2024年广东省深圳市中考数学二模试题汇编《图形的性质》含答案

试题PAGE1试题广东省深圳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质一．选择题（共15小题）1．（2024•龙岗区二模）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米2．（2024•龙岗区二模）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为（）A．32° B．34° C．36° D．44°3．（2024•罗湖区二模）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的面积为（）A．48 B．40 C．24 D．204．（2024•福田区二模）如图，在已知△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠FABA．70° B．80° C．90° D．100°5．（2024•福田区二模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则AB的长为（）A．3 B．π2 C．π D．6．（2024•福田区二模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知MN＝2，NB＝1，则AP的长需满足（）A．145≤AP≤245C．195≤AP≤297．（2024•南山区二模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠EDB等于（）A．1 B．22 C．12 8．（2024•光明区二模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．如果添加一个条件，使得▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是（）A．AB＝AD B．AO＝BO C．AC⊥BD D．AO＝CO9．（2024•龙华区二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB，BC，CD，DE在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE＝10，则点B，D到直线AE的距离之和为（）A．5 B．26 C．5210．（2024•南山区二模）如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A．23 B．43 C．411．（2024•宝安区二模）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书•大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图1，为更好的将帐篷固定，需在4个角分别另加一根固定绳（DE），其主视图如图2所示，测得α＝125°，CD＝CE，则∠DEC＝（）A．37.5° B．27.5° C．22.5° D．17.5°12．（2024•南山区二模）有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m13．（2024•盐田区二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108° B．109° C．110° D．111°14．（2024•南山区二模）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形15．（2024•福田区二模）下列命题是假命题的是（）A．点A（2，1）与点B（﹣2，﹣1）关于原点对称 B．不等式组x≥2x＜1的解集是空集C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．圆内接四边形的对角互补二．填空题（共10小题）16．（2024•宝安区二模）阅读材料：中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价．书中问题与方程有密切联系，其所记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形ABCD中，⊙O与边AD、CD分别相切．问题：过点B作⊙O的切线BE，交⊙O于点E，交DC于点F，若∠CBF＝30°，且DF=1+3，则⊙O的半径为17．（2024•龙华区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，AC平分∠OAB，若∠OAB＝40°，则∠CBD＝°．18．（2024•福田区二模）如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP19．（2024•龙岗区二模）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间．已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为．20．（2024•罗湖区二模）如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝42°，∠ACB＝°21．（2024•南山区二模）已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点F在AC上，作EF⊥AB，直线EF交AB于E，交BC延长线于G，连接ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，则AF的长为．22．（2024•盐田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点D作边AB的垂线，交AB于点E，连接CE，若DE＝2，AE＝4，则CE＝．23．（2024•盐田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为．24．（2024•龙华区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，P是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点D的对应点E恰好是△ABC的重心，则PD的长为．25．（2024•南山区二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）26．（2024•南山区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．【问题发现】（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是，EH与AD的位置关系是．