2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§2.1.2演绎推理[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：eq\x(\a\al(∵∠A＝30°，∠B＝60°，,∴∠A<∠B.))∴a<b.画框格部分是演绎推理的A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论解析本题应用了三段论．大前提是大角对大边，小前提是∠A<∠B.故选B.答案B2．下面几种推理是演绎推理的是A．全等三角形的对应角相等，假如△ABC≌△A′B′C′，则A＝A′B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人C．由平面内三角形的性质，推想空间中四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式解析B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．答案A3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的解析这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．明显这是个错误的推理，究其缘由，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．答案A4“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x是对数函数(小前提)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x是增函数(结论)．”下列说法正确的是A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误解析对于对数函数y＝logax，当a＞1时为增函数，而当0＜a＜1时为减函数，所以大前提错误．答案A5．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是因为A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．答案C6．“1＜a＜2”是“对随意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析当“对随意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈R＋恒成立，而x－2x2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,8)≤eq\f(1,8)，∴a≥eq\f(1,8).∵(1，2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))，∴1＜a＜2是“对随意的正数x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的充分不必要条件．答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若将其复原成完整的三段论，则大前提是________．解析大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3，4，5，满意32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8．如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，①所以AD＞BD，②于是∠ACD＞∠BCD.③则在上面证明过程中错误的是________．(只填序号)解析由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．答案③9．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f（4）,f（3）)＋…＋eq\f(f（2018）,f（2017）)＝________．解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，(大前提)令b＝1，则eq\f(f（a＋1）,f（a）)＝f(1)＝2，(小前提)∴eq\f(f（2）,f（1）)＝eq\f(f（4）,f（3）)＝…＝eq\f(f（2018）,f（2017）)＝2，(结论)∴原式＝＝2018.答案2018三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)推断下列几个推理是否正确？为什么？(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”解析(1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定多数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特别的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别事例，从特别到特别的推理不是演绎推理．11．(12分)已知a，b，c都是正数，求证：eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab)≥a＋b＋c.证明由于a，b，c都是正数，所以只需证a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2.因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，三式相加，得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①又因为a2b2＋b2c2≥2eq\r(a2b4c2)＝2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，三式相加，得a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②由①②，得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，当且仅当a＝b＝c时取等号．所以eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab)≥a＋b＋c.12．(13分)如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，△ADB是等边三角形．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB以AB为轴转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解析(1)取AB中点E，连接DE，CE.∵△ADB为等边三角形，∴DE⊥AB.又∵平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.由已知可得DE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，EC＝1.∴在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.(2)当△AD