第01讲 二次函数与y=ax2(a≠0) 图像与性质（8种题型）（原卷版）

第01讲二次函数与图像与性质（8种题型）【知识梳理】知识点1．二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.【考点剖析】题型1：根据二次函数的定义求参数的值例1．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x2+3例2．（2023春•兰溪市月考）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．题型3：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？题型4：一题多解法——比较函数值的大小例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO例10.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．题型6：双图像问题例11.函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数综合问题例12.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．例13.物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型7：二次函数y=ax2(a≠0)与几何变换例14.若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．题型8：二次函数y=ax2(a≠0)中的分类讨论例15.如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（

）A．1 B．2 C． D．02．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）下列函数是二次函数的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(

)A． B． C． D．4．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）已知点在二次函图象上，则的值是（

）A．1 B． C． D．85．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数经过点，则必经过点（）A． B． C． D．6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线与在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（）A．顶点坐标相同 B．对称轴相同C．开口方向相反 D．都有最小值7．（2022秋·九年级单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1二、填空题9．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________．110．（2022秋·九年级统考期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：_______．11．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是_____________．12．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）已知原点是抛物线的最高点，则m的范围是___________．13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数，如图所示，则由小到大的顺序为_________．14．（2022秋·九年级单元测试）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．15．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．16．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知的三个顶点为，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在二次函数的图象上，则的值为____________.三、解答题17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）已知y关于x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？18．（2021秋·九年级校考期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．19．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝千克（用含x的代数式表示）．(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？20．（2019秋·浙江湖州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．21．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)设、、均在该函数图象上，①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．22．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．23．（2021秋·浙江湖州·九年级校