【猜想论证】（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC＝BC＝22，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．27．（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）．【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．1号轿厢测量情况4号轿厢测量情况10号轿厢测量情况【任务一】初步探究，获取基础数据（1）如图3，请连接AO、BO，则∠AOB＝°；（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）【任务二】推理分析，估算实际高度（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，2≈1.4128．（2024•光明区二模）在四边形ABCD中，点E为线段CD上的动点（点E与点C不重合），连接BE，线段BE的垂直平分线与AD、BC、BE分别相交于点F、G、H，连接FB、FE．【探究发现】如图1，若四边形ABCD为矩形，BF⊥EF，求证：△ABF≌△DFE；【能力提升】如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，△BGF是等腰三角形，求EC的长；【拓展应用】如图3，若四边形ABCD为菱形，BE⊥CD，BE的垂直平分线与AD、BC、BE分别相交于点F、G、H，连接FB、FE．若△BFE是等边三角形，求sinA的值．29．（2024•福田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF；（3）在（1）的条件下，CF＝2，BF＝6，求⊙O的半径．30．（2024•福田区二模）（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；②推断：GFAE的值为：（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB=23．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC、AB上，求DNAM（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若BEBF=34，GF＝2

广东省深圳市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2024•龙岗区二模）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米【解答】解：过O作ON⊥AB于N，过C作CM⊥ON于M，如图2所示：则AN＝NB=12AB＝0.9米，∠OND＝∠∵DC⊥AB，∴∠CDN＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝0.3米，CM＝DN＝BD+BN＝1.2（米），设该圆的半径长为r米，根据题意得，ON2解得：ON=1.2r=1.5即此月亮门的半径为1.5米．故选：C．2．（2024•龙岗区二模）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为（）A．32° B．34° C．36° D．44°【解答】解：过D作DE∥直线l1，∴∠ADE＝∠1＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝66°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝66°﹣32°＝34°，∵l1∥l2，∴DE∥l2，∴∠2＝∠CDE＝34°，故选：B．3．（2024•罗湖区二模）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的面积为（）A．48 B．40 C．24 D．20【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：C．4．（2024•福田区二模）如图，在已知△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠FABA．70° B．80° C．90° D．100°【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC由作图的步骤可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠C＝30°，∴∠FAB＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°．故选：C．5．（2024•福田区二模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则AB的长为（）A．3 B．π2 C．π D．【解答】解：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴AB的长=60π×3180故选：C．6．（2024•福田区二模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC，BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知MN＝2，NB＝1，则AP的长需满足（）A．145≤AP≤245C．195≤AP≤29【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠C＝90°．∴∠A+∠B＝90°，∠CDE+∠CED＝90°，sinB=ACAB=45，cosB∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°．∴∠A+∠ADP＝90°．∴∠B＝∠ADP．由光的反射可得：∠ADP＝∠CDE，∠CED＝∠BEF．∴∠B＝∠CDE．∴∠B+∠BEF＝90°．∴∠BFE＝90°．①点F与点N重合．∵BN＝1，∴BE=BNcosB=∴CE＝BC﹣BE=13∴CD=CE∴AD＝AC﹣CD=19∴AP＝AD•sinB=19②点F与点M重合．∵MN＝2，NB＝1，∴BM＝3．∴BE=BMcosB=∴CE＝BC﹣BE＝1．∴CD=CEtanB=∴AD＝AC﹣CD=29∴AP＝AD•sinB=29∴195≤AP故选：C．7．（2024•南山区二模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠EDB等于（）A．1 B．22 C．12 【解答】解：∵OE＝1，OA＝1，∴tan∠EOA=OE由圆周角定理得，∠EDB＝∠AOE，∴tan∠EDB＝1．故选：A．8．（2024•光明区二模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．如果添加一个条件，使得▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是（）A．