中心极限定理的应用

1、SliEianxl trniversity of Technology毕业论文题 目中心极限定理的应用学生姓名张世军学号所在院（系数学与计算机科学学院专业班级 数学与应用数学专业（统计类）11级2班指导教师程小静2015年 5 月25日中心极限定理的应用张世军(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000)指导教师：程小静摘要是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应 电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、

2、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极 限定理在应用上的优缺点。关键词 随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算Central Limit Theorem of ApplicationZhang Shijun(Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics andcomputer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi)Tutor: Cheng Xiaojing

3、Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Sec

4、ond central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the a

5、pplication.Keywords: Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory; Approximate calculation1 引言概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类 定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响 如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是 从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次

6、数渐近 于正态分布的问题。1716年前后，棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为12的 情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919 1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极 限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成 果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。 同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。2 常见的中心极限定理中心极限定理的提法凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布服从正态

7、分布，在概率论中都称之为中心极限 定理，具体一点，中心极限定理回答的是随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布。直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至多个）随机因素的总和，其中，每个随机因素的单 独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从正态分布，如：在许多情况下，一随 机变量 X 可以表示为大量独立随机变量之和，X+ + ,12n这里，每个E上表示一种随机因素的效应，假如上式包含了决定X充分多的随机因素的效应（即ni充分大），则才E的分布就近似X的分布，中心极限定理就要说明，在什么条件下大量独立随机变 ii=1量之和近似地服从正态分布，即在什么条件下，当nT+a时，独立随机变

8、量的和是服从正态分布 的。常见的中心极限定理 中心极限定理自产生其内容已经非常丰富了，但其中最常见的定理如下2.21 棣莫弗-拉普拉斯定理设卩是n重伯努利试验中的事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p（o P 则对任意的0，有lim PnT+a证明 令1,在第i试验中A出现 1 i n8 8 0，使有E1 a I2+5 T 0, n T +8，B 2+6kkn则对任意的 x 有lim P丄( a )tBk n2+5p (x)d (x)kT5 T5 B2+5n k=1 _g2+5 p (x)d (x)kakk=丄 BTLe Eakkn k =1 同理，可验证离散型的情形，可证得此定理。

9、这个定理是李雅普诺夫在 1900 年提出的。它表明， 在定理条件下， 随机变量k当n很大时，近似地服从正态分布NfLa ,B2)，也就是说，无论各个随k、k n、k=1机变E (k = 12,n)服从什么分布，只要满足定理条件，那么它们的和 a，当k很大时，就kkk=1近似地服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。在很多问题中，所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和。例如在任一指定时 刻，一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、 可加的微小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。2.23林德贝格-勒维

10、中心极限定理若g，g是一列独立同分布的随机变量,若g，g是一列独立同分布的随机变量,1 2且Eg = a,Dg =o2,C2 0)k = 1,2,.则有kk疋t2 e _ 2 dt证明设E ak的特征函数为f tLn丿n又因为E(g 一na)= 0， D(g 一na)=6,kk所以申（0） = 0,申（0） = Q2于是特征函数9（t）有展开式=1 -G 2t 2 +O (t 2 )2年(t)=q(0 )+0(=1 -G 2t 2 +O (t 2 )22从而对任意固定的 t ,有=11 =11 仝 + oI2nt2T e 2, n T而e ；是N（0,1）分布的特征函数，由定理：分布函数列（F

11、 （x）弱收敛于分布函数F（x）的n充要条件是相应的特征函数列b （x）收敛于F（x）的特征函数Q（t），可知该定理成立，得以求证.n这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920 年获得的，定理告诉我们，对于独立 同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可 以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。定理的结论告诉我们:只有当n充分大时，Y才近似服从标准正态分布N（0,1）,而当n较小时,n此种近似不能保证。也就是说，在n充分大时，可用N（0,1）近似计算与Y有关事件的概率，而n较n小时，此种计算的近似程度是

12、得不到保障的。当YN （0,1） 时 ， 则 有nkk=kk=11求随机变量之和S落在某区间的概率;n2已知随机变量之和S取值的概率，求随机变量的个数n.n2.3中心极限定理的异同处与优越性上述三个中心极限定理都是研究可列个相互独立的随机变量和的分布函数，在一定条件下，当 n 充分大时，转化为正态分布，它们的区别仅仅是各自的条件有所差异。除了中心极限定理外，切 比雪夫大数定律也可以用于近似计算。设E（X ）=p,D（X ）=02 0，则有切比雪夫大树定理可知，任意给定的0,有ii1 (X p )nk=1ilim Pn T+81而由林德贝格-勒维中心极限定理可知，有p 辽（X 卩）n k=1li

