湖南省郴州市2025届高三第二次教学质量监测数学试卷（含解析）

湖南省郴州市2025届高三第二次教学质量监测数学试卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=−101,B=x|A.{-1,1}B.{0,1}C.[1,+∞)D.[0,+∞)2.设α,β是两个平面,m,n是两条直线,若m⊂α,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β,n∥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a,b满足a-b=(2,3),3a+b=(-2,5),则||a|²−|b|²=A.1B.2C.-1D.-24.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“1m≠2n”的概率为A.23B.56C.345.已知双曲线C;x²−y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，M为C的右支上一点，N为MF₁的中点,P为线段NF₁上一点,若|ON|=|PN|(O为坐标原点),则||PF₁|=A.4B.2C.1D.16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.∠BAC=120°,c=2,b=1,D为BC边上一点,且∠BAD=90°,则△ACD的面积为A.34B.35C.367.已知a=cosA.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a8.已知|an|是递减的整数数列，若a1+a2+⋯+aA.54B.55C.63D.64二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件A，B发生的概率分别为PAA.PA=12C.一定有B⊆AD.若PAB=38,10.已知函数则A.f(x)在区间(0,3)上单调递增B.f(x)仅有1个极大值点C.f(x)无最大值，有最小值D.当a∈[3,4]时,关于x的方程f(x)=a共有3个实根11.已知正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁的棱长为8，E，F，M分别为棱.AA₁,AD,C₁D₁上的动点，N是空间中任意一点，则下列结论正确的是A.B₁C⊥BMB.用一个平面截该正方体，所得截面面积的最大值为48C.若EF⊥C₁E,则AF的最大值为2D.若AN⊥BN，则三棱锥N-ABC的体积最大时，其外接球的体积为512三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若(3+i3=x+yixy∈R,则x13.已知函数fx=x−12x−a2x−2的图象关于直线14.已知定点M和N(0,5),当点P在椭圆x216+y29=1上运动时，△PMN的面积的最小值为2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)在区间[π,m)(m>π)上存在最小值,求实数m的取值范围.16.(15分)如图,在几何体ABCDPQ中,PA⊥平面ABCD,QC∥PA,且QC=12PA,四边形ABCD为菱形,PA=AD=2,∠BAD(Ⅰ)求证:BD⊥PQ;(Ⅱ)求平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值.17.(15分)在直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=8x上两动点A，B满足(OA⊥OB.(Ⅰ)证明：直线AB过定点；(Ⅱ)设直线AB过定点P，以OP为直径作圆E，过点(2，0)且斜率为kk≠0的直线l与E交于C、D两点，将圆E沿x轴折起，使平面COx⊥平面DOx,18.(17分)(Ⅰ)证明:kCnk=nCn−1k−1,其中n,(Ⅱ)证明:若X服从二项分布B(n,p),则.E(Ⅲ)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲赢的概率为p12<p<1,乙赢的概率为q