AB＝AD B．AO＝BO C．AC⊥BD D．AO＝CO【解答】解：A、添加AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、添加AO＝BO，∴▱ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、添加AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、添加AO＝CO，不能判定▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：B．9．（2024•龙华区二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB，BC，CD，DE在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE＝10，则点B，D到直线AE的距离之和为（）A．5 B．26 C．52【解答】解：过BM⊥AE于M，DN⊥AE于N，∵AB＝BC，∴CM=12同理：CN=12∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠DCN+∠BCM＝180°﹣90°＝90°，∵∠BCM+CBM＝90°，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠DNC＝∠BMC＝90°，∵DC＝BC，∴△DCN≌△CBM（AAS），∴DN＝CM，BM＝CN，∴BM+DN＝CM+CN=12（AC+CE）=1∴点B，D到直线AE的距离之和为5．故选：A．10．（2024•南山区二模）如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A．23 B．43 C．4【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵A是弧BC的中点，∴AB=∴∠AOB＝∠AOC＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝4．故选：C．11．（2024•宝安区二模）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书•大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图1，为更好的将帐篷固定，需在4个角分别另加一根固定绳（DE），其主视图如图2所示，测得α＝125°，CD＝CE，则∠DEC＝（）A．37.5° B．27.5° C．22.5° D．17.5°【解答】解：∵α＝125°，∴∠DCB＝α﹣90°＝125°﹣90°＝35°，∵CD＝CE，∴∠DEC＝∠CDE，∵∠DEC+∠CDE＝∠DCB，∴∠DEC=12∠故选：D．12．（2024•南山区二模）有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC=AE2故选：B．13．（2024•盐田区二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108° B．109° C．110° D．111°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故选：C．14．（2024•南山区二模）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；C、符合菱形定义；D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选：C．15．（2024•福田区二模）下列命题是假命题的是（）A．点A（2，1）与点B（﹣2，﹣1）关于原点对称 B．不等式组x≥2x＜1的解集是空集C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．圆内接四边形的对角互补【解答】解：A．点A（2，1）与点B（﹣2，﹣1）关于原点对称，该选项正确，是真命题；B．不等式组x≥2x＜1C．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项错误，是假命题；D．圆内接四边形的对角互补，该选项正确，是真命题．故选：C．二．填空题（共10小题）16．（2024•宝安区二模）阅读材料：中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价．书中问题与方程有密切联系，其所记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形ABCD中，⊙O与边AD、CD分别相切．问题：过点B作⊙O的切线BE，交⊙O于点E，交DC于点F，若∠CBF＝30°，且DF=1+3，则⊙O的半径为3【解答】解：过点O作OK⊥AD于点K，OJ⊥CD于点J，连接OF，OE．∵FJ，FE是⊙O的切线，∴∠OFE＝∠OFJ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CBF＝30°，∴∠CFB＝90°﹣30°＝60°，∴∠OFJ＝∠OFE=1∵OJ⊥CD，OK⊥AD，∴∠D＝∠OJD＝∠OKD＝90°，∴四边形OKDJ是矩形，∵AD，CD是⊙O的切线，∴DK＝DJ，∴四边形OKDJ是正方形，∴DJ＝OJ=3FJ∵DF＝DJ+FJ＝1+3∴FJ＝1，DJ＝OJ=3∴⊙O的半径为3．故答案为：3．17．（2024•龙华区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，AC平分∠OAB，若∠OAB＝40°，则∠CBD＝70°．【解答】解：延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE＝90°，∵∠OAB＝40°，∴∠E＝90°﹣∠OAB＝50°，∴∠C＝∠E＝50°，∵AC平分∠OAB，∴∠CAB=12∠∴∠CBD＝∠CAB+∠C＝20°+50°＝70°，故答案为：70．18．（2024•福田区二模）如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值2【解答】解：设BG与EF的交点为O，∵B、G关于EF对称，∴∠BOE＝90°，BO＝GO，∵E为AB的中点，∴EO为△BAG的中位线，∴EO∥AG，∴∠AGB＝∠BOE＝90°，∵∠APB=1∴∠APB＝45°，过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，在EQ上截取EM＝BE，连接BM，AM，则△BEM是等腰直角三角形，△AEM是等腰直角三角形，∴∠BME＝∠AME＝45°，∴∠AMB＝90°，∴点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，连接DM，交圆M于点P，此时DP取得最小值，在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝8，∵∠AEQ＝90°，∴四边形AEQD是矩形，∴EQ＝AD＝8，DQ＝AE，∠MQD＝90°，∵AB＝4，E为AB的中点，∴BE＝AE＝2，∴EM＝2，根据勾股定理，得BM=2∵MQ＝8﹣2＝6，DQ＝AE＝2，根据勾股定理，得DM=62+∴DP的最小值为DM﹣MP＝210−故答案为：210−19．