2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2.1对数函数的图象和性质课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE8-对数函数的图象和性质(15分钟35分)1.(2024·汕头高一检测)若a=log67，b=log76，c=loQUOTEπ，则 ()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a【解析】选C.log67>log66=1，0=log71<log76<log77=1，loQUOTEπ<loQUOTE1=0.所以c<b<a.【补偿训练】已知x=lnπ，y=log5QUOTE，z=QUOTE，则 ()A.x<y<z B.z<x<yC.z<y<x D.y<z<x【解析】选D.因为lnπ>lne=1，log5QUOTE<log51=0，0<QUOTE<1，所以y<z<x.2.函数y=2+log5x(x≥1)的值域为 ()A.(2，+∞) B.(-∞，2)C.[2，+∞) D.[3，+∞)【解析】选C.由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，+∞).3.已知m，n∈R，函数f(x)=m+lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是()A.m>0，0<n<1 B.m<0，0<n<1C.m>0，n>1 D.m<0，n>1【解析】选C.由图象知函数为增函数，故n>1.又当x=1时，f(x)=m>0，故m>0.4.设函数f(x)=lgx，若f(2x)<f(2)，则实数x的取值范围是_______.

【解析】函数f(x)=lgx，则不等式f(2x)<f(2)可化为lg(2x)<lg2，即0<2x<2，解得0<x<1，所以实数x的取值范围是(0，1).答案：(0，1)5.已知函数f(x)=QUOTE直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_______.

【解析】函数f(x)的图象如图所示，要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1.答案：(0，1]6.已知f(x)=|log3x|.(1)画出这个函数的图象.(2)当0<a<2时f(a)>f(2)，利用函数图象求出a的取值范围.【解析】(1)如图：(2)令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log3解得a=QUOTE或a=2.从图象可知，当0<a<QUOTE时，满意f(a)>f(2)，所以a的取值范围是QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为()【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，解除A、B.又x>0时，f(x)=ln(x+1)，解除C.2.(2024·梅州高一检测)已知a=ln3，b=log310，c=lg3，则a，b，c的大小关系为 ()A.c<b<a B.a<c<bC.b<c<a D.c<a<b【解析】选D.因为ln3=QUOTE，lg3=QUOTE，且log310>log3e>0，所以lg3<ln3<lne2=2，又log310>log39=2，所以c<a<b.3.已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa+2是偶函数，则函数g(x)=logm(x-a)+3(0<m<1)恒过定点 ()A.(0，3) B.(1，3)C.(3，4) D.(3，3)【解析】选D.因为幂函数是偶函数，则a+2为偶数，且a2-a-1=1，即a=2，故函数g(x)=logm(x-a)+3=logm(x-2)+3(0<m<1)，令x-2=1，求得x=3，y=3，所以函数恒过定点(3，3).4.若点(a，b)在函数f(x)=lnx的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是 ()【解析】选B.因为点(a，b)在f(x)=lnx的图象上，所以b=lna，所以-b=lnQUOTE，1-b=lnQUOTE，2b=2lna=lna2.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是 ()【解析】选AB.因为a>0，b>0，且ab=1，a≠1，当a>1时，0<b<1，所以B符合；当0<a<1时，b>1，所以A符合.6.若实数a，b满意loga2<logb2，则下列关系中成立的是 ()A.0<b<a<1 B.0<a<1<bC.a>b>1 D.0<b<1<a【解析】选ABC.依据题意，实数a，b满意loga2<logb2，对于A，若a，b均大于0小于1，依题意，必有0<b<a<1，故A有可能成立；对于B，若logb2>0>loga2，则有0<a<1<b，故B有可能成立；对于C，若a，b均大于1，由loga2<logb2，知必有a>b>1，故C有可能成立；对于D，当0<b<1<a时，loga2>0，logb2<0，loga2<logb2不能成立.【光速解题】可以分别取符合答案条件的a，b特值，验证loga2<logb2是否成立.三、填空题(每小题5分，共10分)7.函数y=loga(2x-3)+4的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______，若点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=_______.

【解析】因为loga1=0，所以当2x-3=1，即x=2时，y=4，所以点A的坐标是(2，4).设幂函数f(x)=xα的图象过点A(2，4)，所以4=2α，解得α=2；所以幂函数为f(x)=x2，则f(3)=9.答案：(2，4)98.若函数f(x)=QUOTE(a>0，且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a的取值范围是_______.

【解析】因为当x≤2时，f(x)∈[4，+∞)，所以当x>2时，3+logax的值域为[4，+∞)的子集.所以QUOTE解得1<a≤2.答案：1<a≤2四、解答题(每小题10分，共20分)9.(2024·银川高一检测)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0，a≠1)，且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.(2)求函数f(x)在区间[0，QUOTE]上的最小值.【解析】(1)由题意得，f(0)=loga3+loga3=2loga3=2，所以a=3，所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)，所以QUOTE解得-3<x<3，所以f(x)的定义域是(-3，3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)，且x∈(-3，3)，所以log3(9-x2)在[0，QUOTE]上单调递减，所以当x=QUOTE时，f(x)在区间[0，QUOTE]上取得最小值，是log33=1.10.已知函数f(x)=(log4x)2+loQUOTE-3，x∈[1，8]，求f(x)的值域以及取得最值时x的值.【解析】令t=log4x，t∈QUOTE，又loQUOTE=-QUOTElog2x=-QUOTEloQUOTEx=-log4x，则y=t2-t-3，t∈QUOTE，函数对称轴为t=QUOTE∈QUOTE，故当t=QUOTE，即x=2时，f(x)min=-QUOTE.当t=QUOTE，即x=8时，f(x)max=-QUOTE，所以f(x)的值域是QUOTE，当x=2时，f(x)min=-QUOTE；当x=8时，f(x)max=-QUOTE.1.(2024·运城高一检测)已知函数f(x)=|lnx|满意f(a)>f(2-a)，则实数a的取值范围是 ()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(1，3)【解析】选A.依据题意可得，f(x)=QUOTE所以f(x)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增；依据题意可知，QUOTE⇒0<a<2；①当0<a<1，2-a>1时，因为f(a)>f(2-a)，所以-lna>ln(2-a)⇒a(2-a)<1，解得a≠1；⇒0<a<1；②当a=1时，f(a)=f(2-a)不符合题意(舍)；③当1<a<2，0<2-a<1时，因为f(a)>f(2-a)，所以lna>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1，解得a∈∅；综上，a的取值范围为(0，1).【补偿训练】若定义运算f(a⊗b)=QUOTE，则函数f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是 ()A.(-1，1) B.[0，1)C.[0，+∞) D.[0，1]【解析】选B.由题意得f(ab)=QUOTE，所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=QUOTE当0≤x<1时，函数为y=log2(1+x)，因为y=log2(1+x)在[0，1)为增函数，所以y∈[0，1)，当-1<x<0时，函数为y=log2(1-x)，因为y=log2(1-x)在(-1，0)为减函数，所以y∈(0，1)，由以上可得y∈[0，1)，所以函数f(log2(1+x)log2(1-x))的值域为[0，1).2.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何改变得到的？(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象.(3)设函数y=QUOTE与函数y=|log2(x-1)|的图象的两