13、mp 辽（X 卩）n k=1limn T+xlimn T+ 0.999, 0.999,查表得知=3丄N = 14148所以，至少应供应这个车间141 千瓦电力才能以 99.9%的概率保证该车间不会应供电不足产生 影响。3.2中心极限定理在器件价格上的应用例 某种器件使用寿命（单位：小时）服从正态分布，其平均使用寿命为20 小时，具体使用时 是当一器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此继续下去，已知每个器件进价为a。试求在年计 划中应为此器件做多少预算才可能有95%的把握一年够用（假定一年有2000 个工作小时）？解 设第k个器件使用寿命为X，由于X服从参数为九的指数分布，且kkE（X ）=-，

14、九= 0.05，那么,D（X ）= = 400。k 九k九2假定一年至少准备n件才能有95%的把握够用k = 1,2,3,n，X , X，,X，相互对立，记k 1 k 2knY =2 Xnkk=1由李雅普诺夫中心极限定理知P（Y 2000）=0.95, n0.05 = P 0.05 = P 2000 = PnY 20n n V、20yfn(2000 20n .20庙丿所以厂 2000 - 20n、所以厂 2000 - 20n、 0.997P由中心极限定理得 0.997ki1查标准正态分布得m 查标准正态分布得m 6004*厉u 2.75故m 643因此，商店至少应预备643件这种产品才能以 9

15、9.7%的概率保证不脱销。（2）抽样检验问题例 抽样检验产品质量时，如果发现次品个数多于10 个，则拒绝接受这产品，设某种产品的次 品率为 10%，问至少应抽取多少只检验，才能保证拒绝该产品的概率达到90%？解 设至少应抽取n件产品，又设g Z1,第i次抽得次品（i 1231000）i 0,第i次抽得正品ii=1由于随机变量的数学期望和方差为Eg = 10, Dg = p (1-p ) = 0.1x 0.9 = 0.09。ii所以其数学期望与方差为E(g)= ng =0.1n;D(g)=0.9ni由中心极限定理得(100 n )P 10 g nu (100 n )1。所以，由于1。所以，由于n

16、充分大时P P 10 g 0.9，即n -冒 ! 0.9l 3麻丿n 100查表得知n-100 1.28。解得 n 147。查表得知3； n所以至少应检验147 件产品才能保证该拒绝产品概率达到0.9 。 本例主要研究将商场中的的商品订购订购，抽样检验，这些实际问题转化为数学问题，建立数学 模型，然后再运用中心极限定理进行推断，最终，找出这些实际问题的最佳方案，为其商业管理中 的决策提供可考的理论依据。3.4在烟卷制造行业中的应用变量，近似服从正态分布N C，Q 2),从生产线上随机取出n支烟支它们的质量特性吸阻用X1，变量，近似服从正态分布N C，Q 2),样本均值X = X1+ X2 +

17、Xn近似服从正态分布n例 烟支克重、圆周、吸阻是影响卷烟内在品质的一项重要物流指标，也是行业考核的一项必 不可少的指标。克重与卷烟吸阻、硬度。焦油量和感官质量以及烟丝消耗量有着密切的关系；吸阻 与抽吸的难易程度以及焦油量、烟气烟碱量和烟气一氧化碳量等安全卫生指标有着密切关系。因此，制造企业从自身角度建工符合克重、圆周、吸阻标准且决定的烟支的重要因素。批量生产中，在设备、材料、操克重、圆周、吸阻在生产中都近似服从正态分布N (卩Q2),批量生产中，在设备、材料、操作水平等既定的情况下，正态分布方差b2也基本恒定，因此，要使正态分布均值保持在一定的区间，才能使大多数数值分布在公差内，也即最大限度地

18、符合标准，而正态分布均值卩又近似服从 N (比。2)正态分布，从而为问题的解决提供了理论依据。表一为“真龙” (一般 n 工 30 )。1牌烟卷的物理指标测试数据。通过对表一简单运算，进行实际应用方面的介绍编号单支克重/g吸阻/KPa圆周/mm10.9011.18724.1820.8691.18824.1230.8761.16224.2340.9331.23124.2150.8991.16924.2760.8791.12524.2170.8911.17424.2180.9071.19724.2290.8811.18324.19100.9281.24224.22110.8761.08724.27

19、120.9091.1724.19130.8941.11324.21140.9121.21224.21150.9031.12224.18160.911.21724.21170.8841.09124.18180.8951.17324.23190.8191.05924.14200.8671.09824.16210.8671.11824.11220.8881.10224.17230.8521.13624.18240.8771.16324.29250.9271.15924.24260.9081.19124.16270.8891.09424.16280.8661.16124.21290.8661.1382

