2023-2024学年广东省深圳市九年级上学期第二次月考数学试题及答案

试题PAGE1试题2023—2024学年初三第2次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.下列四个式子：，，，其中分式的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在中，，，，下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D.3.若函数图象是抛物线，则的值为（）．A-2 B.2 C.4 D.4.若关于x方程无解，则m的值为（）A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或35.已知点、、在反比例函数（）的图象上，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A. B. C. D.7.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.8.如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（）A.3 B. C. D.9.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.当时，函数的最大值是4C.当直线与该图象恰有三个公共点时，则D.关于的方程的所有实数根的和为410.如图，过原点直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（）A.4 B.6 C.8 D.10二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.若分式无意义，则的取值范围是_________．12.若分式的值为零，则的值为_________．13.将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为__________．14.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据：，）15.定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是_____________．三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题6分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16.先化简，再求值：已知，，求的值．17.如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值．（结果可保留根号，参考数据：，，）18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．（1）________，点的坐标为________；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．19.“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯成本价．（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？20.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．（1）经过测量，得出了和的几组对应值，如表．米米请求出拱桥距离水面的高度与之间的函数关系式，画出确定的函数的图象；（2）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度为米；②公园欲开设游船项目，现有长为米，宽为米，露出水面高度为米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为米．（精确到米）21.【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．22.在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点的坐标；（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．2023—2024学年初三第2次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.下列四个式子：，，，其中分式的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式，进行求解即可．【详解】解：式子，中，分母不含有字母，不分式，式子：，，分母含有字母，是分式，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟知定义是解题的关键．2.在中，，，，下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC＝，∴，，，，∴C正确，A、B、D错误，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．3.若函数的图象是抛物线，则的值为（）．A.-2 B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，该函数是二次函数，然后根据二次函数的定义列出方程即可求出结论．【详解】解：∵函数的图象是抛物线∴该函数二次函数，∴解得：m=2故选B．【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义求函数中的参数问题，掌握二次函数的定义是解决此题的关键．4.若关于x的方程无解，则m的值为（）A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3【答案】B【解析】【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．【详解】解：将方程化成整式方程为，即，因为关于的方程无解，所以分以下两种情况：①整式方程无解，则，解得；②关于的方程有增根，则，即，将代入得：，解得；综上，的值为1或3，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．5.已知点、、在反比例函数（）的图象上，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】据反比例函数的性质得到函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．【详解】解：∵k＞0，∴函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，∵﹣1＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选B．【点睛】本题考查反比例函数的增减性比较大小，熟记函数性质，判断每个象限内的特点是解题关键．6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得，根据题意可列出的方程是，故选：B．【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．7.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；

A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上，而不是交于y轴正半轴，故选项A错误；

B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；

C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是y轴的负半轴，本图象不符合题意，故选项C错误；

D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是开口向上，本图象不符合同意，故选项D错误．

故选B．【点睛】本题考查二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．8.如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（）A3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点C作，利用求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．【详解】解：过点C作，如图，∴，∵，∴，∵米，∴，∴米，故选：D．9.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.当时，函数的最大值是4C.当直线与该图象恰有三个公共点时，则D.关于的方程的所有实数根的和为4【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点，∴，解得：，∴，故A错误；由图象可得，函数没有最大值，故B错误；如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C错误；关于x的方程，即或，当时，，当时，，∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D正确，故选：D．10.如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，可得AD∥OE，进而可得；设点A（m，），由已知条件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到，所以，即可求解．【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠AEO=∠OAE，∴AD∥OE，∴，∵AC=3DC，△ADE的面积为8，∴=12，设点A（m，），∵AC=3DC，DH∥AF，∴3DH=AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴，∵====12，∴2k=12，∴k=6；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.若分式无意义，则的取值范围是_________．【答案】##【解析】【分析】本题考查分式无意义的条件，根据题意得到分母等于0，得到，进而求解．掌握分式无意义的条件是分母等于0是解题的关键．【详解】∵分式无意义，∴，∴．故答案为：．12.若分式的值为零，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据且即可求解．【详解】解：依题意，且解得：，故答案为：．13.将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为__________．【答案】##【解析】【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，再根据45度角的正弦值为即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，由网格特点可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．14.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据：，）【答案】34【解析】【分析】作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，设，表示出，，利用，解得：．【详解】解：作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，由图可知：，，∵，，∴，∵，∴，设，则，，∵，解得：．∴C岛到航线AB的最短距离是34nmile．故答案为：34【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解CF为C岛到航线AB的最短距离，求出，利用求解．15.定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是_____________．【答案】【解析】【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【详解】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝−x2＋1与正比例函数y＝−x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令−x2＋1＝−x，即x2−x−1＝0，解得：或，∴A（），B（）．观察图象可知：①当x≤时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当时，min{−x2＋1，−x}＝−x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{−x2＋1，−x}的最大值是.故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题8分，第18题8分，第19题6分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16.先化简，再求值：已知，，求的值．【答案】；．【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，确定x，y的值，再对分式进行化简，后代入求值即可．【详解】∵，，∴，∵====∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练进行化简，熟记特殊角的函数值进行定值是解题的关键．17.如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值．（结果可保留根号，参考数据：，，）【答案】米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得（米），在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线．【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，，∵米，∴（米），在中，，∴（米），∵，∴，∴米，在中，，∴米，∴米，∴塔高的值为米，18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．（1）________，点的坐标为________；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答【详解】解：（1）把点代入反比例函数，得：，解得：m=6，∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，故答案为：6，；（2）设直线对应的函数表达式为．将，代入得，解得．所以直线对应的函数表达式为．因为点在线段上，可设，因为轴，交反比例函数图像于点．所以．所以．所以当a=1时，面积的最大值为．【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．19.“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？【答案】（1）该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元（2）20元【解析】【分析】（1）设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，根据“用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同”建立方程，解方程即可得；（2）设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，根据“利润（售价成本价）销售数量”建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．【小问1详解】解：设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，答：该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元．【小问2详解】解：设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，由题意得：，，，由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为1800，答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．20.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究．（1）经过测量，得出了和的几组对应值，如表．米米请求出拱桥距离水面的高度与之间的函数关系式，画出确定的函数的图象；（2）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度为米；②公园欲开设游船项目，现有长为米，宽为米，露出水面高度为米的游船．为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩的距离至少为米．（精确到米）【答案】（1），画图见解析（2）①；②【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用；（1）待定系数法求解析式，通过描点法画出函数图象；（2）①根据表格数据可得当时，，即可求解；②根据题意，令，解方程，即可求解．【小问1详解】解：设，把、、代入得，，解得，，对称轴为直线，在下面的平面直角坐标系中，画出所确定的函数图象；【小问2详解】①当时，，∴桥墩露出水面的高度为米，②令，则，解得（舍去）或．故答案为：，．21.【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．【答案】[问题背景]；[活动探究]；[应用拓展]【解析】【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；[活动探究]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[应用拓展]过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．【详解】解：[问题背