（2024•龙岗区二模）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间．已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为63−9【解答】解：连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形，∵周长为12，∴边长为2，∴每个等边三角形的面积为：34∴正六边形的面积为63，∵正方形的周长为12时，边长为3，∴正方形的面积为：32＝9，∴它们的面积之差为63−故答案为：63−20．（2024•罗湖区二模）如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝42°，∠ACB＝21°【解答】解：∵∠AOB＝42°，∴∠ACB=12∠故答案为：21．21．（2024•南山区二模）已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点F在AC上，作EF⊥AB，直线EF交AB于E，交BC延长线于G，连接ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，则AF的长为453【解答】解：连接CH、AG，如图所示：∵AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠ADG＝∠AEG＝90°，∴A、E、D、G四点共圆，∴∠EDA＝∠AGE，∵∠GFC＝2∠EDA，∴∠GFC＝2∠AGE，又∵∠GFC＝∠AGE+∠CAG，∴∠AGE＝∠CAG，∴AF＝GF，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BGE+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BGE，在△AFH和△GFC中，∠FAH=∠FGCAF=GF∴△AFH≌△GFC（ASA），∴HF＝CF，AH＝CG＝2，∵AF＝GF，∴AF+CF＝GF+HF，∴AC＝GH，在△ACD和△GHD中，∠ADC=∠GDH∠CAD=∠HGD∴△ACD≌△GHD（AAS），∴CD＝HD＝2，∴AH＝CG＝DH＝CD＝2，∴点H为AD的中点，点C为DG的中点，∴CH是△ADG的中位线，∴CH=12AG，CH∥∴△HFC∽△GFA，∴CFAF∴AF=23在Rt△ACD中，AD＝AH+DH＝4，CD＝2，∴AC=AD2∴AF=23AC故答案为：4522．（2024•盐田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点D作边AB的垂线，交AB于点E，连接CE，若DE＝2，AE＝4，则CE＝17．【解答】解：如图，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD+∠B＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠B＝∠ADE，∴tanB＝tan∠ADE，∴DEBE∴2BE∴BE＝1，∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥CF，∵点D是边BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴CF＝2DE＝4，BE＝EF＝1，∴CE=C故答案为：17．23．（2024•盐田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【解答】解：如图，连接OE，OD，∵AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OE＝OD＝OB，∴△AOE，△BOD都为等边三角形，∴∠AOE＝∠BOD＝60°，∴∠EOD＝60°，∴弧DE的长为60π×3180=π（故答案为：πcm．24．（2024•龙华区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，P是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点D的对应点E恰好是△ABC的重心，则PD的长为32【解答】解：延长CE交AB于F，在EF的延长线上取一点H，使FH＝FE，连接AH，BH，PF，连接AE并延长交BC于点T，连接BE，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，∴∠BAD＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC，由折叠的性质得：PD＝PE，CE＝CD＝6，∠PEC＝∠D＝90°，∵点E是△ABC的重心，∴AF是BC边上的中线，CF是AB边上的中线，即AF＝BF=12AB＝3，CT＝又∵FH＝FE，∴四边形AEBH是平行四边形，∴BH∥AE，即BH∥ET，∵CT＝BT，∴ET是△CBH的中位线，∴EH＝CE＝6，∴FH＝FE＝3，∴CF＝CE+FE＝6+3＝9，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC＝√CF2﹣BF2=62∴AD＝BC=62∵FE＝3，AF＝3，∴AF＝FE，∵∠PEC＝90°，∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠PEF＝90°，在Rt△PAF和Rt△PEF中，AF=FEPF=PF∴Rt△PAF≌Rt△PEF（HL），∴PA＝PE，∴PD＝PA=12AD故答案为：3225．（2024•南山区二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则阴影部分的面积为95【解答】解：△ABC的面积为：3×4−12×1×4−设AB与A'B'的交点为E，BC与B'C'的交点为F，由平移的性质可知，△BEF∽△BAC，∴S△BEFS△ABC=（∵S△ABC＝5，∴S△BEF=9即阴影部分的面积为95故答案为：95三．解答题（共5小题）26．（2024•南山区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．【问题发现】（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是EH=12AD，EH与AD的位置关系是EH⊥AB【猜想论证】（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC＝BC＝22，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．