．求回来直线的方程时应留意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．假如两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回来方程也是毫无意义的，而且用其估计和预料的量也是不行信的．(2)用公式计算eq\o(a,\s\up11(^))，eq\o(b,\s\up11(^))的值时，要先算出eq\o(b,\s\up11(^))，然后才能算出eq\o(a,\s\up11(^)).2．利用回来方程，我们可以进行估计和预料．若回来方程为eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，则x＝x0处的估计值为eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x0＋eq\o(a,\s\up11(^)).1．思索辨析(1)回来直线总经过样本中的全部点． ()(2)由回来直线求出的值不是一个精确值． ()(3)任何一组数据，都可以由最小二乘法得出线性回来方程． ()[解析](1)×，回来直线不肯定经过样本中的点，若经过全部点，则两变量为函数关系．(2)√，求出的值是一个估计值．(3)×，只有线性相关的数据才有线性回来方程．[答案](1)×(2)√(3)×2．设有一个回来方程为y＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均削减1.5个单位D．y平均削减2个单位C[回来方程斜率为－1.5，所以变量x增加一个单位，y平均削减1.5个单位．]3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则eq\x\to(x)＝________，eq\x\to(y)＝________，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝________，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xiyi＝________，回来方程为________．6．58327396y＝1.14x＋0.59[依据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝8，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝327，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xiyi＝396，回来方程为y＝1.14x＋0.59.]4．某探讨机构对高三学生的记忆力x和推断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356已知记忆力x和推断力y是线性相关的，求线性回来方程