20、4.22300.8661.13724.18均值0.8881.18824.2标准偏差0.0251.18824.2以吸阻为例，“真龙”牌烟烟的单支吸阻标准为(1.210土0.150)kPa，吸阻均值标准为(1.210土0.070)kPa，从表一可得“真龙”的吸阻近似服从正态分布N(1.153,0.0472),而吸阻均 阻均值最大限度满足（1.210土0.070）kPa的标准，并且操作工在实际操作中也一直是以吸阻均值为值近似服从 N1.153,0.0472 值近似服从 N1.153,0.0472 )30。操作工欲使单支吸阻满足(1.210土 0.150)kPa扥标准，首先要使吸控制对象的。因此，吸阻

21、均值正态分布图N 1.153,向左（想较小值）或向右（向较大值） I 30丿平移均不可超过吸阻均值公差线（0.070kPa）。假设在3b的情况下，正态分布图碰到公差线，这 时便可求出吸阻均值的值，若正态分布图向左平移可求得吸阻均值最小值；反之，则可求得吸阻均值最大值。在这俩种情况下，吸阻均值合格率99.73% + x二973%），这样不仅能较好地满足吸阻均值（1.2100.070）kPa的标准，也能更好地满足吸阻（1.2100.150）kPa的标准。吸阻均值最小值T T 二0 2Jn巴* -1 + 3（37的情况下）吸阻均值最大值T7巳-2 - 3真（37的情况下）推广得吸阻均值最小值7（Kg

22、的情况下，K 一般取1,26）vn吸阻均值最大值=卩-彳-K2 （K的情况下，K一般取1,26） 02n7这是俩个重要的导出公式，是吸阻标准中心值，T是吸阻均值公差，K是7的倍数，貢是吸阻 均 值 标 准 偏 差 ， 即 是 吸 阻 均 值 方 差 的 平 方 差 根 。 取7x：n=0.0086, K 7x：n=0.0086, K = 3带入公式分别求得，卩二1.166kPa,卩二1.254kPa,即吸阻均值在（1.166,1.254）kPa之间控制，比在LU（1.2100.070）kPa即（1.1401.280）kPa范围缩小了，能更有效地更科学地对吸阻指标进行控制。综上所述，在烟卷加工企

23、业，利用样本均值分布即中心极限定理，可对烟支克重、圆周及吸阻 进行更有效、科学的质量控制，而且控制范围更窄、控制精度更准。3.5中心极限定理在社会生活中的应用例 由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种措施 进行预防，在这之前，对新生幼婴儿的性别的进行判断和统计是很有必要的，而中心极限定理在这 方面能体现出它的独特作用。设男孩出生率为0.515，求在 10000个新生婴儿中女孩数目不少于男孩的概率为多少？解 设x为10000个婴儿中男孩的数目，则X （1000,0.515）,要求女孩数目不少于男孩数目的概率.即求P x 5000，由棣莫佛-拉普拉斯定理有P x

24、 5000 “ f 50001000X 0515 （一3）= 1 -（3）= 0.00135U1000 0.515 X 0.485 丿3.6中心极限定理在军事问题中的应用例 炮弹、火箭发射过程中会受到各种各样不可预料因素的影响，这些因素非常之多，然而这 又几乎无法单独预估，但是如果不考虑其因素放任不管，一丝一毫的差错都将肯能会造成灾难性的 后果，而为了有效地控制这些因素的影响，就需要使用到中心极限定理。如下，用中心极限定理说 明在正常设计条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布。解 设a为理论射程，g为实际射程，则H =a为实际射程对理论射程的偏差，显然耳= + a，故只需证hnCq2）由于在

25、实际射程中，有很多的偏差，若设g射击时炮身震动引 起的偏差， g ：炮弹外形差异引起的偏差， g ：炮弹内火药的成分引起的偏差， g ：射击时气流234引起的偏差，g :，显然，耳=E gnii=1由于影响射程的实际因素是大量的，这里的n 一定很大甚至基于无穷，且炮身的震动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化等等这些因素之间没什么关系，故有它们引起的g ,g，,g可看12n做是相互独立的。另外，由于正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制，所以这里 的g ,g，,g所起的作用可看做同样是微小的.由中心极限定理可知耳nCq2），由于n可正 12n可负且机会相等，故卩=o，耳n（0q2）则g = m耳n（0q2）。结论文至于此，我们可以看出，中心极限定理不论是在理论数学领域还是在实际应用中都能发挥出 其巨大的作用，当让这些例子主要是针对三种常见形式的中心极限定理的应用，在实际问题中，如 果所研究的问题为大样本问题，我们同样可以常用中心极限定理对其进行统计分析，对总体的某些 参数进行推断轨迹，由此可见，中心极限定理在现实生活中的应