【解答】解：（1）如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCE＝45°，∴点E在线段CB上，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠B＝45°，∵DH＝HB，∴EH⊥DB，EH=12DB=故答案为EH=12AD，EH⊥（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．∵DE＝EF．CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＝45°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥AB，∵DE＝EF，DH＝HB，∴EH=12BF，EH∥∴EH⊥AD，EH=12（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝22，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∵∠CAB＝45°，∴∠EAH＝30°，∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，∴∠DEB＝150°，∴∠EDB＝∠EBD＝15°，∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，∴∠ADE＝∠AED＝15°，∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH=3x∵EH2+DH2＝DE2，∴x2+（2x+3x）2∴x=3∴AD＝23−∴S△ADE=12•AD•EH=12×（23−2）如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．同法可求：EH=3+1，AD＝2∴S△ADE=12•AD•EH=12×（23综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣23或4+23．27．（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）．【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．1号轿厢测量情况4号轿厢测量情况10号轿厢测量情况【任务一】初步探究，获取基础数据（1）如图3，请连接AO、BO，则∠AOB＝45°；（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）【任务二】推理分析，估算实际高度（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，2≈1.41【解答】解：任务一：（1）连接AO、BO，如图所示：∵“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个桥厢，∴∠AOB=3故答案为：45．（2）过点B作BE⊥AO于点E，∵点A此时的高度为最高为128米，半径为60米，∴O点高度为68米，∵BE⊥AO，∠AOB＝45°，∴OE＝OB•cos45°＝302，∴B点的高度为（68+302）米，答：B点的高度为（68+302）米．任务二：（3）连接OB，OC，BC，由素材1，素材3可得∠COB＝90°，∠OBC＝∠AOB＝45°，则BC＝602，过点D作DF⊥BC于点F，令BF＝n，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：DF＝5BF＝5n，CF=25DF＝2∴BC＝602=3n，即n＝202∴F点的高度为：68+302−20答：写字楼的实际高度DN约为82米．28．（2024•光明区二模）在四边形ABCD中，点E为线段CD上的动点（点E与点C不重合），连接BE，线段BE的垂直平分线与AD、BC、BE分别相交于点F、G、H，连接FB、FE．【探究发现】如图1，若四边形ABCD为矩形，BF⊥EF，求证：△ABF≌△DFE；【能力提升】如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，△BGF是等腰三角形，求EC的长；【拓展应用】如图3，若四边形ABCD为菱形，BE⊥CD，BE的垂直平分线与AD、BC、BE分别相交于点F、G、H，连接FB、FE．若△BFE是等边三角形，求sinA的值．【解答】【探究发现】证明：∵四边形ABCD为矩形，BF⊥EF，∴∠BFE＝∠A＝∠D＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝∠DFE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∵FG垂直平分BE，∴FB＝FE，∴△FAB≌△EDF（AAS）；【能力提升】解：当FB＝FG时，过点F作FP⊥BC于点P，连接GE，如图：∵∠A＝∠ABP＝∠BPF＝90°，∴四边形ABPF为矩形，设CE＝x，∵FB＝FG，FP⊥BC，∴BG＝2PG，∠BFP＝∠GFP＝∠ABF，∵∠PFG+∠FGB＝∠CBE+∠BGF＝90°，∴∠PFG＝∠CBE，∴∠CBE＝∠ABF，∵∠A＝∠C＝90°，∴△BAF∽△BCE，∴AFCE=AB解得：AF=23x＝∴BG＝2BP=43∵FG垂直平分BE，∴GE＝BG=43x，CG＝6−在Rt△GCE中，GC2+CE2＝EG2，∴（6−43x）2+x2＝（43x解得：x＝8﹣27或x＝8+27（舍去）；当BG＝GF时，过点F作FP⊥BC于点P，则四边形ABPF为矩形，如图：∴AB＝FP＝4，∵S△FBG=12BG•PF=12∴BH＝PF＝4，∴BE＝2BH＝8，∴CE=BE2∴这种情况不存在；当BF＝BG时，连接DG，如图：∵FG垂直平分BE，∴BF＝FE＝BG＝EG，∴BFEG是菱形，∴FE∥BG，∴点D和E重合，∴CE＝4；综上所述，当CE＝4或CE＝8﹣27时，△BFG是等腰三角形；【拓展应用】解：过点B作BQ⊥AD于点Q，∵BE⊥CD，∴∠AQB＝∠CEB＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∴△ABQ≌△CBE（AAS），∴BQ＝BE，∵△BFE是等边三角形，∴BE＝BF，∠FBE＝60°，∴BQ＝BF，∴点F、Q重合，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∴∠ABF＝∠ABE﹣∠FBE＝90°﹣60°＝30°，∴∠A＝90°﹣∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∴sinA＝sin60°=329．（2024•福田区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF；（3）在（1）的条件下，CF＝2，BF＝6，